小学数学建模的基本过程与实施要领

陈萍莉

【摘 要】文章以“一支铅笔能写多少字”为例，分析数学建模的背景和目的，阐述数学建模的基本过程，包括问题的提出、建立数学模型、模型求解、模型验证和结果分析，总结研究结果，并对小学数学建模的未来发展提出展望。

【关键词】小学数学建模 数学模型 模型求解 模型验证

数学建模及教学研究在大学开展得较多，在中学开展数学建模还处于探索阶段。在小学阶段研究数学建模是否可行？如何让数学建模在小学数学教育中扎根呢？我们首先得分清什么是数学建模，什么不是数学建模。

一、什么是小学数学中的建模活动

所谓数学建模，就是将数学应用于现实世界的一个过程，它始于一个数学课堂以外的真实问题。我们来看这样一个问题：

学生正在学习一个加法算式——“6+3”，教师通常会添加情境，例如：“如果小明有6块椒盐卷饼，小红有3 块椒盐卷饼，那么他们加起来一共有多少块椒盐卷饼？”

虽然这道应用题把物品与加法联系了起来，但它并不是一个建模问题，理由有二∶首先，对学生来说它没有内在的价值或意义，除了为了完成作业而解答这个问题，学生为何要关心小明和小红有多少椒盐卷饼呢？其次，这道应用题自始至终都是封闭的。尽管学生可以用不同的方式解答这个问题，如画图计数或写一个算术表达式并求值，但所有必要的数据都是明确给定的，并且仅有一个正确解答。所以，情境问题不等于建模。

让我们来探讨一下如何将这个应用题转换成一个数学建模问题，且能够使学生参与到整数加法运算当中。为了让学生更好地融入情境，我们可以让学生想象他们正在为各自的家庭准备野餐，并且他们得决定需要准备多少椒盐卷饼。学生需要考虑很多事情并问自己很多问题。比如：家里有多少人？其中多少人会参加野餐？每个人可能想吃多少块椒盐卷饼？有人有饮食限制吗？野餐中还有多少其他食物呢？

学生要对问题情境作出假设，他们在上述问题上的努力至关重要，会改变问题的答案。不过，当他们回答了这些问题并作出假设后，他们仍然需要完成整数加法计算。这样便有了一个小小的变化，让学生对情境进行思考，并决定“什么数要相加”，甚至是“有多少数要相加”，这样便将一个封闭的问题变成了一个开放式的问题。修订后的问题不但将学生引入了问题情境当中，而且达到了同样的数学教学目标。这就是小学数学中的建模活动。

本文以“一支铅笔能写多少字”为例，探讨小学数学建模的基本过程，介绍数学建模的各個环节和步骤，以期促进小学生学习和应用数学建模。

二、数学建模的基本过程

（一）问题的提出

问题的提出是数学建模的起点，通过明确问题的背景和要求，可以确定研究的方向和目标。问题提出之后，我们要从数学的角度审视问题，再形成用数学解决问题的思路。从数学的角度审视问题是指从数学的角度讨论问题的总体目标，分析问题解决的具体任务受哪些因素的影响，对目标的影响因素进行适当量化，然后提出假设，抓住主要因素删繁就简，凸显问题本质。最后结合学生情况，选择阐述语言，形成用数学解决问题的思路。

（二）建立数学模型

建立数学模型是解决问题的关键步骤，要求在真实的条件下通过抽象和理论分析，将实际问题转化为数学问题。一般有以下三个要求：

（1）查阅文献资料或征询专家意见，到问题现场调查或做相关实验获得数据。

（2）建立数学模型，阐明数学思想方法，即用数学的知识、方法、思想描述、解决问题。

（3）以学生具备的知识、方法、思想为主，不提倡建立未学的知识和方法的模型。

（三）模型求解

模型求解是对建立的数学模型进行具体计算和求解的过程，通过运用数学方法和工具，得出问题的解答。

（四）模型验证

模型验证是对建立的数学模型进行验证和评估的过程，主要通过与实际情况的对比来判断模型的准确性和可行性。特别要考虑对假设的检验，感悟检验的价值。

（五）结果分析

结果分析是对模型求解结果进行解释和分析的过程。进行结果分析可以帮助学生树立成果意识；学会反思改进，为将来再做类似的模型提供改进、发展的空间；开阔视野，感悟数学模型是可以解决很多问题的思想、方法、工具。

