小学数学毕业总复习指导

王强 郎效俭 张向军 丁丹丹 郭婕 李欣 张月霞

摘   要：《义务教育数学课程标准（2022版）》强调数学课程要体现整体性和发展性，核心素养的培养要体现整体性和一致性。小学数学总复习应紧紧围绕《义务教育数学课程标准（2022版）》，在知识统整和梳理方面持续发力，为学生形成结构化知识体系搭建思维框架。从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域进行总体把握，注重知识关联，提炼共性，聚焦“三会”，培养“四基”，发展“四能”，为下一学段学习奠定坚实基础。

关键词：小学数学；总复习；核心素养

中图分类号：G622.474  文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2024）10-0022-14

第一部分  数与代数

一、数与运算

“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。这一主题包括现行教材中数的认识、数与运算两个部分。

（一）目标达成

1.基于核心素养的学业质量标准

能结合具体的情境，认识自然数和自然数的一些特征，理解小数和分数，能进行数的大小比较和符号表示，形成数感和符号意识。能描述四则运算的含义，能进行整数四则运算以及简单的小数和分数四则运算、混合运算，感悟运算的一致性，形成运算能力和初步的推理意识。

2.目标分解

（1）在具体情境中，感悟并理解整数、小数、分数的意义，理解数位和计数单位（分数单位）的含义，能说出不同数位上的数表示的数值，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数、能用数表示物体的个数或事物的顺序，能认、读、写整数、小数、分数，知道用算盘可以表示多位数，会进行小数、分数的转化，形成初步的数感。

（2）了解符号＜、＝、＞的含义，会比较整数、分数、小数的大小；通过数的大小比较，感悟相等和不等关系，能用符号表示数的大小关系，形成初步的符号意识。

（3）在具体的情境中，理解四则运算的意义，感悟运算之间的关系，知道减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算；能进行整数四则运算和简单的小数、分数四则运算，掌握四则运算的算理和算法，感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。能结合具体情境理解整数除法与分数的关系。

（4）能熟练口算20以内数的加减法和表內乘除法，能口算简单的百以内数的加减法。能进行整数、分数、小数四则混合运算（以两步为主，不超过三步），正确运用小括号和中括号。

（5）探索并运用运算律，能用字母表示运算律。能运用运算律进行简便运算，解决相关的简单实际问题，形成运算能力。

（6）知道2、3、5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数，了解奇数、偶数、质数（或素数）和合数。在1～100的自然数中：能找出10以内自然数的所有倍数，10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数；能判断一个自然数是否是质数或合数。

（7）会运用数描述生活情境中事物的特征，在解决生活情境问题的过程中，体会数和运算的意义，能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，逐步形成数感、运算能力和初步的推理意识。

（二）知识网络

1.数的认识

2.数的运算

3.基本规律

（三）概念解析

1.数的认识

【计数单位】计数单位就是数字计量单位。十进制计数法中整数部分的计数单位有个（一）、十、百、千、万、十万……小数部分的计数单位有十分之一、百分之一……整数部分没有最大的计数单位，小数部分没有最小的计数单位；分数的计数单位是几分之一。

【数位】计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫作数位。

【十进制记数法】每相邻两个计数单位之间的关系是：一个大单位等于十个小单位，也就是相邻两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数方法就叫做十进制记数法。

【数位顺序表】按照我国的计数习惯，整数部分从个位起，每四个数位一级，分别为个级、万级、亿级……称为数级。把数级、数位、计数单位整合在一张表格中，就形成了数位顺序表。

【整数】像-31，-9，0，2，……这样的数统称为整数。整数包括正整数、0和负整数。

【自然数】用来表示物体个数的1、2、3……都叫作自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。

【分数】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数，表示其中一份的数叫作分数单位。

【小数】分母是10、100、1000…的分数可以用小数表示。小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……

【因数和倍数】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。因数和倍数是相互依存的。

【2、3、5的倍数的特征】个位上是0、2、4、6或8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；个位是0的数，既是2的倍数也是5倍数。一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【奇数、偶数】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

【质数、合数】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。

【公因数，最大公因数】几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的公因数叫做这几个数的最大公因数。

