数学单元教学中教学主线的构建

摘  要：数学单元教学中应该注重教学主线的构建，以“正弦函数、余弦函数的图象”教学为例，阐述教学中以结构化处理驱动知识生成，以先行组织者推进认知发展，以驱动问题链促进学生思维提升，促使教学方式的转变和学生素养的提升.

关键词：单元教学；教学主线；数学核心素养

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0041-05

引用格式：丁益民. 数学单元教学中教学主线的构建：以“正弦函数、余弦函数的图象”的教学为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：41-45.

一、问题提出

一直以来，“一个知识点 + 一道例题 + 一组练习”的教学方式普遍存在，这样的教学组织零散混乱，教学立意肤浅琐碎，造成了学生认知碎片化、思维浅表化. 深究其因，则是教学中缺乏层次结构清晰、逻辑连贯的教学主线. 章建跃博士认为，教学主线指教师在理解数学、理解学生基础上形成的课堂结构与教学线索. 由此可见，教学主线集中反映了教师的数学观、学生观和教学观，因而其可作为评价一节课教学思路是否清晰、教学线索是否连贯的关键指标. 科学合理的教学主线能保证教学活动的有序开展、层次递进，直指学生的思维能力与核心素养的培养. 从承载的教学功能来看，教学主线可以分为三种，即显性的知识主线、隐性的认知主线和思维主线. 三者之间的关系为：知识主线是形成认知主线和思维主线的载体；认知主线是搭载知识主线和思维主线的媒介；思维主线是掌握知识主线和认知主线的机制，在知识主线、认知主线的形成中起到推动作用. 素养导向下的数学单元教学倡导各种教学主线的融合与互补，笔者以人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册“正弦函数、余弦函数的图象”一课的教学为例，阐述单元教学中教学主线的构建过程.

二、教学过程

情境：圆周运动是最基本的周期变化现象，我们用三角函数模型刻画圆周上一点运动的变化规律. 在本节课之前，我们已经学习了如图1所示的相关知识，为了进一步认识三角函数的本质还需要进一步深化学习.

问题1：根据之前的学习经验，学完三角函数的定义之后要研究什么？应该如何研究？

在此之前，按照“定义—图象—性质”的路径学习了指数函数、对数函数等模型. 可见，之前的学习经验对后续知识的学习起到了借鉴与引导作用.

【设计意图】基于单元整体视角，立足本章主题情境（圆周上点的变化规律），从学生已有的认知结构和活动经验中提出问题，让学生看到整个单元知识的“生长”路径，为学生提供认知方向和认知方法，突出学习的整体性.

问题2：你能直观想象一下正弦函数y = sin x，x ∈ R的“样子”吗？

函数在[0，2π]内的图象与[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…内的图象形状完全相同.

图象是按照“递增—递减—递减—递增”的方式进行变化的.

图象连续不间断.

……

【设计意图】让学生根据单位圆上点的运动状态（几何直观）初步感知点的变化规律，进行从具体到抽象的内部表征，并由此“想象”出三角函数图象的“样子”，培养学生的直观想象素养. 体现史宁中先生所说的“数学的结果常常是‘看出来而不是‘证出来的”.

问题3：在平面直角坐标系xOy中，如何借助单位圆作出[Tx0，sin x0]？

引导学生观察如图2所示的单位圆，让他们认识到三角函数图象上一点T的坐标的本质——横坐标x0是弧AB的长度，纵坐标sin x0是圆周上点B的纵坐标. 描点T的过程实质上是将单位圆上弧AB的长“转移”为x轴上的“数”，以及将点B的纵坐标进行平移的过程.