三、“一支铅笔能写多少字”的数学建模实施要领

（一）问题描述

1.数学问题

本活动的主要任务为“研究一支铅笔能写多少个字，并能借助语言、图形、实验等形式说明解决问题的方案”。其对应的数学问题就是“以部分估计整体”，即根据单位长度写的字数估算整支铅笔可用长度能写的字数，或者根据规定字数所消耗的长度推算整支铅笔可用长度能写的字数。

2.影响因素

教师引导学生从自身经验出发进行观察和分析，了解学生对影响铅笔写字数量的因素的认知基础。通过探讨和分析，学生意识到解决这个问题需要考虑很多方面的因素。进一步分类梳理如图1。

3.提出假设

教师继续引导学生思考：这么多影响因素太复杂了，为了便于问题解决，需要通过假设加以简化——次要因素暂时忽略，比较明确的因素可以先确定下来。例如，根据写字的要求，笔的硬度规定为HB；再如，调查市面上常见的铅笔，测量长度，取大多数铅笔的长度作为铅笔的总长度等。在此基础上，学生通过讨论达成共识：根据一般学生手掌的宽度来确定不能用的长度，使用统一的田格本来写字从而大致限制字的大小，等等。通过这些假设，问题化繁为简了，学生初步体会到假设的作用。在初步尝试实验之后，学生发现推算的结果依然有着天壤之别。此时，学生不再是凭直觉和经验来表达，而是能围绕影响因素进行深入分析，教师引导学生在讨论交流初次实验过程时再次提出假设，假设削铅笔的损耗不计，意外消耗的长度保存并记录在可用的长度里，字的笔画、字的大小和写字力度适中，以此来简化问题。

（二）建立模型并求解

本问题的基本模型为：y=k（x-x0），其中y表示一支铅笔能写的总字数，x为铅笔的总长度，x0为剩下不能写的铅笔长度，k表示单位长度的铅笔能写的字数。

（三）模型检验

1.对比小组研究结果

比较不同小组的研究结果，看是否接近，并反思原因。在此基础上进一步调整并完善假设，并再次实验。

2.实际检验

实际写完一支铅笔（退而次之，至少半支以上的铅笔），并统计字数。比较真实结果与实验推算结果，以检验模型的正确性。考虑到一个人写完一支铅笔实际操作起来比较困难，可以采用全班学生写接龙日记的方式进行检验。具体如下：

材料：一本田格本、一支铅笔（贴上标签：班级接龙日记专用，并套上保护套）、直尺、卷笔刀、铅芯盒。

学生接龙写字，写错用修改标记，不用橡皮擦除。（接龙写的好处是平衡了每个学生不同的用笔力度、写字方式等，恰好处理了因为难以定量而通过假设不予考虑的次要因素）

每个学生写字前后，分别测量一下铅笔的长度，并记录。如有折断，把折断的铅芯统一保存。（每个学生都要测量，且折断的铅芯都要保存好，这些实验中过程性数据的留存，更利于反思和检验）

全班接龙完成后，统计田格本上的字数、铅笔使用的长度，并与模型求解的结果进行对比，进一步反思。

（四）结果分析

学生能更好地理解铅笔的价值并合理使用铅笔，还能将获得的方法迁移到现实生活问题中，并通过此模型去探究实验：

（1）出行时带多少含量的牙膏合适呢？

（2）没关紧的水龙头会浪费多少水？

（3）一个家庭一年要用多少节电池？

（4）一个家庭一年吃多少米？

数学建模就是要把现实生活中的“具体实体”内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，形成数学模型，并根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，再返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。“一支铅笔能写多少字”的问题重在让学生体验建模的过程，通过实际情境，让学生在形成一些简单的数學模型的过程中，感受数学模型的形成，并能以此模型进行一些简单的解读与应用。此活动的探究过程将培养应用数学的意识贯彻在“从实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，构建数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题”的全过程之中，以期学生能将获得的方法迁移到“一节电池寿命有多长”“一管牙膏能用多久”等现实生活问题中，并通过运用此模型的经验去探究新问题。

注：本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“小学数学项目化学习的校本实践研究”（批准号为：C-c/2021/02/123）的阶段性研究成果。