高中数学解题中的代数方程核心问题探讨与应用

袁兴菊 文帅 夏体静

摘  要：在解代数方程时，学生常见的几类错误包括符号运算错误、违反等价变形错误以及未消除符号错误.因此教学中教师应从理解方程本质、合理应用等价变形、逐步消除未知数等方面阐述解决代数方程的有效技巧，以帮助学生提高逻辑推理和数学熟练程度，且为解决更复杂的数学问题奠定了基础.

关键词：代数方程；一元一次方程；数学问题解决能力

长期以来，数学始终在各个领域有着广泛应用，数学问题解决能力已成为衡量一个人逻辑思维和分析能力的重要指标.高中时期是培养数学问题解决能力的关键阶段，而代数课程作为高中数学学习的重要组成部分，能训练学生的抽象思维、逻辑推理以及符号运算能力，对其解析问题、提出假设、推导结论的能力具有重要的塑造作用.但是目前，很多高中生在学习代数课程时，往往存在符号运算能力较弱、变换技巧不灵活等问题，导致在解代数方程和表达式时常常出现错误.因此，如何提高学生的代数思维能力和解题技巧是高中数学教学中一个值得思考的问题.本文分析学生在解代数方程时的常见错误，阐释清晰的解题思路和技巧，并给出具体的应用实例，以期为教学实践提供一定的参考价值.

1  代数方程解题常见错误

1.1  符号运算错误

解代数方程时，符号运算是一个非常关键的环节，同时也较易出现错误.常见的符号运算错误包括：操作符的顺序错误，比如将加减误认为乘除，直接提出符号进行修正的运算，结果必然不正确；正负符号误用，将负号当成正号，省略负号导致计算错误；同类项合并时疏忽变量是否相同而造成错误；运算过程中遗漏某个步骤的细节导致计算错误.在解代数方程中，若不注意运算顺序、混淆符号的正负、疏忽变量合并，或粗心大意地省略运算步骤，就有可能导致解的错误，从而影响整个问题解决过程的准确性和效率.

1.2  違反等价变形错误

解代数方程需要通过等价变形来达到简化的目的，但如果等价变形中出现失误，也会导致最终解答发生错误.等价变形错误主要表现在：直接省去方程主体部分，破坏方程等价性；在进行竖式运算时，忽略了必要的交叉消去步骤会导致某些解的遗漏，进而影响到方程或问题的正确解决，从而降低解题的准确性和完整性；由于复杂度增加而产生理解偏差，将非等价变形当成等价变形操作；特殊情况下，机械应用公式，忽略引入的是否为等价变形.等价变形的错误，如省去方程主体部分、忽略交叉消去、误解复杂变形或错误应用公式，都会导致方程的等价性被破坏，从而产生错误解或遗漏正确解.这些失误严重影响了解题的准确性和完整性，增加了问题解决的难度和复杂性.

1.3  未消除符号错误

在解代数方程的过程中，未消除符号错误是导致错误解的重要原因之一.这类错误通常源于对方程复杂性的低估和对运算细节的忽视.在对方程进行符号运算时，一旦操作者在烦琐的代数转换和符号处理过程中出现疏忽，就可能会遗漏关键步骤或错误地应用运算法则，进而导致整个运算的不完整性和不正确性.例如，未能适时消除或正确处理方程中的括号、指数和根号，或在处理不等式时未能正确反转不等号，从而引入计算误差.此外，代数方程的求解常常涉及变量之间的复杂关系和操作，如分式的约简、多项式的展开等，每一步都要求严格的逻辑推理和精确的计算，一旦在这些环节中出现细微的疏漏，比如未能正确识别同类项或错误地合并了不同变量，都会使问题解决路径偏离正确轨道.

2  代数方程解题技巧

2.1  理解方程与符号本质

代数方程解题的关键在于正确理解方程与符号的本质，这是解决方程问题的根本.代数方程表示为一种数学等式，通常具有如下形式.

F（x）=0.

