例谈帕德逼近在导数中的应用

2024-05-26 19:38:47胡畅
中学数学·高中版 2024年5期
关键词:不等式零点

胡畅

摘要:众所周知,用函数的泰勒展开的部分作为函数的近似表示是一种基本的、有效的方法,但有时这种方法在实际应用时显得不足,而帕德逼近是一种更精确的有理函数逼近,有关它的理论及其应用成果非常丰富.另外在高考题和模拟题中,帕德逼近作为命题背景频频出现,比如2022年浙江卷,2018年全国卷Ⅲ导数压轴题最后一问,了解与掌握这种逼近,能够降低解题技巧,加快解题速度,预判解题思路.

关键词:不等式;零点;函数导数;帕德逼近

1帕德逼近的定义及常用函数逼近表

帕德逼近来源于高等数学中的函数逼近理论,它不是高中数学课程中的学习内容,也不在高考考查范围内,但由于该理论体现了用代数函数逼近超越函数的思想,所以经常会成为导数压轴题的背景.如果高中数学教师能够了解该理论,就会站在更高的角度看问题,教师认识数学问题的高度决定了学生认识问题的高度,为了培养创新型的学生,我们应该做研究型教师,这也是时代对教师提出的要求.

1.1帕德逼近的定义

函数f(x)在x=0的[m,n]阶帕德逼近f(x)≈a0+a1x+a2x2+……+amxm1+b1x+b2x2+……+bnxn=R(x),满足f(0)=R(0),f′(0)=R′(0),f″(0)=R″(0),……,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).对于给定的正整数m,n函数f(x)的[m,n]阶帕德逼近是唯一的[1].

1.2常用函数帕德逼近表

几种常用函数帕德逼近举例如下.

(1)f(x)=ln(1+x)在x=0的[m,n]阶帕德逼近如表1所示:

(2)f(x)=lnx在x=0的[m,n]阶帕德逼近如表2所示:

(3)f(x)=ex在x=0的[m,n]阶帕德逼近如表3所示:

2帕德逼近在模拟题中的应用

例1(2022年浙江金华十校11月模拟考试)已知函数f(x)=12x2+ax-(ax+1)lnx(a∈R),記f′(x)=g(x).

(1)当a=1时,求f(x)的最小值.

(2)若函数g(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1

(ⅰ)求a的取值范围;

(ⅱ)证明:x1+x3+4x1x3>3a.

解:(1)f(x)的最小值为32(过程略).

(2)(ⅰ)a>2(过程略).

(ⅱ)因为g(x)=f′(x)=x-1x-alnx,由题意知0

由表2知,当x>1时,不等式lnx>3(x2-1)x2+4x+1恒成立.

所以x3-1x3=alnx3>3a(x23-1)x23+4x3+1.

化简,得x23+4x3+1>3ax3,两边同时除以x3,

得x3+1x3+4>3a.

而x1x3=1,所以x1+x3+4x1x3>3a.

点评:帕德逼近在导数命题中经常作为构造放缩的一种手段,比如该题中就是利用f(x)=lnx在x=0处[2,2]阶帕德逼近函数y=3x2-3x2+4x+1,准确地寻找合适的帕德逼近函数是成功的关键,不然会造成放缩不准确,当然在考试中该不等式需要证明.

例2(2023届大湾区高三一模试题)已知函数f(x)=ex-1x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a,b是两个不相等的正数,且a+lnb=b+lna,证明:a+b+lnab>2.

解:(1)(过程略).

(2)令a-lna=b-lnb=m,则lna=a-m,且

lnb=b-m.因此,只需证a+b>1+m.

由表2知,当x>1时,不等式lnx>2(x-1)x+1(x>1)恒成立;当0

又g′(x)=1-1x,g(x)的极值点为x=1,则a,b必定分布在1的两侧,不妨设0

a-m=lna<2(a-1)a+1,b-m=lnb>2(b-1)b+1.

化简,得a2-(1+m)a+2-m<0,b2-(1+m)b+2-m>0.

①②

②-①,得b2-a2-(1+m)(b-a)>0.

整理,得a+b>1+m.

点评:这道题刚出来时,在微信群引起了数学老师的广泛讨论.其实这类零点估计问题,大多都是以泰勒展开式或者帕德逼近为背景来命制的.对照常用函数帕德逼近表,我们发现该题中就是利用f(x)=lnx在x=0处的[1,1]阶帕德逼近.通过以上示例可以看出,利用帕德逼近证明函数中的不等式可以提高解题速度,但运用该法的难点是要根据函数结构以及要证明的结论,找准合适的帕德逼近.

3帕德逼近在高考题中的应用

高考试题中多次出现以高等数学为背景的试题,教师自身应加强对高等数学相关背景的研究,有利于教师把握本质,提升能力.同时,我们也要注意到,以高等数学为背景的高考试题,也都能应用中学数学的知识和方法加以求解.因此,研究高等数学背景并不意味着要在教学中补充高等数学知识,盲目提高要求,加重学生负担,而是应加强自身研究,优化教学,有效提升学生的数学思维能力.