【公倍数，最小公倍数】几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的公倍数叫做这几个数的最小公倍数。

2.数的运算

【加法】把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。

【减法】已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。

【乘法】求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。一个数乘小数就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少；一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。

【除法】已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法是乘法的逆运算。

【四则混合运算】在同一个算式中，含有加、减、乘、除四种运算中的任意两种或两种以上的运算，叫做四则混合运算。在数的运算中，加法与减法称为第一级运算，乘法与除法称为第二级运算。在一个没有括号的算式里，如果只含有同级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

【运算定律】

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交换律：a·b=b·a

乘法结合律：（a·b）·c=a·（b·c）

乘法分配律：a·（b+c）=a·b+a·c

（四）核心素养

“数与运算”主题的学习，要关注学生核心素养的培养。这部分内容涉及到的核心素养主要有：数感，符号意识，运算能力，推理意识。

数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。能够在真实情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断；能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律。数感是形成抽象能力的经验基础。建立数感有助于理解数的意义和数量关系，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。

小学阶段主要学习整数、小数和分数的认识。培养数感，要让学生经历由数量或数量关系到数的抽象过程，进而理解和掌握数的概念。数感与估算也有着密切的联系，估算反映学生对数和数量关系以及运算结果的整体把握，使数字和真实生活情境联结起来，能够在真实情境中发展数感。在探究数表达的简单规律时同样可以发展数感，用数表示规律可以体现在量的多少的变化上，在体会和寻找规律中感悟数与数之间的關系。

符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。

从具体到抽象是培养学生符号意识的基本途径。在学习过程中，要在具体情境中，认识和理解符号，能对数学符号的意义、特点、功能进行初步理解。知道符号可以表示某个具体的数或量，初步感悟符号参与运算的过程，能用字母简洁的表示各种运算律、关系、公式等。能在数学应用的过程中，初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。

运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。

运算能力是在小学生掌握有关计算知识和技能的基础上逐步形成的，是小学数学能力的基础和重要组成部分。在学习过程中，要注重对四则运算算理和算法的统筹，沟通小数、分数与整数四则运算之间的关系，感悟运算的一致性，理解运算的核心是计数单位。运算的过程就是数学推理的过程，让学生感悟每一步运算都是有理有据的。

推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论；能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论；通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程；对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。

推理是一种数学基本思想，反映数学学科本质，小学阶段主要是让学生经历初步的逻辑推理过程，形成推理意识，能够进行合情推理和初步的演绎推理。学生能够感悟数学结论的对错都是基于一定的规则得到的。课堂上，学生能够理解别人的思考（推理）过程，提出自己的质疑和评价。教师要给学生提出质疑和对他人观点进行总结概括的机会。

教学建议：

1.进一步感悟数的概念本质上的一致性，培养数感和符号意识。让学生经历从数量到数，从整数到分数、小数的形成过程，在体会数是对数量和数量关系的抽象的同时，逐步体会数概念本质上的一致性，即无论是整数、小数还是分数，都可以从计数单位和计数单位个数的角度去认识。“计数单位”是数与运算主题的核心概念，整数、小数的计数单位、分数的分数单位，都是度量数大小的单位，所有的数都可以看作是计数单位及其个数乘积的累加，再用符号对数进行表示。

2.进一步体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。运算可以看作基于计数单位和计数单位个数的某种运作，在理解了数的概念的一致性的基础上，建立数与运算的关系，知道加、减、乘、除都可以看作是基于计数单位把数累加或递减。感悟数运算的一致性，要能够从整体上理解和掌握算理和算法。在复习的过程中，教师要组织学生总结和梳理不同运算之间的关系。还可以引导学生探索和理解所有运算的算理均来自运算律与等式的基本性质，所有运算的算法均基于计数单位。

3.感悟数与运算的关联，体会数的认识与数的运算的整体性。从统整的视角引导学生梳理数与运算的关系。每个新数（计数单位）的产生过程，本身就是运算的过程，随着数的拓展，运算也从加拓展到减、乘、除，计算的方法越来越复杂，但是算理是一致的，在这一过程中，可以帮助学生更好的体会数的认识与运算的整体性。

