立足函数本源特征 借势巧解高考试题

李波 张晓斌 涂瑜

摘  要：函数是高考数学考查的热点、难点，承担着试卷区分度使命. 函数解答题采取分步设问、逐渐递进的方式命制，彰显试题的难易层次，以区分不同能力水平的学生. 要求学生对导函数的概念与几何属性、各类基本初等函数的图象与性质有深刻的理解，对函数的结构特征有精准的把握.

关键词：切线；对称性；极值

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0052-04

引用格式：李波，张晓斌，涂瑜. 立足函数本源特征  借势巧解高考试题：以2023年高考数学全国乙卷理科第21题为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：52-55.

高考函数解答题主要考查导数的定义、复合函数求导、运算法则、极值、单调区间、几何意义、零点、极值点偏移等知识. 高考数学命题把考查学生的逻辑推理能力作为首要任务，以数学知识为载体，加强对学生理性思维的考查. 因此，对高考经典题型进行研究，对高三数学教学有着重要的指导作用.

一、问题呈现

二、解题分析

三、备考建议

函数解答题的考查形式是不断变化的，难度也在增加. 在高考复习中，我们应该引导学生充分挖掘导数的定义、几何意义及函数单调性的题目特点，层层递进，步步深入. 综观近几年的高考函数综合试题，以数形结合、分类与整合、函数与方程为观点统一组织材料，以推理论证、运算求解和创新意识为立意. 侧重以[ex，lnx]，四次函数、三次函数、二次函数、反比例函数等复合的整式和分式函数为背景，以待定系数法求函数解析式，试题入口浅、深入难. 运用导数的几何意义求切线的方程，以导数为工具研究函数的单调性、极值、最值、求参数的范围和证明不等式. 通过分析求解条件、确定求解程序、调整思维进程，全面考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了考查发散思维和聚合思维的和谐统一.

函数、导数、函数零点与不等式知识结合，考查函数零点的概念、导数公式和导数运算法则，考查学生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力，综合考查学生的推理论证能力、运算求解能力、创新意识，以及分类讨论和转化与化归的思想. 此题三道小题的设置由浅入深，背景丰富，对计算难度、思维深度的要求逐步提高. 考查层次分明，区分度较高，使学生理性思维的广度和深度得到了充分展示，较好地考查了学生进一步学习的潜能，突出了试题的选拔功能.

在函数与导数相关内容的复习教学中，建议弄清以下基本问题：判断函数的单调性、求函数的极值（或最值）、证明不等式、求变量的变化范围、函数零点的讨论、函数图象等. 在此基础上，通过典型例题的训练加以巩固，做到讨论不遗漏、分析要全面、计算要精确. 对于高等数学的知识点：一阶线性偏微分方程、凹凸性判断、洛必达法则、拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、泰勒公式等内容，可以根据具体解题需要适当提及. 在未来高考中，函数与导数试题将继续立足课程标准，注重考查教材中所蕴含的高等数学思想，恰当地在中学数学与高等数学知识的交会处设计试题. 考查学生综合运用数学思想与方法分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力. 通过方法的选择、解题时间的长短，可以甄别出学生能力的差异，从而达到精确区分学生思维层次的目的.

参考文献：

［1］李波，张晓斌. 高考导函数题型模式探究［J］. 数学教学通讯（下旬刊），2018（3）：70-72.

［2］曾宏建，许洪斌，李波. 微专题二十四导数的综合应用［J］. 中学数学教学参考（上旬），2018（3）：31-35.

［3］李波，张晓斌，陈艳艳. 曲径通幽拨云见日：对一道导函数含参题解法的探究［J］. 中学数学月刊，2019（2）：55-58.