其中，F（x）是一个包含未知变量x的复杂代数表达式，而解代数方程的目标是找到使方程成立的x的值，并确保每一个解都是在数学逻辑和规则下得到的正确结果.在解题过程中，针对“正负符号误用，将负号当成正号，省略负号导致计算错误”的问题，更深层的解题技巧包括：培养对数学符号敏感性和意识，这涉及对符号特征的识别与理解，以及对数学表达式背后代数结构的深刻把握；进行细致的符号检查，即在每一步完成后，回顾并验证所使用的符号是否保持了等式的平衡性和逻辑的一致性；利用代数身份和性质进行验证，如使用代入法检验特定值时方程两边的等价性，或者在完成运算后，用图形或数值方法验证结果的正确性.此外，培养良好的书写习惯和清晰的解题布局也至关重要，这有助于减少由于笔误或视觉混淆导致的符号错误.对于复杂的代数运算，采用分步解题策略，将大问题分解成小部分，逐一克服，从而确保整个解题过程的准确性和逻辑性.

2.2  合理使用等价变形

合理使用等价变形是一个技术性和策略性都极其重要的环节.等价变形，本质上是在不改变方程解集的前提下，通过各种代数操作，将原方程转换成形式更简单、更易于求解的新方程.这一过程不仅需要透彻理解数学的逻辑结构，也需要对方程的性质有深刻的把握.以一个一般的代数方程ax2+bx+c=0为例，其解能通过配方法或者求根公式直接得到.在实际解题过程中，等价变形的技巧主要表现在以下几个方面：

（1）提取公因子：在解题之初，提取公因子是简化问题的第一步.在方程4x2-12x=0中，提取公因子4x，则方程可转化为4x（x-3）=0，直接得出解.

（2）移项与合并同类项：在处理更复杂的代数方程时，适时地移项和合并同类项至关重要.将方程2x2-4x+3=x2-2x通过移项和合并，转化为x2-2x+3=0，进一步简化了问题.

（3）分解因式：对于可分解的多项式方程，分解因式是求解的有效方法.如方程x2-5x+6=0可分解为（x-2）（x-3）=0，立刻得到x=2或x=3.

（4）应用公式与定理：对于复杂方程，直接应用求根公式、配方法、二次公式或者其他相关的数学定理和公式是解题过程中的关键步骤.如标准二次方程的求解可直接应用公式x=-b±b2-4ac2a.

在所有这些技巧中，保持等价变形的原则至关重要.每一次变换都必须确保方程的解集不变，这要求解题者不仅要有扎实的代数基础和敏锐的数学直觉，还需要对每一步操作的合理性和正确性有深刻的理解和判断.同时，解题者应当注意，过程中的每一个细节都是解题的关键，如正负号的确认、分母的存在性验证等.

2.3  逐步消除未知数

逐步消除未知数是一种常见且有效的解题技巧.这种方法涉及系统地应用代数运算以减少或消除方程中的未知数，使其逐渐趋向于一个求解的形式.以一般的线性方程组为例，假设有方程组ax+by=e和cx+dy=f，目标是找到变量x和y的值.

（1）代入法：这种方法涉及解其中一个方程以找到一个变量的表达式，并将其代入另一个方程中.例如，如果解第一个方程得到x=e-bya，然后将它代入第二个方程，从而消除x并解出y.

（2）消元法：在消元法中，通过加减法操作来消除一个变量.通过乘法使两个方程中同一个变量的系数相反或相等，然后将方程相减以消除该变量.例如，将第一个方程乘以d，第二个方程乘以b，然后相减，从而消去y.

（3）行列式法（克莱默法则）：当方程组中的方程数与未知数数量相等时，使用行列式法.对于上述的两个方程，构建系数矩阵，然后利用克莱默法则计算未知数.

（4）矩阵法：对于更复杂的方程组，矩阵和向量的概念用来表示和解决问题.通过将方程组写成矩阵形式Ax=b，然后能使用各种矩阵操作和理论（如行阶梯形、逆矩阵等）来解决方程组问题.

逐步消除未知数的方法核心在于转化和简化问题，将复杂的多未知数问题转换为较为简单的单变量问题.在这个过程中，重要的是要确保每一步变换都不会改变方程组的解集，即保持等价变形原则.同时，解题者需要对每一步的代数操作有清晰的认识，避免计算错误，确保整个过程的准确性和效率.综合以上技巧，高中生在解代数方程时需要具备扎实的代数基础，理解和运用各种代数变换的策略，以及逻辑思考和问题解决的能力.