例3(2018年全国高考Ⅲ卷)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x.

(1)若a=0,证明:当-1

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a的值.

分析:这道高考题参考答案需要多次求导,情况比较复杂,在这里笔者就不给出题目的详细解答,仅就题目的背景做简要的分析.经过研究发现,这道题也是典型的以帕德逼近为背景命制的.由表1可以看出,第(1)问源于函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德逼近;第(2)问源于f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,2]阶帕德逼近函数为y=12x12+6x-x2=2x2+x-16x2.命题者在命制试题时,对分母为2阶帕德逼近的二项式系数进行设问,以此为背景,考查学生以导数为工具探究问题的能力.

例4(2022年浙江)已知a,b∈R,函数f(x)=e2x+lnx图象上不同的三点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3)),处的切线都经过点(a,b).

(1)求f(x)的單调区间;

(2)若a>e,证明:0

(3)若0

解:第(1)(2)问过程略.下面用帕德逼近就第(3)问右边的不等式作简要说明.

由(2)可知,a·2x-e2x2+lnx-1-b=0有3个实根x1,x2,x3,且0

13-m6

由y=g(t)的图象可知,对于给定的m∈(0,1),当b增大时,图象g(t)下移,t1,t3均减小;反之,当b减小时,图象g(t)上移,t1,t3均增大.

先证明不等式的右边:只需证明极限情况,此时b→m2+1,t2=t3=1,只需证t1<2m-1-m6-1.

由g(t1)=(m+1)t1-m2t12-lnt1-1-m2,化简可以得到

m(t1-1)2=2(t1-1-lnt1)<2[JB([]t1-1-3(t1-1)2t21+4t1+1],解得m<2(t1+2)t21+4t1+1,从而可得t1<1+3m2+1m-2.

只需证1+3m2+1m-2

m(m-1)(m-4)(m+15)>0.因为0<m<1,所以待证式成立.

分析:2022年浙江高考导数题最后一问,是2022年所有省份高考压轴题里最难的,解决该题主要有两个方向.一是官方解答中的代入,换元,消元,转化为一个复杂的不等式证明;二是极端化,然后对lnx放缩.无论用哪种方法,都需要对lnx进行高精度的放缩.

4帕德逼近的变式训练

学之道在于“悟”,教之道在于“度”.但不思考不会有悟,教师在平常的教学中,除了干净利落地给出问题的解答,还应透彻清晰地确定问题的背景,再通过问题的背景进行变式题的设计,这样才能到达举一反三的效果,才能让学生有机会学以致用,以避免问题与方法各自相对封闭.

利用y=ex在x=0处的[1,3]阶帕德逼近函数,可以设计与2018年全国Ⅲ卷类似的变式题.

变式1函数f(x)=(ax3-x+2)ex-x-2,a∈R.

(1)若a=0,证明:xf(x)≤0;

(2)若x=0是函数f(x)的极小值点,求实数a的值.

另外,也可以通过帕德逼近设计一些零点估计类的问题.在平常训练中,零点估计(极值点偏移)问题的解决主要依赖于对数平均值不等式[2],但是我们可以通过帕德逼近设计一些更紧的不等式证明问题,例如利用f(x)=lnx在x=0的[2,1]阶帕德逼近可设计如下变式:

变式2已知函数f(x)=x-lnx-a有两个相异的零点x1,x2(x1

(1)求a的取值范围;

(2)证明:x1+x2<4a+23.

利用f(x)=lnx在x=0的[1,1]阶帕德逼近可设计如下变式:

变式3已知函数f(x)=x-lnx-a有两个相异的零点x1,x2(x1

(1)求a的取值范围;

(2)证明:x1+x2>1+a.

教师在平常的教学中要打破就题讲题的教学观,认真研究试题,找到一类题的共性,做到“自然、简单、优美、统一”.

5教学启示

高观点的试题背景是命题的重要来源.很多高考试题都具有高等数学的背景,如圆锥曲线中的极点极线、曲线系方程,导数中的泰勒展开、洛必达法则、帕德逼近等,合理分析这些试题的背景,探寻这些试题的命题方法,可为复习备考提供一些新的生长点.另外,多数具有高观点背景的导数压轴题,由于命制时已将一般性的问题变成具体的适合高中生做的试题,因此会有较强的综合性和新颖性,对于时间紧迫的考生而言会有很大压力.然而对于优秀考生,一旦清楚其中的背景,就可快速得出结果,也为如何书写提供了方向.

参考文献:

[1]徐利治,王仁宏.函数逼近的理论与方法[M].上海:上海科学技术出版社,1983:227-229.

[2]王海刚,陈宇轩.导数的秘密[M].杭州:浙江大学出版社,2020:161-162.

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