优化解题思路 提升运算素养

郝进宏 孙秀平

摘  要：解析几何问题因其运算烦琐、复杂等特点，成为历年高考考查学生数学运算素养的较好载体. 通过对一道高考解析几何试题的解答过程进行分析，论述了在解析几何知识学习过程中提升运算素养的关键在于解题方法的选择、点或直线及其形式的选择、逆向思维明确方向和深挖几何条件背后的数量关系四个方面，最后给出在逻辑推理指导下提升学生运算素养的具体教学建议.

关键词：运算素养；优化思路；高考试题；解析几何

中图分类号：G633.65     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0056-05

引用格式：郝进宏，孙秀平. 优化解题思路  提升运算素养：以2023年高考数学北京卷解析几何解答题为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：56-60.

运算能力是最基本的数学能力.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将数学运算作为六大核心素养之一. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，主要表现为理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果. 可见，数学运算不等同于数学计算，数学运算素养不仅是算得对、算得快，更要求学生掌握一定的运算技巧，能从多角度分析问题，尽可能地降低运算难度和运算量. 因此，数学运算素养的培养离不开逻辑推理能力的提升. 文献［2］中指出：运算能力包括计算技能和逻辑思维. 文献［3］进一步将六大数学核心素养分成三组：直观想象、数学抽象；数学运算、逻辑推理；数据分析、数学建模. 依次称为数学思维素养、方法素养和工具素养，并指出：数学运算和逻辑推理是数学思维的基本方式，体现了建构和推演数学，以及运用数学知识来解决问题的方法特征. 因此，可以把“推理”和“运算”比作两个车轮，其发展相辅相成，在数学运算过程中积极关注逻辑推理能力的培养可以有效提升学生的运算能力.

作为高中数学内容的重要组成部分，解析几何因其运算烦琐、复杂等特点，成为历年高考考查学生数学运算素养的较好载体，但是很多学生面对这类问题却表现平平. 表面上看，是由于学生缺少解题方向，畏难心理严重，缺少克难毅力；实际上看，是学生想得少、算得多，答题比较“莽撞”，缺少优化数学运算的理念与方法；本质上看，则是学生在数学运算过程中缺少了逻辑推理，在提出问题、分析问题的过程中没有理解运算对象的合理性、运算法则的准确性、运算逻辑的连贯性和运算方法的灵活性，在解决问题过程中缺少不断优化数学运算思路的高要求.

一、试题与分析

题目 （2023年北京卷·19）已知椭圆[E： x2a2+]

[y2b2=1 a>b>0]的离心率为[53]. 设椭圆E的上、下顶点分别为[A]，[C]，若[E]的左、右顶点分别为[B]，[D]，[AC=4].

（1）略；

（2）点[P]在椭圆[E]的第一象限上运动，直线[PD]与直线[BC]交于点[M]，直线[PA]与直线[y=-2]交于点[N]，求证：[MN∥CD].

容易得到椭圆[E]的标准方程为[x29+y24=1]. 第（2）小题中要证明的是变化中的不变关系，可以将几何中的平行关系转化为代数中的数量关系，进而通过数学运算来求解. 但是不同的转化结果所带来的运算量和运算难度是不一样的. 因此，寻找以“减少运算量、降低运算难度、提高运算效率”为目标的合理转化方式是提升学生数学运算素养的关键.

二、开门见山，直述其意

在解析几何综合问题中，往往依据题目条件步步推进便可以形成解题路径，若能有逻辑地“翻译”相关条件则可以大幅度提高解题效率.“设点”和“设线”是处理解析几何综合问题常用的思路和方法，若能从优化运算思路的角度对从“点”入手还是从“线”入手进行细致比较，则迈出了运算素养提升的第一步.

解法1：（设点代入）如图1，[P]为第一象限[E]上的动点.

【评析】设点[P]的坐标后，按照试题给出的已知条件分别求出点[M]和点[N]的坐标，此时两点的坐标均可以用点[P]的横纵坐标[x0，y0]表示，求解直线[MN]的斜率后利用椭圆方程化简即可以得到其为定值. 此解法思路清晰，难点在于化简直线[MN]的斜率时运算量较大，学生容易出错.

【评析】因为点[P]的三角形式中已经蕴含了点[P]在椭圆上的信息，所以利用三角形式进行运算会减少运算量. 但是由于是化简求值，所以三角形式的优势体现得不是很充分，三角形式在求解代数式取值范围时优势会更加明显.

【评析】设直线[PA]的方程，令[y=-2]，即可求出点[N]的横坐标. 然后依次求出点[P]的坐标和直线[PD]的方程，将直线[PD]的方程与直线[BC]的方程联立，即可求出点[M]的坐标. 这种解法思路简洁，但是由于直线[PD]的方程烦琐而导致联立化简的过程较复杂. 实际上，还可以设直线[PD]的方程，将其与椭圆联立. 因为直线[PD]过[x]轴上定点[D3，0]，所以将直线[PD]的方程设成横截距式（即设[PD]方程为[x=ty+3]），在与椭圆联立化简的过程中还会减少一定的计算量，也是一种优化.

