一道新高考解析几何题的多解探究

于悦

摘要：解析几何是高中数学最重要的部分之一，长期以来都是高考的重点和难点.在全国广泛推行新课标与新教材的背景下，新高考越来越重视对学科核心素养的考查.而解析几何部分涉及多种学科核心素养的特点也使其在高考中的地位愈发重要.解析几何的难点在于运算，而新高考的解析几何题目似乎已不再单纯是联立方程和韦达定理的固定模式那样简单，而是从根本上要求考生提高数学运算核心素养.新课标将数学运算核心素养总结为四大主要特征，即理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果.那么将这些落实到解析几何的具体运算中就成为了关键所在.文章通过对2022年新高考Ⅰ卷第21题的简要分析，为学生提供解析几何的运算方法和思路，同时提升学生的数学运算核心素养.

关键词：高中数学；解析几何；一题多解；核心素养

1题目呈现

已知点A（2，1）在双曲线x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．求l的斜率.

这是2022年新高考Ⅰ卷数学第21题的第一问，本文中只就该问中直线的斜率进行一题多解，以此来探究数学运算核心素养在解析几何相关运算中的具体落实.

2题目解析

2.1设线解点法

本题的核心目标是计算直线的斜率，这就是运算对象，那么在理解运算对象上，又通常表现为以下三种形式，它们带来了不同的运算结果.

理解之一：根据斜率的坐标形式，只需解出两点的坐标，即可求出斜率.这是解析几何中最朴素也最直接的理解.所以接下来就开始进入到运算规则，解出相关坐标.而在求解坐标时，由题型的特点又可以产生不同的运算思路.

运算思路一：利用直线与曲线方程联立求解点的坐标.题干通常都会出现“一定两动”的斜率关系，分别通过一定点和两个动点连线所构成的两条直线联立曲线方程解出动点坐标.对于本题，如果能够理解运算对象，发现直线地位的同等关系，就可在解出一个动点的坐标后同理得出另一个动点的坐标，这样可相对减少运算量.如若不能，则需要解两次方程组，进而解出各点的坐标.可以看到，对运算对象的理解不同，运算的代价自然也不同.根据以上分析可以给出解法1.

解法1：设直线AP的方程为y=k（x－2）+1，与双曲线的方程x22－y2=1联立，消去y，得

（1－2k2）x2+4k（2k－1）x－8k2+8k－4=0.

由韦达定理，可得xAxP=－8k2+8k－41－2k2.

所以xP=4k2－4k+22k2－1，从而可得

yP=k（xP－2）+1=2k2－4k+11－2k2.

因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以直线AQ的方程为y=－k（x－2）+1，

同理可得

xQ=4k2+4k+22k2－1，yQ=2k2+4k+11－2k2.

所以，直线l的斜率为

yQ－yPxQ－xP=2k2+4k+11－2k2－2k2－4k+11－2k24k2+4k+22k2－1－4k2－4k+22k2－1=－1.

2.2设点法

运算思路二：在求解两点的坐标时，既然最后是坐标的比值关系，那就意味着只需找到两点坐标之间的关系即可.能想到这一步，就需要利用设点法了.当然，这一步技巧性较强，没有系统的训练和观察力，很难在考场上有限的时间内完成，这也是数学运算核心素养较高水平的体现.

解法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P，Q，A都在双曲线C上，得

x212－y21=1，x222－y22=1，222－12=1.

结合斜率公式，将上面的式子变形，可得

kPA=y1－1x1－2=x1+22（y1+1），kQA=y2－1x2－2=x2+22（y2+1）.

又直线AP，AQ的斜率之和为0，所以kPA=－kQA.

所以，由y1－1x1－2=－x2+22（y2+1），可得

2（y1y2+y1－y2－1）=－（x1x2+2x1－2x2－4）.①

由y2－1x2－2=－x1+22（y1+1），可得

2（y1y2+y2－y1－1）=－（x1x2+2x2－2x1－4）.②

①-②，得y1－y2=x2－x1.