二、数量关系

“数量关系”是现行教材中“用四则运算的意义解决实际问题”“常见的数量关系”“式与方程”“正、反比例”“探索规律”以及“估算”等内容整合到一起的主题。主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。

（一）目标达成

1.基于核心素养的学业质量标准

在数学与生活情境中，会用数学的眼光观察、尝试、探索发现并提出问题，能用数学的语言描述生活中的实际问题，运用数学的知识和方法表达、分析、解释实际问题，将所学的数学知识应用于解决现实生活中的问题，形成符号意识、几何直观、推理意识、模型意识和应用意识。

2.目标分解

（1）在实际情境中，运用数和数的运算解决问题，能解释结果的实际意义。在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算，体会估算在生活中的作用。在具体情境中，发现常见数量关系，能运用常见的数量关系解决实际问题，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。

（2）能借助计算器进行计算，解决简单的实际问题，探索简单的规律，并解释计算结果的实际意义。

（3）在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性。能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用；能在具体问题中感受等式的基本性质；能用等式的基本性质解简单的方程。

（4）能在具体情境中判斷两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题；能在具体情境中描述成正比和反比的量，能找出生活中成正比、反比量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y/x=k（k≠0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值，能探索规律或变化趋势。

（5）能解决较复杂的真实问题，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识，提高解决问题的能力。

（二）知识网络（下页）

（三）概念解析

【情境】（具体场合的）情形；景象；境地。数学上的情境是指蕴含数量关系和空间形式等要素的场景。

【模型】指用数学公式或图形等显示事物的抽象结构或系统。在数量关系主题下，模型是数量关系的一般性表达，是四则运算意义的抽象（一般化）。

【常见数量关系】特指“总量=分量+分量”“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”三类数量关系。

【数学符号】有一定数学含义的专用标记。

【字母表示关系或规律】在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质或规律。

【用字母表示数】用字母表示常见的数量关系和运算定律、法则以及面积、体积的计算公式等。

【等量的等量相等】数学基本事实。如果一个量A和另一个量B相等，B又和第三个量C相等，则A和C相等。

【等式的性质】等式的两边同时加（减或乘）相同的数，或除以同一个不为零的数，左右两边仍然相等。

【方程】像100+x=250，3x=2.4这样，根据等量关系列出的含有未知数的等式是方程。

【比】表示一个数与另一个数的倍数关系的一种形式。

【比的基本性质】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

【比例】表示两个比相等的式子。

【比例的基本性质】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

【解比例】求比例中的未知项，叫做解比例。

【按比例分配】把一个数量按照一定的比例分配成若干部分，这样的问题叫做按比例分配。

【成正、反比的量】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比的量；如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比的量。

（四）核心素养

开展“数量关系”主题下的内容教学，应重点发展学生的应用意识、模型意识、符号意识，同时发展学生几何直观、推理意识和创新意识。

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。①能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；②根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；③建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；④利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。

几何直观是贯穿于各个领域的素养表现，从①～④的描述中可以看出，①和②主要描述在图形与几何领域中的功能和表现，③和④主要描述了在数与代数、统计与概率中的功能和表现。培养学生几何直观能力，要注重数学活动的充分介入，提倡“做中学”，让学生感受数与形的紧密联系，培养学生主动画图、列表解决问题的良好习惯。

模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。模型意识有助于开展跨学科主题学习，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。

数学模型是数学与现实世界互相联系的基本方式，许多数学概念、关系、运算、图形、数据等都是现实问题数学化的结果。在解决一类数学问题时可以用一个具有“一般性”的数学模型表示数量关系。在学习过程中，可借助“多题一解”的问题情境帮助学生感悟数学模型的普适性。

应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。①能够感悟现实生活中蕴含着大量的与数量和图形有关的问题，可以用数学的方法予以解决；②初步了解数学作为一种通用的科学语言在其他学科中的应用，通过跨学科主题学习建立不同学科之间的联系。应用意识有助于用学过的知识和方法解决简单的实际问题，养成理论联系实际的习惯，发展实践能力。

