倡导“一题多变”，实现“一题多得”

胡大妹 游辉斐

摘要：数学解题与研究一直是数学教学与学习过程中的一个重要研究课题，也是提升能力与开拓思维的基本场所.基于一道解三角形问题实例，合理分析与研究，从不同层面加以巧妙探究，合理变式拓展，实现问题的“一题多变”，达到问题的“一题多得”，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：三角形；面积；一题多变；变式；拓展

借助一些典型的数学例（习）题，特别是高考真题、模拟题、自主招生题等，充分挖掘问题的已知条件与所求结论，剖析问题的内涵与本质，在解题的基础上合理进行“一题多变”，巧妙发散数学思维.通过典型问题的“一题多变”，基于一个基本点，往往可以实现“一题多得”，从而实现解题研究，从不同思维视角来挖掘问题的内涵以及知识的联系，全面提升综合能力.

1问题呈现

问题在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若1tanA+1tanB+1tanC=2，且a2+b2+c2=2，则△ABC的面积S为＿＿＿＿.

分析：该试题以三角形为场景，结合三角形的三内角正切值的倒数之和、三角形三边的平方和这两个定值条件，进而确定相应三角形的面积.关键就是通过三角函数关系式与三角形面积之间的联系来过渡与转化，进而为问题的解决开拓空间.

解析：易得1tanA+1tanB=cosAsinA+cosBsinB=cosAsinB+cosBsinAsinAsinB=sin（A+B）sinAsinB=sinCsinAsinB=cbsinA=c2bcsinA=c22S.

同理可得1tanB+1tanC=a22S，1tanC+1tanA=b22S.

于是，可得

2tanA+2tanB+2tanC=a2+b2+c22S.[JY]①

将1tanA+1tanB+1tanC=2，且a2+b2+c2=2代入①式，可得4=22S，解得S=14.

点评：该题的两个条件对应的等式分别是涉及角与边的轮换对称式，形式非常优美，解答过程也非常完美.

基于此，借助三角函数的基本知识以及三角恒等变换公式等，通过三角形这一平面几何场景，可以进一步深入探究与拓展，合理进行“一题多变”，提升问题的深度与难度，加以合理变式与应用，有效达到“一题多得”的目的，对于数学解题研究与数学学习具有一定的教学启示.

2一题多变

2.1条件拓展

基于原问题的应用场景，通过三角形的三内角所满足的三角函数关系式加以合理变形与变式应用，借助“三内角正切值的倒数之和”加以深入研究，综合三角函数及三角恒等变换公式等的应用，从而得以巧妙变式拓展.

变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若1tan2A+1tan2B+1tan2C=2，且a2+b2+c2=2，则△ABC的面积S为＿＿＿＿.

解析：由于1tanA+1tanB+1tanC2=1tan2A+1tan2B+1tan2C+2tanAtanB+2tanBtanC+2tanCtanA

=2+2（tanA+tanB+tanC）tanAtanBtanC，

利用斜三角形中恒有的三正切关系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得1tanA+1tanB+1tanC2=4.

又1tanA+1tanB+1tanC＞0，所以

1tanA+1tanB+1tanC=2.余略.

变式2在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若1sin2A+1sin2B+1sin2C=5，且a2+b2+c2=2，则△ABC的面积S为＿＿＿＿.

解析：由于1sin2A=sin2A+cos2Asin2A=1+1tan2A，因此同理可得

1sin2B=1+1tan2B，

1sin2C=1+1tan2C.

以上三式相加，得5=1sin2A+1sin2B+1sin2C=3+1tan2A+1tan2B+1tan2C，则1tan2A+1tan2B+1tan2C=2.

以下解析部分同变式1，可得S=14.

巧妙通过题设条件的拓展，由简单的“三角形的三内角正切值的倒数之和”进一步变形，借助“三角形的三内角正切值平方的倒数之和”或“三角形的三内角正弦值平方的倒数之和”等视角加以拓展与应用，变式转化，创新应用.

2.2转换拓展

基于原问题的应用场景，合理通过题设条件与所求结论之间的转换，由原来求解三角形面积问题转化为求解三角形的三边的平方和问题，改变问题场景与解题方向，从而得以巧妙变式拓展.

变式3在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若1tanA+1tanB+1tanC=2，且△ABC的面积S=14，则a2+b2+c2=＿＿＿＿.（答案：2.）

在变式3的基础上，综合变式1、变式2的变形条件，深入创新与应用，可以得到以下相应的变式问题.

变式4在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若1tan2A+1tan2B+1tan2C=2，且△ABC的面积S=14，则a2+b2+c2=＿＿＿＿.（

答案：2.）

变式5在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若1sin2A+1sin2B+1sin2C=5，且△ABC的面积S=14，则a2+b2+c2=＿＿＿＿.

（答案：2.）

以上变式4、变式5的解析过程，可以参考原问题的变式1、变式2的解析过程，并结合原问题的解析加以分析，这里不多加以展开与叙述.

巧妙通过题设条件与所求结论之间的转换，在原问题与条件拓展的基础上加以合理转换与应用，使得数学思维得以更大层面的发散与拓展，給问题的研究与拓展提供更多的场景与应用.

2.3应用拓展

基于原问题的应用场景，从另一个方面加以题设条件与所求结论之间的转换，由三角形问题来确定相应的三角函数问题，拉开问题条件设置的难度，提升解题研究的维度，从而得以巧妙应用拓展.

变式6在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a2+b2+c2=2，且△ABC的面积S=14，则1tanA+1tanB+1tanC=＿＿＿＿.（答案：2.）

从单纯的三角形问题背景设置，合理创设条件，进而过渡到求解与三角形的三个内角有关的三角函数的代数式的求值问题，实现不同数学知识之间的交汇与融合，合理创新应用，提升数学能力.

3教学启示

基于相应的典型实例，巧妙合理进行“一题多变”，在一个简单基本问题的基础上，合理创设并设置一些相应的创新应用问题，给数学解题与研究开拓一个更加开阔的空间与研究场所.

其实，以上的6个变式问题，每一个都是很好的典型问题，既是改编的延续，也是创新的成果，对于全面考查学习者的“四基”以及数学基本能力等方面，都可以作为考题来创设与应用.

基于以上问题的分析与剖析，合理进行“一题多变”，可以实现问题的“一题多得”，在考查数学知识、聚合数学思维等方面都是很有效果的.基于此，数学思维与数学能力等方面都可得以巧妙拓展.

基于问题的“一题多变”，合理变式与拓展，在变式过程中寻找“通性通法”，在探究中全面升华能力，数学解题研究之路一定会越铺越远，创新意识与创新能力也会得以一定程度的培养与提升.