三、执果索因，优化过程

解析几何问题的转化方向往往是不唯一的，不同的转化方向会导致运算量和运算难度有所不同. 化归得越彻底，运算量就会越小，运算的复杂程度也会随之减弱.“执果索因”是确定研究方向，进而让化归更加彻底的一种重要手段. 那么，对于上述试题，由问题的结果[MN∥CD]逆推，能否找到其背后易于表达的逻辑关系呢？

欲证[MN∥CD]，由题意可知只需要证明[kMN=kCD]，即证[yM-yNxM-xN=23]. 由点[M]在直线[BC]上（即[yM=-23xM-2]）和[yN=-2]，可知只需要证明[-23xM-2+2xM-xN=23]，即证[2xM=xN]. 从而找到[MN∥CD]的一个等价条件[2xM=xN].

显然，这样转化后计算量会大幅度减少. 首先，不用求解点[M]的纵坐标[yM]；其次，避免了对直线[MN]斜率的化简运算.

【评析】显然，无论是用三角形式设点，还是设其他直线解题，如果能采用执果索因的思路找到[MN∥][CD]的等价条件[2xM=xN]，都会在很大程度上减少运算量，从而降低运算的复杂程度，达到优化运算思路的目的.

四、数形结合，简化运算

上述解法4和解法5是从代数角度对平行关系进行等价转化. 由于解析几何兼具代数和几何的特性，故也可以尝试从几何角度，通过分析几何关系“执果索因”进行转化，进一步优化运算思路. 具体而言，结合图1，由[CN∥BD]，[△BCD]为等腰三角形，可知欲证[MN∥CD]，只需要证明[△MNC]为等腰三角形. 由[xC=0]，[CN∥Ox]，可知只需要证明[2xM=xN]. 其求解过程与解法4和解法5类似，不再赘述.

这是典型的运用数形结合思想来简化运算的体现. 正如华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫分离.”

五、教学建议

数学运算不是简单的计算，更不是机械的程序化操作，其本质是根据数学法则进行推理的过程，偏向于数学理性的思维、逻辑的推理. 在解析几何问题的求解过程中，教师要以思路清晰、运算量小、复杂程度低为目标，引导学生在推理的严谨性、简洁性、灵活性，运算的正确性、敏捷性，以及算法的有效性和高效性选择上进行充分思考和比较，不断优化运算思路，鼓励学生在掌握数学运算和逻辑推理方法的基础上真正提升数学关键能力.

1. 优化运算的几条路径

对于解析几何综合问题来说，优化运算的方法和途径有很多，细节往往决定着解题的成败. 在此之中，以下四个方面尤其需要关注.

（1）解题方法的选择.

要在“设点”和“设线”两个基本思路和方法上做出选择，关键是要注意直线与圆锥曲线联立后利用根与系数关系所得到的数式能否被有效利用.

（2）具体的“点”或“直线”及其形式的选择.

设点时，选择哪个点，用哪种形式？设直线时，选择哪条直线，用哪种形式？往往关系着运算过程能否继续化简，问题能否继续解决. 选择时要以参数少、形式简单为基本标准.

（3）逆向思维明确方向.

注重引导学生利用“执果索因”“先猜后证”等思想方法进行逆推，以在明确研究目标的情况下优化过程.

（4）要深挖几何条件背后的数量关系.

可以利用平面几何知识进行适度的推理与转化，尽可能直接得到易于用坐标表达的数量关系.

2. 拓展问题，提升认识

根据比格斯的SOLO分类评价法，从学生的学习结果分析，达到关联结构层次或抽象拓展层次是体现高阶思维的重要指标. 通过对数学问题的延伸，引导学生对问题进行抽象与概括，学会从理论的高度来分析问题、深化问题，使问题本身的意义得到拓展，有助于结构性思维的形成.

针对上述题目，可以提出以下拓展问题.

拓展：已知椭圆[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，[A]，[C]分别是[E]的上、下顶点，[B]，[D]分别是[E]的左、右顶点. 设[P]为第一象限内[E]上的动点，直线[PD]与直线[BC]交于点[M]，直线[PA]与直线[y=-b]交于点[N]. 求证：[MN∥CD].

数学运算和逻辑推理彼此联系又相互促进. 在具体教学过程中，教师要注重在数学运算过程中融入对学生逻辑思维能力的培养，引导学生从不同角度有逻辑地思考与转化数学问题，在减少运算量、降低运算难度、提高运算效率的目标指引下，助力学生优化运算思路、提升运算素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］罗增儒，李文铭. 数学教学论［M］. 西安：陕西师范大学出版社，2006.

［3］宁锐，李昌勇，罗宗绪. 数学学科核心素养的结构及其教学意义［J］. 数学教育学报，2019，28（2）：24-29.