培养应用意识，首先强调真实情境的价值，要积极获取与数学相关的真实素材，在“做真事”和“真做事”的过程中用所学知识解决真实问题。二是强调用“数学的眼光”发现和感悟现实生活中蕴涵的与数量和图形有关的问题。三是开展跨学科主题学习，促进应用意识的发展和升华。

教学建议

1.深刻认识几何直观对于问题解决的重要意义。鼓励学生用画图、实物操作等直观方法表示问题中的数量关系，体会画图在解决问题中的作用，形成几何直观。

2.常见数量关系的教学要在了解四则运算含义的基础上，引导学生利用加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中数量的意义。理解现实问题中的加法模型是表示总量等于各分量之和，乘法模型可大体分为与个数有关和与物理量有关的两种形式，感悟模型中量纲的意义。利用现实背景，引导学生理解等量的等量相等这一基本事实，形成初步的推理意识。

3.用字母表示关系的教学，要设计合理的实际情境，让学生理解用字母表示的一般性，形成初步的代数思维。引导学生会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律，理解字母还可以表达图形的周长和面积计算公式等，感受字母表达的一般性。

4.比和比例教学要合理利用创设实际生活中的情境，引导学生发现并用字母表达两个数量之间的倍数关系，主动寻找生活中成正、反比关系量的实例，并进行交流。尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验。

5.沟通不同关系模型的联系。在教学中引导学生通过比较发现组合模型问题、方程问题、比例问题、成正（反）比量的问题都是以加法模型和乘法模型为基本单位转化或构成的。

第二部分  图形与几何

一、图形的认识与测量

“图形的认识与测量”包括立体图形和平面图形的认识，线段的长度测量，以及图形的周长、面积和体积、容积的计算。图形的认识主要是对图形的抽象。图形的测量重视确定图形的大小。

（一）目标达成

1. 基于核心素养的学业质量标准

通过实物和模型辨认简单的立体图形和平面图形，认识线和角以及常见图形，能描述图形特征或根据语言描述画出图形，能感知各种几何图形及其组成元素，会依据图形的特征进行分类。会根据情境选择合适的度量单位度量，对常见的物体和图形进行测量，体会建立统一度量单位的意义，在图形认识与测量的过程中，能通过归纳和类比，猜想或发现一些初步的结论。形成初步的几何直观、空间观念、推理意识和量感。

2.目标分解

（1）感悟统一单位的必要性，认识长度单位厘米、米、千米、分米、毫米；能恰当地选择长度单位描述生活中常见物体的长度，能进行单位之间的换算；能估测一些身边常见物体的长度，并能借助工具测量生活中物体的长度，初步形成量感。

（2）结合实例认识线段、射线和直线；体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间距离；会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；了解同一平面内两条直线的位置关系。结合生活情境认识角，知道角的大小关系；会用量角器量角，会用量角器或三角板画角。

（3）能辨认三角形、四边形、圆、扇形等平面图形，能直观描述这些平面图形的特征和特性，能根据描述的特征对图形进行简单分类；会用简单的图形拼图，能在组合图形中说出各组成部分图形的名称，会用圆规画圆，认识圆周率。

（4）知道面积单位；结合实例认识面积，探索并掌握长方形、正方形、圓的周长计算公式和长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。能辨认长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形，能直观描述这些立体图形的特征，了解这些图形的展开图。探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积的计算公式、圆锥体积的计算公式，探索组合图形的体积，体验不规则物体体积的测量方法。能用这些公式解决简单的实际问题，形成推理意识和应用意识。

（5）通过实例了解体积（或容积）的意义，知道体积（或容积）单位；能进行单位之间的换算。

（6）能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。能辨认不同方向（前面、侧面、上面）的形状图。能说出立体图形中某一个面对应的平面图形。形成初步的空间观念。

