弦角定理

朱圣辉

[摘 要]弦角定理主要用于转换角与弦直间的关系，贯穿微积分领域，突破了现未达到的数学技术，是一次泰勒定理伟大的革新和完善。

[关键词]弦角；分割；角度关系；数列的极限；函数的边值

中图分类号：O17-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）09-0237-01

把圆的圆心设为O点，且要求把等腰三角形的角顶在O点上，另外圆内等腰三角形的两个顶点交于圆上，分别为A.，C。由于圆的坡度可大可小，从而导致不能2线成比例，造成数量的变化，比例不同，以致分割圆，可以把等腰三角形不断地分割下去。

设等腰△AOC的顶角为α，半径为R，从而求的α所R与圆弧的大小L=nπr2/2 ，作OB⊥CA（CA的垂直平分线），即垂直平分线交于圆上于B点，平分⌒CA。B点交于圆上，连接BC，AB，再作CB，AB的垂直平分线，交于圆上点D，F；继而作CD，DB的垂直平分线，交于G，E，也就是可以把等腰三角形不断地分割下去，不断分割等腰三角形的等腰让垂直平分线，垂直平分线上的点交于圆，又不断连接这条腰的两端，反复这样地连接下去，以使⌒COA内的等腰三角形面积的总和接近扇形AOC的面积。

设AD为X，因为OA=R，，CD=ABX，OB又为等腰三角形OCA，CA边的垂直平分线。

∴Op=√r2-x2

得PB=R-√r2-x2

∵CP=X，PB=r-√r2-x2

得到CB=√cp2+pΒ2=√x2+﹙r-√r2-x2﹚2

∵等腰三角形ABC有二条腰且等长，且在⌒CDB 与 ⌒ ABf 中各有一个等腰三角形

∴sΔCDB+sΔΒfΑ=2sΔcDΒ=BC×QD=[√x2+﹙r-√r2-x2﹚2]×﹛r-√r2-√x2+[﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

∵作为等腰△CDB的两腰的垂直平分线，会交于圆G，E.

∴需要把DB作为底边，则△DEB=DB﹒Q2E﹒1/2

根据海伦公式求出S△ADC的面积

其中P= r+x S△ABC=x﹙r-√r2-x2﹚

∴S= nπr2/360°- x﹙r-√r2-x2﹚ 而又有S△ABC=[√﹙r+x﹚x 2﹙r-x﹚]+xr

即扇形OAC中的面积减去S△ABC的面积为S值，是S值接近于S△AOC的值

已知2S△CDB=√x2+﹙r-√r2-x2﹚2+﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

已知ODB，则有DW=WB=DB/2=﹛√﹛r-√r2-[√x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/4﹜＼2

而OW=√oB2-wB2=√r2-﹛√﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/4﹜/4

∵W为OE上一点

∴WE=R-OW

∴4S△DBE=DB×WE/2×4=2DB×WE

∴4S△DBE=2DB×WE=﹛√﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

将方程进行化简，可以得

即当设a1=x√r2-x2，a2= x﹙r-√r2-x2 ﹚，而a3= s△CDB，a4= 4S△DBE……

∵OA=r， AC=2x

而从计算中可以表明。数列 是项数几的函数，a1的根眼是函数极限的特例，设a2为首项。

∵CA为X2，XB为Y2，把△ABC作为参照物，CA=2X

∴pB=r-√r2-﹙AC2﹚2

又设CB为X3，DQ为Y3，把△CDB作为参考的，DQ= r-√r2-﹙BC2﹚2

∴综上所述，有yn= r-√r2-﹙xn2﹚2

1）画出草图，在直角坐标系中画出一个直径为2R，圆心为（O，O）的圆；

2）取底边上两点，分相在相对应得圆弧上作中点，即取a2的三个顶点，作出曲线，底边为直线的大致圆象；

3）借助圆形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分上，下限；

4）抛物线与圆围成的面积表示成若干个定积分的和；

5）计算并求出结果。

∵圆心的坐标是（O，0）圆的半径为R，QA=X

∴A（X，-√R2-X2） B（-R，O） C（-X，- √R2-X2）

∵抛物线经过A，B，C三点，且设Y=aX2A+Bxa+C

∴aX2+Bx+c=-√R2-X2

aR2-Br+C=0

aX2-Bx+c=-√R2-X2

解得：a1=√R2-X2∕R2-X2 b=0-b1=c=-R2√R2-X2R2-X2

故抛物线的方程是Y=xA2（√R2-X2）/（R2-X2）-R2（√R2-X2）/（R2-X2）

但抛物线与直线所围成的面积不能使弦角公式非常精确，于是的设抛物线B，C，D主点，且设Y=a2XA2+b2XA+C

其中D2为CQ中点，D3为CB的中点，作D3D2的反向延长线交圆弧于D1点，作D1D4⊥oB

D1（-X/2，-√R2-（X/2）2B（-R，O）C（-X，-√R2-X2）

∴（X/2）2a-Xb/2+C=-√R2-（X/2）2

Ar2-Br+C=0

aX2-Bx+C=-√R2-X2

∴a（R2-X2）+b（-R+X）=√R2-X2

a（R2-X2/4）+b（-R+X/2）=√R2-（X/2）2

解得：a2=[√R2-X2+b（R2-X2） ] /（R2-X2）

b2=﹛√r2-﹙x2﹚2（r2-X2）-[r2-﹙x2﹚] 2 √（r2-X2）﹜/﹛[r2-﹙x2﹚] （R-X﹚+（-R+X2）（R2-X2）

c2=b2r-a2r2

∵有两点B（-R，O）和C（-X，- √R2-X2），且（Ya-y1）/（y2-y1）=（xA-x1）/（x2-x1）

Ya=（xA+R）√R2-X2）/R-X=（xA+R）√R2-X2） /R-X=（XA（√R2-X2）/（R-X））+ （√R2-X2）/（R-X）=>a3=（√R2-X2） /R-Xb3=（R√R2-X2）/R-X

当-x﹤XA﹤0时

∵直线y=Xaa3+b3在曲线y=a2X2A+b2XA+C的上方

∴∫0-X{a3XA+b3-（a2X2A+b2X2A+C）dx

=∫0-X{（a3-b2）XA-a2X2A+（b3-C）}dx

=∫0-X{（a3-b2）XA-a2X2A+（b3-C）}dx

={（a3-b2}/2）X2A-（a2/3）X2A+（b3-C）XA）|0-X

=-x2（a3-b2）/2--（a2/3）X2+（b3-C）X

∴Limsn=nπR2/360°，sn=x1y12+x2y22+{-（（a1-b1）/2）x2-（a2/3）X2+（b1-c）X}

n→+∞

关于弦角公式的应用：

1.求反正弦函数，反余弦函数，反正切函数的值；

2.利用π= arctan2+ arctan1/5+ arctan1/8求π的值；

3.求根号值，√X， 3√X，4√X……x√X的值；

4.适用于人工计算和计算机计算，求角求根号值；

5.利用分割法或多倍角得sin1度，求正弦值；

6.解高次方程，求零点。