小学数学大单元下培养学生系统思维的路径探寻

王灵勇

摘   要：大单元下的复习课一个鲜明特点是引导学生将点状知识归类成线，构建系统化的知识结构，在综合解决问题的时候能从整体出发，排除干扰、看到本质，提取关键信息帮助解决问题。基于大单元教学，培养学生系统思维可以有效地实现这一目的，从而形成数学视野和大格局。以“圆的整理与复习”为例，基于大概念视角构筑互联互通的学习单元，拓展学生应用能力，提升学生核心素养。

关键词：小学数学；系统思维；单元复习；整体建构

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2024）07-0047-05

复习课教学设计时教师不应该将重心放在追求练习设计编排的如何独具匠心，而应该重视的是学生的参与状态、思维方式以及学生思维能力的提升，关注学生由学会到会学的认知过程。那么如何将整个单元的知识进行组合帮助学生建立互联互通的结构化思维？在数学单元复习教学活动中如何建构以互联互通的结构化思维为核心的教学策略？现以六年级上册“圆的整理与复习”一课教学为例，进行教学实践与思考。

一、精研单元知识，搭建复习框架

特级教师俞正强说过，“复习课的目标在于知多、记少、明新。”这话犹如醍醐灌顶，使人听后豁然开朗。教师在复习时不仅要将知识要点落实，还要系统地将点状知识归类成线，还要重视学科结构的建构。

（一）教材整理，内容厘定

学生在之前的学习中，研究的都是直线图形，而现在研究曲线图形运用的思想、方法与以前比，是一种变化与提升，对学生而言就是一种跨越。

本单元共安排了4个学习内容：圆的认识、圆的周长、圆的面积、扇形。4个学习内容遵循由浅入深、螺旋上升的逻辑顺序。学生不仅需要掌握圆的特征等基础性内容，还需要在探索的过程中领悟“化曲为直”“等积变换”“极限”等数学核心思想，提升数学关键能力。

（二）目标定位，结构设定

大部分教师在教学复习课时关注知识、关注结果，课堂上让学生“练习→校对→再练习→再校对”的机械重复。然而为了使学生熟练解题，考出更好成绩，教师需准确定位教学目标，重新调整课堂结构，渗透“结构化思维”思想，颠覆学生对于复习课就是做练习的认识。于是制定以下教学目标（图1）：

为了更好地落实目标，激发学生的自主性，引发学生激烈的思维振荡。基于对教材的理解，设置如下课堂结构（图2）：

（三）有所取舍，凸显思维

复习需要全面扫视、不留盲区，应根据知识特点及学生需求，将复习内容进行梳理，如果教师面面俱到，不会取舍，重点不突出，最后留给学生的痕迹也不会深刻。如圆的特性可一笔带过，而对于圆特征之间的关系以及与圆相关的实际问题，由于信息呈现的方式灵活多变，问题错综复杂，需重点分析比较，进一步深入理解。这样的内容安排，显然符合学生的客观学情，复习课内容的详略有致，将有利于复习活动突出重点、切中要害、提高达成度，最终目的培养学生用数学的眼光看问题、想问题、解决问题。

二、基于结构思维，形成连续演绎

“结构思维”具有整体性、关联性、层次结构性、动态平衡性等特征，强调通过整体与对象、整体与部分、整体与发展的相互作用过程来认识和把握整单元的数学知识。如何用这样的系统思维着眼“圆”知识链、能力链的形成与生长，让学生从“散状学习”不断走向“结构学习”。笔者着力从“梳理交流、沟通求联、好题推荐”的学习路径打通学生复习的通道。

（一）整体架构，纵向梳理

“圆”这一单元的知识（包括特征、周长、面积等）比较多，又与圆环、外方内圆、内方外圆、扇形……等图形有着千丝万缕的关系。为了帮助学生系统地建构认知结构，课前布置给学生任务，按照自己的理解方式，对“圆”的知识进行整理和复习。学生主动搜索知识储备，罗列出了许多方法：思维导图法、列表法、树状法、列举法、网状法、画图法等。