（二）知识网络（下页）

（三）概念解析及知识要点

【线段】表示直线上两点间的部分。

【直线】把线段向两端无限延伸，就得到直线。

【点到直线的距离】从直线外一点到这条直线所画线段中垂线段最短，它的长度叫做这个点到这条直线的距离。

【射线】把线段向一端无限延伸，就得到一条射线。射线只有一个端点，可以无限延伸，不能测量长度。

【角】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。或者一条射线绕其端点旋转构成的图形叫做角。

【两条直线互相平行】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

【两条直线相交】如果两条直线有公共点，叫做这两条直线相交。

【两条直线互相垂直】两条直线相交成直角，叫做这两条直线互相垂直。其中一条叫做另一条的垂线。它们的交点叫垂足。

【长方形】一个角是直角的平行四边形，叫做长方形。

【周长】封闭图形一周的长度。

【正方形】相邻两边相等的长方形叫做正方形。

【平行四边形】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

【三角形】由三条线段首尾依次相连围成的图形叫做三角形。

【梯形】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。梯形中互相平行的两条边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的两条边叫做梯形的腰，两底之间的距离称作梯形的高。

【圆】到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。概念中的“定点”叫做圆心。用字母O表示。连接圆心与圆上任意一点的线段叫作圆的半径，通常用字母r表示。通过圆心且两端都在圆上的线段叫作圆的直径，通常用字母d表示。

【圆周率】圆的周长与直径的比值，称作圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数。

【扇形】一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。

【长方体】长方体一般是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。

【表面积】物体表面或立体图形各面的面积和。

【体积】物体所占空间的大小。

【容积】像太空舱、粮仓、油桶、盒子所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。

【正方体】正方体是由 6 个正方形围成的立体图形。

【圆柱】一个长方形，以它的一边为轴旋转 360°形成的旋转体是圆柱。

【圆锥】一个直角三角形，以它的以它的一条直角边为轴旋转 360°形成的旋转体是圆锥。

（四）核心素养

图形的认识与测量以图形注重培养学生的空间观念、几何直观和推理意识、应用意识、量感等核心素养。

量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。①知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；②会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算；③初步感知度量工具和方法引起的误差，能合理得到或估计度量的结果。建立量感有助于养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，是形成抽象能力和应用意识的经验基础。

量感属于“会用数学的眼光观察现实世界”。量感的基本内涵包括以下几个方面。知道度量的意义、知道度量单位的大小；能够依据度量对象选择合适的度量单位；能够进行度量单位的换算；理解计算公式并正确进行计算；感受误差的合理性；建立“度量单位”的大小。

空间观念空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。

在图形的认识与测量中培养学生空间观念包括：通过感知、描述与想象，能够从具体物体中抽象出立体或平面图形；能够根据语言描述或几何图形想象出实际物体或景象；能够用图形拼图；能够将一个复杂图形分解成简单图形；能够用语言表述一个空间结构或几何图形；能够理解图形之间的关系，体会三维和二维的转化过程，形成空间观念。

教学建议

1.复习时要重视知识内在关系的梳理。在回顾知识过程中，尝试制作思维导图。通过分类、比较、辨析、沟通图形之间的联系与区别，最终形成清晰的知识网络。让复习结构化，系统化。

2.关注基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念。梳理并掌握规则图形的周长、面积和体积公式，通过对公式推导过程的复习，建立图形与图形的关系，培养推理意识。

3.鼓励学生选择不同的方法进行测量，在相互交流的过程中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的必要性。通过实践活动，建立表象，理解度量单位的实际意义，理解长度的测量、面积的测量、体积（容积）的测量都是相同测量单位的累加。

二、图形的位置与运动

图形的位置與运动，包括图形的位置和图形的运动两部分，主要涉及点的位置、图形的平移、旋转和轴对称。

（一）目标达成

1. 基于核心素养的学业质量标准

能根据参照点的方向和距离确定物体的位置，并能运用数对表示平面内点的位置；掌握描述图形位置和运动的方法，理解比例尺的意义，能在方格纸上进行图形的放大和缩小、旋转及平移；直观感知轴对称现象及轴对称的特征，体验数学之美。形成量感、空间观念和几何直观，增强应用意识和创新意识。