3  有效运用代数方程解题技巧的保障策略

3.1  设置情境题，让学生在具体场景中运用所学技巧

为了有效运用代数方程的解题技巧，设置情境题是一种有效的教学策略.通过在具体场景中应用所学技巧，学生能更好地理解和掌握代数方程的解题过程.例如，设计一个与实际生活相关的问题，让学生应用代数方程来解决.假设情境题目是：“一个农场主有鸡和兔子，总共35个头和94只脚.问农场主有多少只鸡和兔子？”设鸡的数量为x只，兔子的数量为y只.根据题目列出两个方程：

（1）鸡和兔子的总数：x+y=35.

（2）鸡和兔子的脚总数：2x+4y=94.

这两个方程构成了一个线性方程组.接下来，运用等价变形和消元法来解这个方程组.首先，从第一个方程中解出x或y.比如，解出x=35-y.然后，将x的表达式代入到第二个方程中，得到：

2（35-y）+4y=94.

接着，进行方程的简化和求解：

70-2y+4y=94，

2y=24，

y=12.

由于y代表兔子的数量，得知农场有12只兔子.接着将兔子的数量代回到任意一个原方程中求解鸡的数量.代入第一个方程：

x+12=35，

x=23.

因此，农场主有23只鸡和12只兔子.通过这样的情境题，学生不仅能够应用和巩固代数方程的解题技巧，还能将数学问题与实际生活联系起来，提高解题的兴趣和实用性.这种策略有助于学生更好地理解代数方程的本质和应用，同时也培养了他们的逻辑思维.

3.2  组织技巧PK赛，互相切磋技巧的运用

进一步提高学生代数方程的解题能力，组织技巧PK赛是一个有效的策略，通过这种形式的竞技活动，学生在实际操作中互相学习、切磋各自的解题技巧.设想一次针对高级代数方程解法的PK赛，学生需要在限定时间内解决一个复杂的方程或方程组，并展示他们的解题过程和策略.假设这次技巧PK赛中的题目是：“解三元一次方程组，并讨论解的存在性.”

2x+3y-z=7，

-x+4y+2z=4，

3x-y+z=-6.

学生需要理解方程组的结构和求解策略.解这个方程组的一种策略是使用高斯消元法.这个方法涉及将方程组写成增广矩阵，然后通过行变换将其转换为行最简形，从而找到方程组的解，具体步骤如下：

（1）将方程组写为增广矩阵：

23-17

-1424

3-11-6

.

（2）通过行变换，首先将第一行作为主行，将第一列的其他元素转换为0.

（3）之后，选择第二行为新的主行，继续消除下面行的对应元素.

（4）经过一系列的行变换之后，将矩阵转换为行最简形，从而得出每个变量的值.

在PK赛中，参赛者需要展示他们的消元过程，清晰地写出每一步的行变换，并最终解出x，y和z的值.評判标准包括解题步骤的正确性、解题过程的清晰度以及解题速度等.通过PK赛，学生不仅能锻炼和展示自己的解题技巧，还能通过观察他人的解题过程，学习和吸收不同的解题方法和技巧.此外，这样的PK赛也能激发学生的学习兴趣和竞争意识，使他们在轻松愉快的氛围中提升解题能力.通过反复练习和比赛，学生能够逐渐掌握各种复杂方程的解法，提高自己的数学逻辑思维和问题解决能力.

3.3  开放式作业，鼓励创新技巧的应用

为了鼓励学生在解决代数方程时应用和发展创新技巧，开放式作业是一种有效的教学方法.通过这种作业，学生被鼓励探索并应用非传统或创新的解题方法，以解决特定的代数问题或方程组.开放式作业不仅强调结果的正确性，还注重解题过程中的创造性和独特性.

4  结论

高中生在学习代数课程时，常常出现符号运算能力较弱、变换技巧不灵活等问题，从而导致解代数方程时出现错误.为此，学生需要培养对数学符号的理解，进行细致的符号检查；学习合理地运用各种等价变形技巧，如提取公因子、移项合并等；掌握逐步消除未知数的方法.教师也应采取对应策略，如设置情境题强化技巧应用、组织技巧PK赛进行交流切磋、布置开放式作业鼓励创新思维等.教师通过持续地分析常见错误，学习有效技巧，并在教学中得到有效运用，学生能够获得扎实的代数思维训练，提高解析问题和逻辑推理的能力，为解决更复杂数学问题打下基础.

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