1.小组交流

师：课前，大家已经根据“复习导学单”对“圆”的内容系统地进行了回顾整理。先请四人小组交流：你的任务单是用什么方法梳理的？你梳理的亮点又在哪儿？

2.全班分享

师：我们一起来欣赏一下XXX同学的作品，他是用什么方法梳理的，他梳理最大的亮点是什么？

生1：画图法梳理。把整单元的知识通过画图的方法罗列出来，让我们非常清楚地看出本单元学了哪些知识。

生2：画思维导图的方法。构建了圆整个单元知识的框架。每一版块的知识都画得非常清楚。

生3：他也是用画思维导图的方法，我非常欣赏他有自己的理解：扇形、圆环、扇环、内方外圆、外方内圆都是圆的衍生图形。这些图形其实都是有关系的。

课中选取部分有代表性的作品进行展示，让学生欣赏、评价、交流梳理的亮点。让学生在交流中相互矫正、相互补充、相互借鉴，让学生在头脑中形成完整的知识体系。学生运用系统的思维主动对圆的知识进行内化、组合、编码、构建并提取，个性化的展示交流激发了学生的学习兴趣，培养了学生整理复习的能力，从而大大提高了复习的效率。

3.形成網络图

学生从系统的角度去把握知识逻辑顺序，关注教材编写：要想计算圆周长、面积，必须先认识圆的特征。学生在“存异——求同——优化”的梳理过程中，理解了圆的本质“一中同长”，并且构建知识网络（图3）。教师根据学生汇报反馈交流，形成知识网络图。这样的系统思维着眼圆的知识链、能力链的形成与生长，让学生从“散状学习”不断走向“结构学习”。

（二）沟通求联，横向比较

面对一个圆，我们研究特征、计算和综合运用。教师要引导学生运用“结构思维”的方式，从一个单元的角度，将分散的知识集中呈现，并横向比较。教学设计了任务二，课前让学生填写一张表格，让学生通过每一行已知的信息，解决出其他信息。并让学生仔细观察说说发现。

1.概念比较

环节1：先独立完成表格（见下表）说说有什么发现？

师：通过填表，我们知道周长和面积都是12.56，我们可以说这个圆的周长和面积相等，行吗？为什么？

生1：一个指的是面积，另一个是指周长，是两个不同的概念，不能比较。

师：仔细观察上面表格，你有什么发现？

生1：半径越大，周长越大；半径越大，面积也越大。同一个圆中半径是直径的一半，周长是半径的2π倍，是直径的π倍。不同的圆，周长之比等于半径之比等于直径之比，面积之比是半径之比的平方。

生2：上面同学说的这些规律，我们在解决问题时可以灵活得运用，比如，告诉我们两圆的半径之比，我可以根据面积比和半径比之间的关系来解决问题，这样比较方便。

通过填表，让学生加深了圆的特性等概念的理解，辨清了它们之间的关系，逐步构建四者之间的模型，深化认识。

2.规律运用

环节2：运用规律解决问题

师：请计算下图的两道题（图4），你能用多种方法计算吗？比较一下，哪一种方法更简便？

第1题，有两种做法，一种是先求出半径再计算面积。另一种是运用第一题的发现，半径之比和面积之比的关系来解决。学生发现“要想求面积必须告诉半径”这种方法并不简单，运用填表格时发现的规律：半径之比和面积之比的關系。学生通过横向比较、发现规律、运用规律，大大提高了学生解决问题的能力。

第2题难度最大。学生掌握得还是不错的。也有两种解题方法，一种是假设法，假设圆的半径为1，再进行计算。另一种是通比法，大正方形、圆、小正方形的面积比。

在复习时，教师引导学生探究这两个问题，打破了学生思维固有的局限性，运用规律产生新的认知，拓宽学生的认知视角，培养学生灵活选择方法解决问题的能力。

（三）好题推荐，串连成片

关于圆的知识，新授课时学生已经做过很多练习，复习课时再让学生机械地做题，对于大部分学生来说“食之无味”，课堂参与度不高，课堂气氛不会活跃。所以设计“好题推荐”这一任务，让学生通过回忆给同伴推荐好题，并要求写出推荐的理由。