2.目标分解

（1）能在实际情境中，辨认出生活中的平移、旋转和轴对称现象，直观感知平移、旋转和轴对称的特征，能利用平移或旋转解释现实生活中的现象。（2）能根据指定参照点的具体方向和距离描述物体所处位置；能在熟悉的情境中，描述简单的路线图。（3）能在方格纸上用有序数对（限于自然数）确定点的位置，理解有序数对与对应点的关系。（4）认识比例尺，能说出比例尺的意义；在实际情境中，会按给定比例进行图上距离与实际距离的换算；能在方格纸上，按给定比例画出简单图形放大或缩小后的图形。（5）能在方格纸上描述图形的位置，能辨别和想象简单图形平移、旋转后的图形，画出简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形；能借助方格纸，了解图形平移、旋转的变化特征。知道轴对称图形的对称轴，能在方格纸上补全轴对称图形。（6）对给定的简单图形，能用平移、旋转和轴对称的方法，在方格纸上设计图案，并能说出设计图案与简单图形的关系，增强应用意识和创新意识。

（二）知识网络

（三）概念解析及知识要点

1.图形的位置

【用数对表示物体位置】在平面内确定物体位置，需要两个独立数据：纵向位置和横向位置。在描述物体位置时，通常先说列数，再说行数。确定列从左往右数，确定行从前往后数。

【方向】在实际生活中，需要辨识东、南、西、北、东北、东南、西北、西南等八个方向来确定事物位置或判断物体运动方向。地图通常是按上北下南，左西右东绘制的。

【比例尺】图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。在图幅相同的地图上，比例尺越大，反映的实际范围越小。比例尺可以写成数值比例尺和线段比例尺。

2.图形的运动

【平移】图形的平移是把一个图形上的每一点沿着一定方向平行移动相同的距离。平移后不改变图形的形状和大小。

【旋转】在平面内，将一个图形绕定点旋转一定角度，这样的运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

【轴对称图形】在一个平面上，沿一条直线对折，直线两侧部分能够互相重合的图形叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。

【放大或缩小】把一个图形的各边按一定的比例进行放大或缩小，从而得到该图形的放大图或缩小图。

（四）核心素养

图形的位置与运动主题内容涉及的量感、空间观念、几何直观、应用意识、推理能力等核心素养，前面已经描述。

教学建议

1.尽量选择简单的图形，让学生基于方格纸感知特征。着重联系现实情境进行辨认和判断，帮助学生认识平移、旋转和轴对称的现象，增强空间观念。

2.图形的位置，可利用方格纸上的点，通过有序数对精确地表示图形的位置。结合实际情境，引导学生依据相对参照点的方向和距离，准确地描述物体的空间位置。还可借助信息技术手段，通过动态演示点的运动轨迹，帮助学生理解确定位置的方法。

3.图形的运动，利用方格纸进行实际操作和思维想象，引导学生绘制简单图形在平移、旋转后的形态，以体验图形变化的特性。根据指定比例对简单图形进行放大或缩小，让学生感受比例尺的意义，从而加深对比和比例的理解。

4.依据学生实际情况，可安排剪纸等相关活动，引导学生探究图案中的基本图形及其演变规律，体验中华优秀传统文化的魅力，提升空间观念。

第三部分 统计与概率

一、数据的收集、整理与表达

包括数据的收集，用统计图表、平均数、百分数表达数据。

（一）目标达成

1.基于核心素养的学业质量评价标准

经历数据收集、整理分类与数据表达的全过程，能够根据问题需要，通过不同途径获取数据，对数据进行整理、提取信息并进行简单的判断，感受数据蕴含的信息，初步形成数据意识、模型意识，发展应用意识。

2.目标分解

（1）根据实际问题需要，经历数据收集、整理和分析的过程，能合理述说数据分析的结论。

（2）通过对数据的简单分析，感受数据蕴含着信息，体会运用数据进行表达与交流的作用。认识折线、扇形统计图；会用条形、折线统计图呈现相关数据，解释所表达的意义。能利用图表做出正确的推断、分析和决策。

