线性规划常见题型及解法例析

汪珊珊

线性规划问题是高考的必考内容和热点之一，主要考查在线性约束条件下的函数最值问题以及应用线性规划的方法解决一些实际问题；内容涉及到了所有题型，其中选择题和填空題的分值占6～8分，解答题中分值高达10～15分，其重要性可见一斑.所以，无论是在平时的学习还是高考备考中，我们都应该注重学习和掌握线性规划知识，强化解题训练，熟知常见题型及解题方法，这样才能在考场上应对自如地获取高分，不断提升自身的数学综合能力.现将线性规划常见的题型及解题的思路与方法归纳如下.

1以数形结合思想为指导，解决函数问题

例1（2022年高考浙江卷）若x，y满足约束条件x－2≥0，2x+y－7≤0，x－y－2≤0，

则z=3x+4y的最大值是（）.

A.20

B.18

C.13

D.6

解析：画出不等式组对应的可行域，如图1所示.

当动直线3x+4y－z=0过点A时，z有最大值.

由x=2，2x+y－7=0，可得x=2，y=3，

则A（2，3）.

故当x=2，y=3时，

zmax=3×2+4×3=18.

故选：B.

思路与方法：本题运用数形结合思想，采用了图解法求最值，先在平面直角坐标系中画出可行域，然后平行移动直线z=3x+4y即可求出最大值.

例2（2022年重庆市仿真试题）变量x，y满足约束条件x+2y≥3，7x+10y≥17，x≥0，y≥0，求z=3x+5y的最小值.

解析：画出约束条件表示的点（x，y）的可行域，如图2所示的阴影部分（包括边界直线）.作直线l：3x+5y=0，把直线l向右上方平行移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时，l1：3x+5y－z=0的纵截距最小，则z=3x+5y取得最小值.由方程组x+2y=3，7x+10y=17，解得M（1，1）.故当x=1，y=1时，z的最小值为8.

思路与方法：本题根据已知的约束条件先在直角坐标平面上作图（画出可行域和直线），然后把直线l向右上方平行移到l1，再通过解方程组得到点M的坐标，最后求出最小值.

2转化不规则图形，利用公式求面积

例3（2023年安徽省芜湖市第二次诊断试题）已知不等式组2x+y－6≥0，x+y－3≤0，y≤2.求该不等式组表示的平面区域的面积.

解析：根据所给的不等式组作出可行域，如图3所示.由图3可知，△ABC的面积即为所求.易得

S梯形OMBC=12×（2+3）×2=5，S梯形OMAC=12×（1+3）×2=4.

所以S△ABC=S梯形OMBC－S梯形OMAC=5-4=1.

思路与方法：本题中的可行域是三角形，而这个不规则的三角形面积很难直接求解，于是将它看作梯形OMBC的一部分，利用梯形OMBC与梯形OMAC的面积之差即可得到△ABC的面积.这是把不规则图形转化为规则图形来解决的思路.

例4（2022年安徽师大附中模拟题）如果a≥0，b≥0，且当x≥0，y≥0，x+y≤1时，恒有ax+by≤1，求以a，b为坐标的点P（a，b）所构成的平面区域的面积.

解析：设z=ax+by，根据题意可知，想要ax+by≤1恒成立，当且仅当z=ax+by的最大值小于或等于1，z的最大值只能在平面区域内的A（1，0），O，B（0，1）三点处取得，因此只需要A，O，B三点的坐标都满足不等式ax+by≤1，即0≤a≤1，0≤b≤1时，则点P（a，b）构成的平面区域是边长为1的正方形，故面积是1.

思路与方法：本题中由于存在字母系数，很多学生都感到一时无从下手，这时就需要运用转化的思想，把不熟悉的问题转化为熟悉的正方形面积问题来解决.

3建立对应关系式，求参数的取值或范围

例5（2022年浙江杭州二中测试题）若实数x，y满足不等式组x+3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m的值为（）.

A.－2

B.－1

C.1

D.2

解析：因为直线x－my+1=0过定点（－1，0），根据x+y=z取最大值及另外两个线性不等式大致作出可行域（如图4所示），则平移直线x+y=0可知，z应在点A处取最大值9.

由x+y=9，2x－y=3，解得x=4，y=5.

又因为点A（4，5）在直线x－my+1=0上，所以m=1.

故选：C.

思路与方法：本题属于线性问题中含有参数，要求参数的取值问题.首先确定可行域，然后结合题意寻找符合条件的最优解，建立相对应的关系式（方程组）即可获解.

4用线性规划解决实际问题

例6（2022年安徽省芜湖市一中检测卷）某百货公司仓库A存有货物12t，仓库B存有货物8t，现按7t，8t和5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商场.从仓库A运货物到商场甲、乙、丙，运费分别为8元/t、6元/t、9元/t；从仓库B运货物到商场甲、乙、丙，运费分别为3元/t、4元/t、5元/t.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商场的总运费最少？

解析：（1）模型建立.设仓库A运给甲、乙商场的货物分别为xt，yt，则由表1可知仓库A运给丙商场的货物分别（12－x－y）t，从而仓库B运给甲、乙、丙商场的货物分别为（7－x）t，（8－y）t，（x+y－7）t，于是总运费为

z=8x+6y+9（12x－x－y）+3（7－x）+4（8－y）+5（x+y－7）

=x－2y+126.

所以得到的数学模型为：求z=x－2y+126在约束条件12－x－y≥0，7－x≥0，8－y≥0，x+y－7≥0，x≥0，y≥0，即x+y≤12，0≤x≤7，0≤y≤8，x+y≥7下的最小值.

（2）模型求解.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图5所示.

作出直线l：x－2y=0，把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点A（0，8）时，在可行域内z=x－2y+126取得最小值zmin=0－2×8+126=110，则x=0，y=8时，总运费最少.

（3）模型应用.安排的调运方案如下：

仓库A运给甲、乙、丙商场的货物分别为0t，8t，4t，仓库B运给甲、乙、丙商场的货物分别为7t，0t，1t，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商场的总运费最少.

思路与方法：本题属于实际问题中给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小的问题.解答这类问题的主要思路是运用转化思想，通过设元，写出约束条件和目标函数，将实际问题转化为数学中的線性规划问题来解决.

例7（2022年天津市大港区模拟试题）某公司计划今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力等）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制因素的是资金和劳动力，通过调查，得到这两种产品的有关数据如表2.

（如图6中阴影部分内的整点）.令z=0，作直线l：6x+8y=0，当平行移动直线l过可行域内的点A时，z=6x+8y能够取得最大值.由方程组30x+20y=300，5x+10y=110，得x=4，y=9.

将A（4，9）代入z=6x+8y，得

zmax=6×4+8×9=96.

所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润是96百元.

思路与方法：本题是给定一定的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益或利润最大.解答这类问题时，首先要认真审题，明确约束条件中有无等号，未知数是否有限制等；其次是写出线性约束条件及目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解；最后将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳方案.

综上所述，线性规划问题在实际生产和生活中应用十分广泛，解决线性规划问题的基本方法是图解法，它是数形结合思想、等价转化思想以及函数思想与方法的具体体现.灵活运用线性规划知识，可将一些抽象的、不熟悉的、难度较大的问题化为具体的、熟悉的、较简单的问题来解决；学会并掌握这些解题思路与方法，能够帮助我们快速、准确地找到解决问题的突破口，有助于不断提高数学综合解题能力.