问题4：在相对精确的条件下，作图过程中会遇到哪些“技术”困难？如何突破这些“技术”困难？

学生提出的“技术”困难包括2π有多大、坐标值为无理数时如何描点等. 教师组织学生进行探讨和动手操作，学生经过思考形成了一些思维成果. 例如，学生在解决“2π有多大”时有如下一些探索：对准给定的单位圆，将纸卷成一个横断面为单位圆的圆筒并固定，再将其展开移到x轴上；用纸剪出一个可以自由滚动的单位圆片，让它自原点处起沿x轴正向滚动一周；用一根细线绕单位圆一圈，再将这一圈长的细线移到x轴上；……

针对“坐标值为无理数时如何描点”这一“技术”困难，学生经过思考与讨论，形成以下方案.

方案1：在区间[0，2π]内任取一些横坐标的值，逐一计算坐标的正弦值，进而绘制对应的点，再用光滑的曲线连接.

方案2：x0取1，2，3，…，再按照上述方式描点、连线、作图.

方案3：x0取较熟悉的特殊角，如[π6， π4，]  [π3]，…，再按照上述方式描点、连线、作图.

方案4：在区间[0，2π]内取等分点，再按照上述方式描点、连线、作图.

经过交流，形成共识：方案4相对而言较精确且易操作，学生在共识下进行作图操作，各自作出了y = sin x，x ∈[0，2π]的图象，如图3所示.

【设计意图】引导学生从定义出发，理解描点作图法中的操作本义，以此加强函数图象与三角函数定义之间的内在逻辑关联，促进学生对数学知识的整体性理解，并让学生意识到精确作图中的“技术”困难，留足时间和空间让学生思考并寻求突破困难的方案，理解“等分圆周”这一操作的合理性、可行性，让他们在观念认同下进行动手操作. 整个过程中，学生经历了“分析困难—拟订方案—交流讨论—形成共识”的心路历程，暴露了思维过程，展示了思维成果.“分析困难”是根据学生已有经验与经历过程的可能困难进行的教学推进的台阶设计，旨在生生交互中实现思维的再创造.

问题5：基于上述学习，你能作出正弦函数y = sin x，x ∈ R的图象吗？

首先，教师通过动画演示y = sin x，x ∈ R的图象上任意一点的平移，启发学生思考图象平移实质上是所有点的平移，进而理解函数y = sin x，x ∈[2π，4π]的图象与函数y = sin x，x ∈[0，2π]的图象的形状完全一致，并用诱导公式进一步加以逻辑说明. 由此可知，将函数y = sin x，x ∈[0，2π]的图象不断向左和向右平移（每次移动2π个单位长度），便可以得到函数y = sin x，x ∈ R的图象，如图4所示.

问题6：为了研究的方便，如何快速画出y = sin x，x ∈[0，2π]的简图？在确定简图时，应该抓住哪些关键点？

在确定简图时，关键点有[0，0]，[π2，1，] [π，0，][3π2，-1，] [2π，0].

【设计意图】利用三角函数周而复始的特点及诱导公式，分别从几何和代数两个角度理解从y = sin x，x ∈[0，2π]的图象变换到y = sin x，x ∈ R的图象的过程，认识到图象平移变换的本质是所有点的平移，并借助诱导公式从逻辑推理的角度解释图象平移的本质，这一过程也为后面通过图象变换作出余弦函数的图象提供了先行组织者，让学生意识到可以运用联系的观点来学习后面的知识. 对于“五点法”的教学，不仅要让学生认识到是为了操作层面的方便，更要让学生理解这是从局部来审视正弦曲线图形整体特征的重要视角.

问题7：如何快速作出余弦函数y = cos x，x ∈ R的图象？

由于学生在学习指数函数、对数函数的图象时，以及刚刚经历的正弦函数从x ∈[0，2π]上的图象到x ∈ R上的图象的过程中，都充分揭示了图象平移变换是作余弦函数图象的先行组织者. 为此，借助诱导公式[cosx=sinπ2+x]找到正弦函数与余弦函数间的紧密关系，为作图提供逻辑基础，也就是函数y = cos x，x ∈ R的图象即为函数[y=sinπ2+x]，x ∈ R的图象，即只需要将函数y = sin x，x ∈ R的图象向左平移[π2]个单位长度. 余弦函数的图象（如图5）叫作余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

问题8：类比用“五点法”画正弦函数简图的过程，你能找出余弦函数在区间[-π，π]上相应的五个关键点吗？

在区间[-π，π]上，余弦函数上的五个关键点依次是[-π，-1]，[-π2，0]，[0，1]，[π2，0]，[π，-1].