（3）能在简单的实际情境中，探索平均數的意义，解决有关的简单实际问题。

（4）感受百分数的统计意义，能解决与百分数有关的简单实际问题。

（二）知识结构

（三）核心概念与知识要点

【分类】根据事物或数据的特点按照一定的标准和原则划分成不同的类别或等级分别归类的活动。包括事物分类和数据分类。

【数据分类】是一种将具有相似特征的数据按照其相似程度和相关性进行归类的方法。

【统计表】统计表是反映统计资料的表格。可将数据按照一定规则有条理地呈现在表格中。通常，这种表格包括表首、横（纵）标题和相关的数据。一般按照收集项目的多少，分为单式统计表和复式统计表。

【统计图】是一种用来展示统计数据的图形工具，它可以用条形、扇形或折线图来表现数据。统计图可以让复杂的数字简单化、形象化，所以在实际生活中具有广泛的应用。

【条形统计图】通过纵向和横向绘制条形的高度和宽度，来表示统计数据的大小和多少的统计图。可以清晰地展示数据的多少，便于直观比较。一般由组数、组宽度、组限构成，条形统计图又分为单式条形统计图和复式条形统计图。

【折线统计图】利用曲线的升降变化来表示统计指标数值变化的一种图形。分为单式折线统计图和复式折线统计图。

【扇形统计图】能够更加直观地展现出不同类型的物体在单位“1”中所占的百分比，并且能够更加精确地反映出每一类物体的比例与其他物体的比例。

【平均数】可以衡量一组数据的总体水平，它可以用来表征数据集的整体趋势，并且可以用来衡量某一特定情况。

【百分数】表示一个数是另一个数的百分之几的数。

（四）核心素养

数据的收集、整理与表达主题内容所涉及的核心素养包括数据意识、模型意识及应用意识。现将数据意识分析如下。

数据意识主要是指对数据的意义和随机性的感悟。知道在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，收集数据，感悟数据蕴含的信息；知道同样的事情每次收集到的数据可能不同，而只要有足够的数据就可能从中发现规律；知道同一组数据可以用不同方式表达，需要根据问题的背景选择合适的方式。形成数据意识有助于理解生活中的随机现象，逐步养成用数据说话的习惯。

数据意识的表现主要包含以下几个方面：

感悟数据的意义。知道数据与数量的区别；知道数据可以分析某种随机现象和解决问题；知道数据的来源与真实性很重要。体验数据收集的过程。感悟数据的变异性。掌握数据整理的方法，可以对数据进行分类、分组、分段，排序等。感悟统计图表的意义。能够读懂简单的统计表，并能够分析数据，解释所表达的意义。初步感悟概率的意义。能在现实情境中，对随机现象利用可能性的大小来表示。

教学建议

1.联系生活创设问题情境，使学生感受统计的必要性。遇到相关问题，能基于数据思考问题，收集和整理相关信息，能够根据统计结果做出正确的决策。

2.反思体会数据蕴含着信息，注重经历统计过程。经历数据分析的全过程是培养学生数据意识的基本策略。学生在经历完整的统计过程中掌握收集数据、整理、分析数据的方法，能够深切体会数据中蕴涵着信息，能够运用数据分析问题、解决问题。

3.在相同数据、不同问题背景中，感受表征数据、分析数据的有效性。加强学生体验数据表达、分析的有效性。在收集、整理、制作统计图表的同时，引导学生初步体会统计图表在表征数据方面的直观作用，体验数据分析的有效性。根据不同的情况来选择适当的分析方法。

二、随机现象发生的可能性

这部分内容和现行教材中概率的部分一致。通过试验和游戏，让学生理解随机现象，并能够用定性的方法来描述随机现象发生的可能性，体会数据的随机性，培养数据意识。

（一）目标达成

1.基于核心素养的学业质量标准

能通过收集到的数据，判断简单随机现象及其结果发生的概率。发展学生的数据意识、应用意识和推理意识。

2.目标分解

（1）通过实例感受简单的随机现象及其结果发生的可能性。

（2）在实际情境中，对一些简单随机现象发生可能性的大小作出定性描述。

（二）知识结构

（三）核心概念及知识要点

【随机现象】指的是事前无法预料的现象，它们的基本特点是：在相同的环境中，重复的实验可能会导致不同的结果，有时会发生，有时不会发生。当试验次数足够多的时候，就可能发现规律。

