基于“三会”的课堂教学设计与思考——以“平方差公式”为例

⦿ 新疆新源县教育局教学研究中心 张秋菊

“三会”即会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.那么,这些素养要求在课时教学中该如何具体落实呢?下面以“平方差公式”这节课为例,谈谈基于”三会”的课堂教学设计与思考.

1 教学分析

本节课是人教版教材八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解的”第二小节“乘法公式”第一课时的内容.

1.1 从教学内容上看

首先,这节课是在学生已经学习并掌握了幂的相关运算性质、多项式乘法的基础上,自然过渡到对具有特殊形式的多项式的乘法的研究.从教材编排也可以看出,对具有特殊形式的多项式相乘,在多项式乘法的例题、练习与习题中都有渗透.例如,在多项式乘多项式的练习中,对(x+p)(x+q)这种含有相同字母且另一项为常数的两个一次二项式相乘也专门做了探究.

1.2 从学生学习经验的积累上看

学生在学习第一小节内容时,已经积累了一定的学习经验,也就是说对从特殊到一般这种研究数学问题的过程比较熟悉.每条性质、法则都是经历“计算—观察—猜想—验证—证明”得出的结论,而且都强调用多种方式表征法则,因此学生对于用图形验证法则也并不陌生,这些都是本节课的学习基础.

1.3 从后续学习的影响上看

“平方差公式”在后续的应用非常广泛,是第三小节学习因式分解,下一章分式的化简,九年级一元二次方程、二次函数等内容的基础.当然本节课作为“乘法公式”的第一课时,为后续完全平方公式和其他乘法公式的学习提供了研究思路和方法.

1.4 课标要求及目标确定

课标明确指出:知道平方差公式的几何背景,用公式进行简单的计算和推理.感受数式通性,建立符号意识,将数学结论一般化,提升运算能力.从教材来看,也为公式生成、推导、验证、表述、辨析、运用,提拱了非常丰富的素材.

基于以上认识,将本节课目标确定为:掌握平方差公式,能运用其进行简单的计算;经历公式的探究过程,用不同方法验证公式的合理性;体验特殊到一般、具体到抽象的研究过程,发展几何直观素养,感受数形结合思想.

本节课的重点是公式的探究及应用,难点是对公式结构特征的理解和几何验证.

2 教学设计

活动一：情境引入.

引导学生回忆多项式乘法法则.

问题1不改变二项式的结构,将因式中的项特殊化,会有哪些情况?请举例说明.

问题2(一项相同一项相反,两项都相同)这些特殊形式的二项式相乘,结果有规律可循吗?

活动二：探究平方差公式.

结合前面的学习经验规划研究路径.〔特例计算—观察猜想(符号语言描述)—验证证明—得出结论(文字语言描述)—应用结论.〕

问题3请写出1～2个具有上述形式的特例,并计算出结果.

问题4通过观察,你能发现什么规律?你能用符号语言表示出你的猜想吗?

问题5如何验证你猜想的正确性?

问题6你能用文字语言描述这一结论吗?

活动三：辨析平方差公式.

问题7对比多项式与多项式相乘和平方差公式,你能说说它们的异同与联系吗?

问题8说一说下列算式能否运用平方差公式计算?

(1)(x2+3)(x2-3);

(2)(-7+2x)(2x+7);

(3)(3s-10t)(10s-3t);

(4)(-m+5)(-m-5);

(5)(m+n-p)(m+n-p);

(6)(m-n)(n-m).

问题9写一写.在括号内填上怎样的代数式才能利用平方差公式进行计算?

(1)(2a+b)( )=______;

(2)(-a-b)( )=______.

活动四：运用平方差公式.

例1运用平方差公式计算:

(1)(3x+2)(3x-2);

(2)(-x+2y)(-x-2y).

例2计算:

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);

(2)102×98.

对于例2的第(2)小题,引导学生表达思维过程.

活动五：几何验证.

你还有其他验证平方差公式的方法吗?