【设计意图】借助以往的学习经验，引导学生从诱导公式的角度认识正弦函数和余弦函数的图象间的逻辑关联，让学生体会诱导公式是图象变换的代数依据，用联系的观点进行新知的学习，并通过类比的学习方式找到作余弦函数图象的五个关键点，进一步加强对余弦函数与正弦函数关联性的理解，有助于学生理解两个函数间的内在关联，提升数学抽象和直观想象素养.

问题9：你在本节课的学习过程中经历了怎样的思维过程？基于以往的学习经验，你认为下节课我们将要学习关于三角函数的哪些内容？

师生活动：引导学生回顾这节课的学习历程，并从思维过程、知识走向、学习方式等角度总结本节课的学习体验，将本节课的内容自动嵌入如图6所示的三角函数知识体系中.

【设计意图】通过小结让学生回顾本节课的学习历程，将新学知识纳入原有的知识体系，形成结构化知识，并体会“联系地学—整体地学—类比地学”的认知主线，最后再从知识结构中提出新问题，让学生明确接下来要学习的内容，在知识主线的生长中进行整体地学习.

三、教学思考

1. 结构化处理：知识主线整体生长

心理学研究者通过对比实验发现，结构化对知识学习具有重要的促进作用，当知识以一种结构化的方式进行储存时，便可以大幅度提高知识应用时的检索效率. 因此，无论是知识的呈现方式，还是数学的学习过程，都离不开结构化的设计与实施. 单元教学强调知识的整体性，教学应该始终沿着一条知识主线整体地“生长”. 首先，要从整体的角度对单元知识进行结构化教学分析，根据知识之间的因果、递进、相对等逻辑关系，以及它们在知识结构中的主次地位、先后顺序等，进行适合学生认知发展的重构与整合，以此构建每个知识点与单元主题之间的逻辑关系网. “三角函数”单元教学围绕“点在圆周上的匀速运动”这一主情境（大背景）展开，知识之间的逻辑关系、层次结构如图7所示.

其次，单元教学还要注重结构化教学实施. 教学中，一方面，要注重对单元知识整体的“感悟”，通过每个课时知识的学习促使学生从整体上逐步形成对单元核心概念的感知与体悟，借助大背景、大概念为学生提供知识生长的出发点和方向，为新知识的生长提供脚手架式的结构支撑；另一方面，要注重对单元知识整体的理解，让学生在对所学知识进行内化的基础上，以个性化和创生性的方式，从整体的角度获得知识的内涵与外延，进而理解知识的本质. 当然，整体地理解知识需要对单元知识进行化零为整的整合、建构自己的正确理解及系统内化才得以实现.

2. 先行组织者：认知主线连贯推进

石志群教授认为，数学学习是建立在一定的知识基础和认知基础上的，学生已有知识结构对后续学习会产生积极的影响. 因此，教学过程中要充分运用前后知识间的联系，促使学生进行更高水平的学习. 数学学科同一主线内许多知识的研究路径和策略具有相似性或一致性. 对此，在学习这部分内容时便可以充分发挥先行组织者的作用，先引导学生回顾同一主线内已学内容的学习路径和学习策略，为学生提供一个可类比的学习“路径”，再引导学生类比形成本单元的学习路径和策略，让学生在先行组织者的引导下，运用新的数学工具进行更高层次的数学表征与数学抽象活动，用新的数学形式对原有知识进行再认识.

