从样本点到全概率公式

白俊丽 胡胜龙 王勇

摘  要：全概率公式是概率论中的重点内容，深入理解全概率公式中的基本概念有助于正确求解相关问题. 文章通过三道全概率公式例题阐述了如何从本质上理解这些基本概念，以及理解这些基本概念对解题的重要性.

关键词：样本点；样本空间；全概率公式；分割

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0061-04

引用格式：白俊丽，胡胜龙，王勇. 从样本点到全概率公式［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：61-64.

一、引言

全概率公式是概率论中的一个重要知识点，其定义中包含概率论中的一些基本概念，对这些基本概念的准确理解有助于正确使用全概率公式. 本文将从这些相关基本概念的定义出发，结合全概率公式的应用，阐述清晰理解基本概念的重要性.

我们知道，概率论的研究对象是随机现象，对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验. 我们研究的随机试验是具有试验可重复、试验结果不唯一、所有试验结果可预见这三个特点的试验. 此外，两个重要的基本概念是样本空间和样本点.

定义1：随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为该试验的样本空间，样本空间的子集称为随机事件，简称事件.

在具体问题中，给定样本空间是描述随机现象的第一步. 由以上定义可知，要写出样本空间，需要先不重不漏地分析出随机试验可能出现的所有结果. 另外，需要强调的是，基本事件（即只含一个样本点的事件）之间是互斥的. 换句话说，一次试验中的两个基本事件不能同时发生. 因此，样本空间中的元素一定是互斥的.

全概率公式是在已知样本空间的一个分割的前提下，求该样本空间中任一随机事件发生的概率的重要工具. 具体描述如下.

从定义2可以看出，正确使用全概率公式的一个重要前提是给出样本空间[Ω]的一个分割. 本文将从概率论的基本概念出发，在寻找分割的过程中体会正确理解基本概念对熟练使用全概率公式的重要性.

二、主要内容

我们将通过相关例题，分析如何从样本点这一基本概念出发，自然而然地利用全概率公式解决相关问题，从而体现深刻理解基本概念对熟练使用全概率公式的重要性.

1. 样本空间的分割与样本点

样本空间与随机现象紧密相关，样本点是样本空间的构成元素，因此正确找到样本点是确定随机试验样本空间的关键.

对于问题，可以知道[ω1 ，ω2]，[ω1 ， ω2]，[ω1，ω2]，[ω1， ω2]四个事件之间是互斥的. 它们都是由一个样本点构成的事件，所以都是基本事件. 而[A0]，[A1]，[A2]三个事件之间也是互斥的. 那么，这些事件也都是基本事件吗？答案是否定的. 因为[A1]表示“一枚硬币掷两次，恰好有一次正面朝上”，它包含“第一次正面朝上，第二次反面朝上”和“第一次反面朝上，第二次正面朝上”两个基本结果，因此[A1]不是由一个样本点表示的事件，即不是一个基本事件.

2. 全概率公式与样本点的联系

接下来，我们将通过三道应用全概率公式的例题，阐述利用全概率公式求解与正确认识样本点之间的关系.

例1  有甲、乙两个袋子，甲袋中装有[6]个红球，[4]个黑球；乙袋中装有[5]个红球，[3]个黑球. 这些球除颜色外无差别. 现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求从乙袋中取到红球的概率.

分析1：求解该题的难点主要来自取球分两个阶段，如果将第一阶段取球的所有不同情况都考虑到，那么问题也就迎刃而解了.

对比解法1与解法2，我们会发现解法2中的[A1?A2]即为解法1中的[A]，解法2中的[A3?A4]即为解法1中的[A]，图2和图3则体现了样本空间[Ω]的两种分割之间的关系，即[Ω=A?A=A1?A2?A3?A4].

借助解法2的分析过程，也阐明了解法1的原理，学生在之后求解类似的题目时可以直接应用简洁的解法1，并知晓其中的道理.

由此可见，对样本空间[Ω]的分割方式不一定是唯一的，但是组成样本空间的样本点是确定的，这可以帮助我们更好地理解题目，进而根据已知条件恰当地表示出样本空间[Ω]实现高效解题.

例2  甲、乙、丙三人同时独立地向同一飞行物射击一次. 设甲、乙、丙射中的概率分别为[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又设恰有一人射中时飞行物坠毁的概率为[0.2]，恰有二人射中时飞行物坠毁的概率为[0.6]，三人都射中时飞行物必坠毁. 求飞行物坠毁的概率.

分析：先写出该题涉及试验的样本空间[Ω]. 不难理解，一次完整的试验为三人分别完成一次射击. 设[A=]“甲射中飞行物”，[B=]“乙射中飞行物”，[C=]“丙射中飞行物”，则[Ω=A?B?C?ABC]. 但是应该注意到，[A]，[B]，[C]，[ABC]这四个事件不能构成[Ω]的一个分割，因为事件[A]、事件[B]和事件[C]之间不是两两互斥的. 事实上，事件[A]、事件[B]和事件[C]都不是基本事件. 例如，事件[A]并非一次试验的基本结果，它可以分解为[ABC]，[ABC]，[ABC]，[ABC]四个基本事件. 借助图4，我们可以很容易地写出由基本事件构成的样本空[Ω]的一个分割.

从该例可以看到，用基本事件分割样本空间[Ω]对正确使用全概率公式求解问题有重要的作用. 并且对于不同的题目，样本空间[Ω]需要根据题设条件来分割，而并非一定要用基本事件来分割.

例3  甲、乙、丙三人同时独立地向同一飞行物射击一次. 设甲、乙、丙射中的概率分别为[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又设甲射中时飞行物坠毁的概率为[0.6]，甲射不中且乙射中时飞行物坠毁的概率为[0.3]，只有丙射中时飞行物坠毁的概率为[0.1]. 求飞行物坠毁的概率.

分析：类似于例2，设[A=]“甲射中飞行物”，[B=]“乙射中飞行物”，[C=]“丙射中飞行物”. 同样可以找到样本空间[Ω]的一个分割，即[Ω=i=18Ri]，其中[Ri]（i =1，2，…，8）如例2中所设. 但是应该注意到在该例中条件概率[PDRi]（[D]如例2中所设）无法求解. 此时，再分析题目条件，发现样本空间[Ω]不一定要由基本事件来分割，还可以由[A]（甲射中），[AB]（甲射不中且乙射中），[ABC]（只有丙射中），以及[ABC]（甲、乙、丙均射不中）进行分割（如图5）.

三、结论

本文讨论了样本点、样本空间等概率论中的基本概念与全概率公式之间的关系. 具体而言，通过三道全概率公式的相关例题，逐步阐述了正确描述样本点或样本空间对理解及求解题目的重要性；也举例说明了针对不同的题目，即使用基本事件分割样本空间[Ω]无法直接求解，也有利于准确利用全概率公式理解题目，进而给出适当的对样本空间[Ω]的分割. 全概率公式是概率论的基本公式之一，要深刻理解并熟练使用该公式，需要对基本概念有清晰的认识. 同样地，如果在理解概率论中的其他知识点时遇到困难，不妨也回到对基本概念的理解中来，或许会收到事半功倍的效果.

参考文献：

［1］复旦大学. 概率论（第一册）：概率论基础［M］. 北京：人民教育出版社，1979.

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［5］纪宏伟. 全概率公式中确定完备事件组的方法［J］. 高等数学研究，2020，23（1）：92-96.

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