在利用图形验证的过程中,可以从左往右,也可以从右往左对公式特征进行分析,这也是深化学生对公式理解的过程.同时由式到形,从抽象到具体,也是学生发展几何直观、感悟数形结合思想的过程.

活动六：归纳创新.

通过本节课,你学习了哪些知识?你是怎样学习这些知识的?用到了哪些数学思想方法?你对后续学习还有什么期待?

课堂归纳小结的四问,分别对应课程标准中基础知识、基本技能、基本数学活动经验和基本思想方法等,通过梳理进一步落实“四基”“四能”.另外,通过结构化的图式,将隐形的探究过程显性化,引导学生主动将研究平方差公式的过程迁移到下一课时“完全平方公式”的学习中,甚至更多公式的探究中,或者是公式深层次的探究中,这也是本节课数学教育的价值所在.

3 教学设计与思考

3.1 关于教学设计——“三会”落实的出发点和落脚点

教学设计的首要问题是为什么而教?为知识而教与为素养而教是新旧教学理念的根本分水岭.同时我们也知道,在进行教学设计时,知识是载体,素养是目标,活动是桥梁.

以本节课为例,这些活动安排主要体现了以下几点:

(1)重视公式的获得过程.本节课根据学生的认知情况,将教学起点确定为将一般的两个二项式相乘,项的逐步特殊化是否能得到结论的特殊化?由此引导学生主动提出问题、分析问题、发现问题、解决问题.从数学知识内部出发,让学生经历归纳概括事物本质的过程,使学生学会用数学的方法认识问题,用数学的眼光观察现实世界,这也是落实数学抽象、直观想象的重要途径.

(2)重视公式的生成过程.以探究数学问题的一般路径为引导,通过举例、计算、观察、归纳、猜想、代数推理、几何验证等环节发现规律、获得猜想、证明结论,其实这就是用数学的思维思考现实世界,是落实逻辑推理和数学运算素养的过程.

(3)重视公式的辨析及应用过程.例如用公式进行简便运算,即构建平方差公式模型解决问题,并通过分析式子的结构特征、从数据中挖掘信息等,还有公式的文字、符号、图形语言的描述,这些其实都是用数学的语言表达现实世界,提升了学生的模型观念和数据观念.

3.2 关于教学理解——整体关联、主动建构

(1)从知识层面来说,关注知识整体结构,从多项式乘法中来,到多项式乘法中去.将平方差公式放到整式乘法的学习体系中来看,无非就是把某些特殊形式的多项式相乘写成公式的形式,以后遇到相同形式的多项式相乘,就可以直接利用公式.因此,知识的获得过程是从多项式的乘法中来.而学生学习完公式后可将其纳入多项式的乘法,找出它们之间关联,其目的是让学生在比较中发现其特殊性,并弄清研究价值,建立起新知与旧知的联系,顺利将本节知识纳入到原有知识结构之中,加深学生对知识结构化的理解,让知识自然生长.

(2)关于学法层面,从以往经验积累来,到未来探究运用中去.本节课在情境引入部分没有直接给学生提供探究资料,在探究环节没有分步做引导,而是以情境、问题、任务、小项目的方式间接呈现探究内容,推进学习过程,这样倒逼学生必须主动去建构、去经历、去参与、去探究、去完成.通过归纳小结的梳理,再次明确公式探究路径,为后续探究提供思路.

3.3 关于教学活动,从浅层次学习走向深度学习

以几何图形验证这一环节为例,教材用图形给出平方差公式的两种表述形式,提出了一个思考问题:你能根据图形中的面积说明平方差公式吗?如果教师在这一环节仅将该图形展示给学生,对“怎么验证?为什么这样验证?你是怎么想到这样验证的?”等避而不谈,这对学生来说只是一种浅层次学习,只是增加了直观感受,对提升思维能力及感受数形结合思想的优越性并没有实质性的推动.因此,落实素养为目标的教学,要求我们必须引领学生从浅层次学习走向深度学习.Z