本节课中，用之前学习指数函数、对数函数的思维过程和活动经验来指导三角函数的学习，为学生学习新知提供了有方向可依、有路径可循的认知线路，将原有认知结构作为先行组织者推进新知识的学习，使得学生的学习过程是基于已有认知的再认知，让新旧知识的认知过程成为有机的整体，达到深度学习的目的，有效提升学生的数学核心素养.

运用先行组织者学习时，还要体现两个“递进”：一方面，要实现单元之间的关联递进，就是让具有前后逻辑、结构相似的单元知识之间形成关联，通过新的单元学习强化旧单元已建立的结构、经验、策略，实现新旧单元内容之间的有效联结，进一步发展学生的认知观念系统. 例如，前文所述的“指数函数、对数函数”学习单元中很多认知经验和认知规律，都可以成为学习“三角函数”的先行组织者，也就是在两个单元之间建立了关联递进. 另一方面，还要体现知识内部的连贯递进，可以从知识的整体中认识局部，也可以从局部中认识整体，建立整体与局部之间的双向认知. 例如，本节课中从精确作一个点[Tx0，sin x0]到精确作整个正弦曲线，再从精确作图到“五点法”作简图，就经历了从局部研究整体、从整体中认识局部的基本认知方向，体现了认识事物的一般规律. 这样的认知过程符合学生的认知规律，能够体现学生参与学习过程的主动性和思维的积极性.

3. 逻辑问题链：思维主线深度提升

素养导向下的高中数学课堂教学倡导以问题为导向、以活动为载体的教学方式，以发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程为教学线索. 在问题解决中，通过问题链引发、引导、深化学生的数学思考，促进学生的思维深度发展. 在设计问题链时，既要关注以关联为基础的问题链，借助知识关联、方法关联和视角关联，有效厘清数学知识的基本结构与内在脉络，概览数学内容的整体图景，为实现单元教学提供抓手；还要关注问题链中各个主干问题的“学习入口”，应该指向教学内容的核心观念. 在具体教学中，引导学生对主干问题进行深度探究，促使学生的思维发展经历“问题—方法—方法论”的数学化全过程，驱动学生深入理解数学核心观念背后所蕴含的知识与思想方法，达到对数学核心观念的理解与运用.

本节课中，首先从单元知识体系中提出了“研究什么？如何研究？”的主问题，再以“作y = sin x，x ∈ R的图象”这一核心任务展开思维活动，让学生经历了直观想象的感性认识，并在特定逻辑线索和数学关系中提出更聚集、更连贯的问题链（从问题1至问题9），通过连贯的问题链将问题引向纵深，引导学生用数学的思维分析问题，用数学的方法解决问题. 在问题链的驱动下，学生不断进行着对问题的探究与思考，寻求着解决问题的策略与方法，积极自主地进行着数学交流与表达. 在此过程中，学生的思维品质得到了较好的提升，更为重要的是融入了直观想象、逻辑推理、数学抽象等多种素养.

需要注意的是，问题链及问题与学生的经验之间，也应该具有关联性和递进性，问题链指向学生内隐思维的深度，能将学生在探究过程中学习的困难、障碍、差异等展现出来，充分暴露学生真实的思维状态，为教学时生生和师生的互动提供互动性资源.

实践表明，在单元教学实施中以结构化处理驱动知识生成，以先行组织者推进认知发展，以驱动问题链促进学生思维提升，会使教学的逻辑变得更加清晰，教学组织和实施的过程也会更流畅和连贯，教学目标的达成也更具有整体性.

参考文献：

［1］艾义国. 地理“四线交融”的教学主线设计策略［J］. 教学与管理，2017（6）：59-60.

［2］石志群. 例谈“先行组织者”的途径与功能［J］. 数学通报，2016，55（2）：9-12.

［3］黄翔，童莉，李明振，等. 从“四基”“四能”到“三会”：一条培养学生数学核心素养的主线［J］. 数学教育学报，2019，28（5）：37-40.