所以kPQ=y1－y2x1－x2=－1，即l的斜率为－1.

上面两种方法是对运算对象的理解之一，理解之二就是把握住AP，AQ，PQ三条直线之间的关系.既然AP，AQ两直线的斜率和为0，我们就用PQ的斜率来表示AP，AQ，最后用斜率和为0解出直线PQ的斜率.这种理解直接体现在直线的关系上，直接操作就是设而不求，类似于常用的“点差法”.当然，此处亦可探究出其他不同的运算思路.

2.3经典韦达定理法

运算思路三：设而不求.斜率型题目中的一大类就是斜率的和或积的构造，其主要特征就是“一定点加两动点”.联立方程后，根据题意写出斜率和或积的表达式，化简后若发现已经凑出韦达定理的形式，此时无需再解出点的具体坐标，可直接代入韦达定理求解[1].

解法3：易得双曲线方程为x22－y2=1.

由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m，联立双曲线方程可得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0，则Δ=16m2k2-4（2m2+2）（2k2-1）＞0，即m2+1-2k2＞0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），则

x1+x2=4km1－2k2，x1x2=2m2+22k2－1.

于是kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0.

化简，得

2kx1x2+（m－1－2k）（x1+x2）－4（m－1）=0.

所以2k2m2+22k2－1+（m－1－2k）4km1－2k2－4（m－1）=0，

即（k+1）（m+2k－1）=0.

当m+2k－1=0时，直线l：为y=k（x－2）+1过点A，不合题意，舍去.

故k=－1.

2.4割线同构法

运算思路四：圆锥曲线中，同构特征的出现一定是图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构”特征，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程.而这往往是我们简化运算，同时也是解决一些问题的抓手.当然，需要注意的是，这两个点的地位一致性，会导致同构算法的出现以及我们常用的术语“同理可得”.

具体到该题目，直线方程与曲线方程联立之后的结果是一个一元二次方程，既然如此，为何不能让AP，AQ的斜率分别作为这两个方程的根，然后再利用韦达定理求PQ的斜率呢？这样的思考进一步体现了对运算对象深层次的了解，体现了较好的运算思维.

解法4：设过点A的直线方程为y=k（x－2）+1，直线l的方程为y=k0x+m，

联立解得

xP=m+2k－1k－k0，yP=2kk0－k0+mkk－k0，

代入双曲线方程x22－y2=1中，得

k2+4k+=0.

这是关于k的一元二次方程，方程的两根k1，k2分别为直线AP，AQ的斜率.

因为直线AP，AQ的斜率之和为0，即k1+k2=0，所以由韦达定理得（m－1）+k0（2k0+m）+k0=0，整理可得（k0+1）（m+2k0－1）=0.因为直线l不过点A，所以m+2k0≠1，从而k0=－1，即l的斜率为－1.

点评：直线AP，AQ的等价地位就意味着点P，Q等价，则点P，Q的坐标一定是曲线方程的同构解，此时用PQ的参数来表示点P，Q的坐标，再利用同构解来求得PQ的斜率，这就是求解整个问题的基本思路.

2.5齐次化法

理解之三：斜率问题最简单的形式当然是直线过原点，所以可采用齐次化的方法，平移坐标系来构造斜率，降低运算难度.

基本原理：Ayx2+B5yx+C=0中，y的几何意义是直线与曲线的交点（x，y）与原点连线的斜率，即OP，OQ的斜率，设为k1，k2，由韦达定理知k1+k2=－BA，k1k2=CA，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出OP，OQ的性质.反之，也可以通过OP，OQ的性质与二次曲线得出AB的性质．

若定点在不在坐标原点，则需要先平移，设平移后的直线为mx+ny=1（这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用），与平移后的圆锥曲线方程联立，构造Ayx2+Byx+C=0，然后可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，由k1+k2=－BA，k1k2=CA即可得出答案.

