巧思维展开 妙视角拓展

任天天

平面向量数量积的求值或最值（取值范围等）问题是新高考数学试卷中比较常见的一类基本题型与重要考点．此类问题可以很好实现平面向量中“数”与“形”的和谐统一，巧妙融合“动”与“静”的两种状态，达到平面向量的概念与运算、代数与几何等不同数学知识模块之间的交汇与融合，倍受各方关注．

1．真题呈现

（2023年全国乙卷文科·6）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED=（  ）.

A．5    B．3    C．25    D．5

此题以正方形为问题背景，结合边上的定点（中点），确定对应平面向量的数量积的值，很好串联起平面幾何的“形”的特征与平面向量数量积的“数”的内涵，数形转化，求解切入点多，主要是根据平面向量数量积自身的知识本质，平面向量中常用的基底思维、坐标思维以及定义思维等来展开与应用，进而得以求解对应的数量积的值．

2．真题多解

解法1：（基底法1）依题知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则|AB|=|AD|=2，AB·AD=0，而EC=EB+BC=12AB+AD，ED=EA+AD=－12AB+AD，所以EC·ED=（12AB+AD）·（－14AB2+AD2）=－14×22+22=3，故选B．

解法2：（基底法2）依题知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则|EA|=|EB|=1，EA·EB=－1，EB·AD=0，EA·BC=0，所以EC·ED=（EB+BC）·（EA+AD）=EB·EA+EB·AD+BC·EA+BC·AD=－1+0+0+2×2=3，故选B．

解后反思：根据平面向量的线性运算的转化来求解对应的数量积，是平面向量“形”的特征的直观想象，借助基底的线性转化与变形，结合数量积的运算来应用，关键在于寻觅一组方便求解的基底向量．

解法3：（坐标法）依题知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，

图1

如图1所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则C（2，2），D（0，2），E（1，0），可得EC=（1，2），ED=（－1，2），

所以EC·ED=（1，2）·（－1，2）=3，故选B．

解后反思：根据平面向量的数量积的坐标运算·=x1x2+y1y2来求解对应的数量积，是充分体现平面向量的“数”的属性的基本特征之一，关键在于构建相应的坐标系并确定对应点、向量的坐标．

解法4：（定义法）依题知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，可得|CD|=2，|EC|=|ED|=5，在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC=|ED|2+|EC|2-|CD|22|ED||EC|=5+5-42×5×5=35，所以利用数量积的定义，可得EC·ED=|EC||ED|cos∠DEC=3，故选B．

解后反思：根据平面向量的数量积定义·=||||cos<，>，结合相关的运算来求解对应的数量积是解决此类问题中比较常用的基本方法之一，关键在于确定两相关向量的模以及两向量之间的夹角．

图2

解法5：（投影法）如图2所示，过点C作DE的垂线，垂足为F，

依题知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，可得|CE|=|DE|=5，利用等面积法，可得S△CDE=12×5×|CF|=12×2×2，解得|CF|=455，利用勾股定理有|EF|=|CE|2-|CF|2=355，利用投影定义，可得EC·ED=|EF||ED|=3，故选B．

解法6：（极化恒等式法）取CD的中点G，连接EG，依题可知EG⊥CD，|EG|=2，利用极化恒等式，可得EC·ED=14［（EC+ED）2－（EC－ED）2］=14（4EG2－DC2）=|EG|2－14|DC|2=3，故选B．

解法7：（余弦定理的向量式法）依题知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，可得|CD|=2，|EC|=|ED|=5，利用余弦定理的向量式，可得EC·ED=12（EC2+ED2－CD2）=12（|EC|2+|ED|2－|CD|2）=12（5+5－22）=3，故选B．

解后反思：抓住平面向量自身“形”的结构特征，从几何视角切入，可以通过投影定义、极化恒等式、余弦定理的向量式等来处理与平面向量的数量积有关的向量问题．几何法的本质是平面向量“形”的结合特征的直观想象，以及一些相关概念、公式与性质的综合应用，特别是这里涉及的极化恒等式、余弦定理的向量式等，都是教材有益的补充与提升，可以给一些学生提供一些课外提升的空间．

3．变式拓展

保留正方形的问题场景，借助相应边上的“定点”向相应边上的“动点”的变化，进而确定相应数量积的最小值或取值范围问题得变式．

变式1  正方形ABCD的边长是2，E是AB边上一动点，则EC·ED的最小值为．

变式2  正方形ABCD的边长是2，E是AB边上一动点，则EC·ED的取值范围为．

变式1及变式2的答案分别是3;［3，4］．

保留正方形的问题场景，借助相应边上的点向一定轨迹上的点的变化，增加问题复杂度，提升问题难度，进而确定相应数量积的取值范围问题得变式．

变式3  正方形ABCD的边长是2，E是正方形ABCD内部（不含边界）的一个动点，且满足EA·EB=0，则EC·ED的取值范围为．

图3

解析：依题正方形ABCD的边长为2，建立如图3所示的平面直角坐标系，

则A（－1，0），B（1，0），C（1，2），D（－1，2），

又E是正方形ABCD内部（不含边界）的一个动点，且满足EA·EB=0，则知动点E是单位圆位于正方形ABCD内部的圆弧上的一个点，设E（cosθ，sinθ），θ∈（0，π），则EC·ED=（1－cosθ，2－sinθ）·（－1－cosθ，2－sinθ）=4－4sinθ，而θ∈（0，π），故有sinθ∈（0，1］，即EC·ED=4－4sinθ∈［0，4），故填［0，4）．

4．教学启示

4．1  总结思维视角，归纳技巧策略

解决平面向量数量积的求值或最值（取值范围等）问题，主要围绕数量积的概念、公式与基本性质等，常见的思维视角包括：（1）定义思维，回归数量积本质，从最根本的视角来切入与应用，也是解决数量积问题中的根本方法；（2）坐标思维，从“形”的视角进行“数”化，借助建系法，合理将点、向量等进行坐标表示与坐标运算，通过“数”的运算来分析与解决问题；（3）几何思维，从“数”的属性进行“形”化，借助几何法，或基底变形，或利用图形直观，通过“形”的直观来分析与解决问题．

4．2  倡导“一题多解”，实现“一题多变”

涉及平面向量数量积的求值或最值（取值范围等）问题，主要可以从定义视角、几何视角、坐标视角等不同思维视角切入，全方位发散思维，得以“一题多解”，充分融合数学基础知识与基本技能，形成稳定的知识架构．

在“一题多解”的基础上，合理归纳总结，巧妙拓展提升，借助“一题多变”进行变式应用，对问题加以更深层次的变式拓展与升华提升，全面提升数学能力，真正达到会解、会用、会拓展、会归纳总结等，从而实现“一题多得”的良好效果，举一反三，融会贯通，发展创新意识与创新应用．