1.比较周长和面积

师：同学们，关于圆的知识，你碰见过哪些好题呢？请你来推荐一道吧！说说你推荐的理由以及解答方法。

生1：我推荐这道题（图5）的理由是计算周长的时候，不要忘记里面两条圆周长的一半。计算面积就是一个长方形面积减一个圆面积。

师：大家还能不能“触类旁通”，根据这位同学推荐的题目，你还想到了哪些类似的题？

生2：我想到了操场跑道的面积和周长（图6）。周长是一样的，面积则是长方形加一个圆面积。

生3：我想到了一个半圆在里面，一个半圆在外面（图6）。周长是一样的，面积则是长方形加一个圆面积。

对于圆这一单元习题学生见过很多，但是由一道题想到一串题，并且找出这些题目的相同点和不同点却是学生的弱项，针对这一薄弱的问题，我们设计“好题推荐”这一任务，让学生由一道题想到一类题。激活学生的知识储备，促进思维和能力的拓展。

2.细致分析寻找方法

生1：同学们，求出图7中阴影部分的面积，你会吗？

生2：有一些不规则的阴影部分我们该怎么思考？

生3：能不能通过割补把不规则的图形变成规则的图形？

生1：我推荐的理由就是这几题都可以运用“割补”的方法，把不规则的图形“转化”成规则图形来计算。

3.整体入手解决问题

图8也是来自学生推荐的题目，对于空间观念不强的学生来说，难以找到分析的突破口。如果学生还在思考：要求圆面积必须要知道半径；要求圆环面积必须要告诉大圆半径和小圆半径。只追求固定模式，就很难寻找到解决问题的方法。此时，需要学生换个角度来思考，第一个图形把r2=10cm2看作一个整体，后面两个图形R2-r2=10cm2看作一个整体，从整体思考问题入手，学生解决问题将会更加顺利。

复习中，“好题推荐”这一环节的设计对学生来说富有挑战性。看似复杂的题目，其实运用割补法、移一移、转化、整体等思想方法，复杂的问题就变得简单了。

三、拓展提升应用，挖掘思维深度

数学复习课通过一些具有针对性、综合性、开放性的拓展性习题，能更好地提升和完善学生的应用能力，促进学生数学核心素养的提升。

（一）变式练习，万变不离其宗

相似性的题组，通常可用“一题多变”的方式进行变式教学，这种教学模式，把解决一个问题，转化为解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，达到举一反三、触类旁通的目的，例如下题（图9）：

对于方中圆和圆中方的问题，学生如果仅凭记忆来学习，一旦遗忘，就无从解决。因此，解决问题模型的建立，可以使机械的学习变得更有效果。结合课堂微视频，让学生进一步探究方圆方、圆中圆、捆圆等问题，规律就显而易见。

探究时，重点解决第二个图形的分解。学生讨论之后，利用微视频“捆圆的周长与面积”，掌握“曲直分界点”的重要性，再利用组合图形面积的计算方法解决问题。同时，在应用部分，增加了正六边形，正三角形的捆圆周长计算，让学生找到解决问题的一般规律，化抽象为直观，建立解决捆圆问题的模型。

（二）课外拓展，培养创新能力

知识方法的运用能力体现在生活中的问题解决中，而思维方式更体现在对于全新知识的自主学习上，教师应该给予学生这样的机会，让他们去尝试触碰一些相关联的新知识，体会思维方式的价值。

破镜重圆数学小研究（课外）片断。下图（图10）是一个圆的其中一部分，你能还原整个圆吗？你想到了哪些方法？

学生围灵活运用圆的特征从不同角度展开思考：折一折、画一画、估一估、拼一拼等，把一个残缺的圆变得圆满了（图11）。

对于小学六年级的复习教学，我们需要从更深、更远的角度来重新思考和定位，我们教给学生的不仅仅是解题技巧，而更应该是一种对当下及未来都具重要意义的思维方式。运用“结构思维”重塑小学数学复习课教学设计，能激活学生学习的“众多生长”，真正实现学习的过程从薄到厚、再从厚到薄，最终做到厚积薄发。