具体操作步骤如下：

第一步，将过点（m，n）的

圆锥曲线方程（以双曲线x2a2-y2b2=1为例）变形为

2a2－2b2=1（a>0，b>0）.

第二步，设出过点（m，n）的直线方程p（x-m）+q（y-n）=1.

第三步，联立方程组

2a2－2b2=1，

p（x-m）+q（y-n）=1.

凑出满足题干的斜率形式即可.据此给出解法5.

解法5：双曲线方程为x22－y2=1.设P（x1，y1），Q（x2，y2）.因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=0，于是将双曲线方程x22－y2=1变形为

（x－2+2）22－（y－1+1）2=1，[JY]③

且设直线l为m（x－2）+n（y－1）=1.

由③式，有

（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］=0.

将上式齐次化，可得

（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］5［m（x－2）+n（y－1）］=0.

上式展开并在等式两边同除以（x－2）2，整理可得

（4n+2）y-1x-22

+（4m－4n）y-1x-2－（4m+1）=0，

即（4n+2）k2+（4m－4n）k－（4m+1）=0，其中k1，k2为该方程的两根.

所以k1+k2=4n－4m4n+2=0，可得m=n.

故直线l斜率为－1.

2.6二次曲线系法

理解之四：高等观点与二次曲线系.这当然是具有较高知识水平的体现，站在更高的视角来解题会更加简便，但这对理解能力的要求甚高.

二次曲线系法是优化解析几何运算的一种重要方法，它本质上是对圆锥曲线的一种更深层的认识.在一些问题中，通过曲线系方法直击本质，往往会使问题变得简单明了.

基本原理：给定五个点，其中任何三个点都不共线，则过这五个点有且仅有一条圆锥曲线.由此进一步可得，由l1，l2组成的曲线为（a1x+b1y+c1）5（a2x+b2y+c2）=0.据此给出解法6.

解法6：双曲线在点A处的切线方程为x－y－1=0，设直线AP的方程为y－1=k1（x－2），AQ的方程为y－1=k2（x－2），PQ的方程为y=kx+m，则过这四条直线交点的曲线方程为（kx－y－m）（x－y－1）+λ［k1（x－2）－y+1］［k2（x－2）－y+1］=0.

又因为双曲线过这些交点，比较xy的系数，得－k－1+λ（－k1－k2）=0.

又k1+k2=0，所以k=－1.

3解题反思

上文中展示了该题目的6种解法，并且都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握.但在考试时间如此紧张的情况下，又快又准的解题却是关键.在教学中，要以学生发展为本，立德树人，提升素质，实现人人都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.不同学生可以选择不同的解题方法，解法1和解法3为通法，是多数学生的选择，这样的解法套路感强，平时练习得最多也最熟悉，但是过多地沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就定位在“简单粗暴的运算”[2].笔者认为，如果时间允许，探寻思考解法2和解法4也是不错的选择.至于解法5和解法6就是所谓的“高端技巧”，但是笔者认为这两种解法还是有风险的，因为它们的技巧性很强，可能对很多学生而言都很难想清楚其实质.

因此，在教学中，教师要做到理解学生，了解他们的需求，从而能够根据不同基础的学生提供不同的指导方案.当然，对于一道优质题目，教师可以把它作为一个资源进行再开发，由易到难设计启发性问题，引导学生主动探究，分析出合理的转化方向，进而找出多种解决问题的途径.这样既可以巩固知识，又可以促使学生思维向更深层次发展、向更多方向发散，同时还能切实提高学科核心素养，而这些往往比题海战术更有效.只有这样，才能构建真正意义上的以学生为主体的研究型与创新型教学[3].

参考文献：

[1]周日橋.刍议“设而不求”在求解圆锥曲线问题中的应用[J].中学数学教学参考，2023（19）：52-54.

[2]钱丽谈.提升数学运算核心素养的解析几何运算教学[J].理科考试研究，2023，30（9）：2-5.

[3]章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M].上海：华东师范大学出版社，2021：11-12.