【可能性】描述随机事件发生的概率。

【游戏规则的公平性】是指参与者在竞争中拥有同等的机会。当参与者的获胜机会完全一样时，游戏规则公平。

（四）核心素养

概率主题涉及的核心素养包括数据意识、应用意识和推理意识，前面均已介绍过。

教学建议

1.重视从生活经验中发展数据意识。引导学生感受自然界和生活中的随机现象普遍存在。通过大量的实例让学生感受随机现象。

2.重视在试验、游戏活动中体验随机性。通过实验、游戏等活动，可以深入了解随机现象的基本特征，并且定性地评估它们出现的可能性。

3.通过预测类数学活动，应用数据收集、整理与表达技能，发现数据中蕴含的信息，体会数据的随机性，根据随机数据进行预测，形成数据意识、应用意识。

第四部分 综合与实践

综合与实践领域是现行教材中综合与实践、常见的量、方位等知识内容的整合，主要包括主题学习和项目学习。

（一）目标达成

1.核心素养背景下学业质量标准

在现实情景和问题中，通过操作、探究等活动，与他人合作、交流，获得简单的数学模型或解决问题的基本方法，积累综合运用数学知识、技能、方法的数学活动经验，体会数学知识之间、数学与其他学科之間、数学与生活之间的密切联系。激发数学好奇心、求知欲，建立学好数学的兴趣与信心，能独立思考、质疑问难，感受科学精神。

2.目标分解

（1）经历数学学习、活动的过程，感受数学知识之间、数学与其他学科知识之间、数学与社会生活之间的密切联系，积累数学活动经验。

（2）在真实情境活动中，尝试发现和提出数学问题，探索分析和解决问题的方法，运用常见的数量关系和其他学科的知识与方法解决问题，判断结果的合理性。

（3）在既定目标任务驱动下，了解要解决的问题和解决问题的办法，感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程。

（4）经历独立思考并与他人合作交流解决问题的过程，进一步理解所用的知识和方法，提高应用意识，培养认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的习惯。

（5）在数学实践活动中思考、实践、探究、交流、表达，提升思考问题的能力，感悟思想方法、形成和发展模型意识、应用意识、创新意识。

（二）知识网络

综合与实践重在解决实际问题，以跨学科主题学习为主，主要包括主题活动和项目学习。

（三）概念解析

【主题学习】是指在集体实践活动中，以一个主题为线索，按照学生的认知规律，以学生喜闻乐见的场景为背景、以数学问题为切入点，综合运用数学和其他学科的知识与方法，分析并解决问题。根据新课标要求，建议在货币单位、时间单位、质量单位、位置和方向、负数的复习过程中，采用主题活动的方式。

【项目学习】项目学习从学生已有经验出发，在复杂、真实的生活情景中引导学生自主地进行问题分析与研究，侧重问题解决，主要以“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”为逻辑线索。项目式学习的成果往往以作品形式完成自主知识建构，体会数学知识的价值，以及数学与其他学科的关联。根据新课标要求，建议在五、六年级部分知识的复习中，采取项目学习的方式。

（四）核心素养

综合与实践涉及到的核心素养包括应用意识、模型意识、创新意识。应用意识和模型意识前面都已经介绍。

创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题。初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题和猜想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题和数学问题。创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神。

教学建议

1.在实践活动设计中要指向融合数学与其他学科知识的实际情景和真实问题，要加强问题性和开放性，重视实践性和过程性，兼顾学科性和综合性，关注过程评价、创新评价，可适当融合信息技术。

2.根据不同学段学生特点，教师或学生自主适当设计长程、可操作性、富有趣味的活动，发展创新意识和应用意识，过程中注意多学科教师协同教学，统筹设计与实施，对学生全面指导，全程跟进，实时关注、强化其参与和体验。

3.数学实践活动可根据需要，在形式上可采用“课内+课外、校内+校外、集中+分散”等多种灵活多样形式开展。

4.综合与实践具体活动任务应难易适度，有助于学生数学思考，应指向数学本质，有助于学生提高数学素养，要有一定的开放性，给学生提供一定的探究空间。