一道教材习题在求解高考题中的应用

汪文

人教版A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》第54页习题6.4第18题：利用第10题的结论，证明三角形的面积公式S=12a2sinBsinCsinA.

由正弦定理知asinA=bsinB，从而b=asinBsinA，由第10题结论S=12absinC易得三角形的面积公式可以表示为S=12a2sinBsinCsinA=12b2sinAsinCsinB=12c2sinAsinBsinC，这个公式的原理其实是借助正弦定理將三角形的边化成对应角的正弦值，由普通的两边及夹角求面积转化为两角及夹边求面积，本文谈谈如何利用该公式求解高考题.

例1（2023新课标全国卷Ⅰ）已知ΔABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sinB.

（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高.

解析：（1）由A+B+C=π得，A+B=3Cπ－C=3CC=π4.2sin（A－C）=sinB=sin（A+C）2sinAcosC－2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinCsinAcosC=3cosAsinCtanA=3tanC=3.从而A为锐角，可得sinA=31010.

（2）sinB=sin（A+C）=sin（A+π4）=31010×22+1010×22=255.

由上述公式S=12c2sinAsinBsinC得ΔABC的面积S=12×52×31010×25522=15.设AB边上的高为h，则h=2SAB=6.

评注：由第（1）问的结果可轻松求得各角的正弦值，借助其中一边长得到面积，进而求得边上的高线长.

例2（2022新课标全国卷Ⅱ）记ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2+S3=32，sinB=13.

（1）求ΔABC的面积；（2）若sinAsinC=23， 求b.

解析：（1）由面积公式知S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2， ∴S1－S2+S3=34（a2－b2+c2）=32a2－b2+c2=2，∴cosB=a2－b2+c22ac=1ac，由sinB=13cosB=223，∴1ac=223ac=324，从而ΔABC的面积为S=12acsinB=12×324×13=28.

（2）由面积公式S=12b2sinAsinCsinB及（1）中的结果可得28=b22·2313b2=4，∴b=2.

评注：借助面积公式和第（1）问的结果，第（2）问可以轻松得到，提高了效率.

例3（2017全国卷Ⅰ）ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ΔABC的面积为a23sinA.（1） 求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求ΔABC的周长.

解析：（1）由面积公式S=12a2sinBsinCsinA知12a2sinBsinCsinA=a23sinA，从而sinBsinC=23.

（2）cosBcosC=16cosA=－cos（B+C）=sinAsinC－cosBcosC=12，∴A=π3，由题设知ΔABC的面积S=323sinπ3=23，又S=12bcsinA.从而可得23=12bc32bc=8.由余弦定理知a2=b2+c2－2bccosA，代入可得9=b2+c2－2×8×cosπ3b2+c2=17b+c=b2+c2+2bc=33，从而ΔABC的周长为8+33.

例4（2016·浙江卷）ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB.（1）证明：A=2B；

（2）已知ΔABC的面积S=a24，求∠A大小.

解析：（1）由正弦定理得b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosBsinB+sin（A+B）=2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB

sinB=sin（A－B）B=A－BA=2B，得证.

（2）由面积公式S=12a2sinBsinCsinA及A=2B得a2sinBsinC2sin2B=a24

sinBsinC2sinBcosB=12sinC=cosB=sin（π2±B）C=π2±B，又C=π－A－B，∴π－A－A2=π2±A2A=π4或A=π2.

评注：第（1）问将边换成正弦合并后即可得证，第（2）借助面积公式二倍角公式和诱导公式求得∠A大小.

例5（2008·全国Ⅱ卷）在ΔABC中，cosB=－513，cosC=45.（1）求sinA的值；

（2）设△ABC的面积S△ABC=332，求BC的长.

解析：（1）易得sinB=1213，sinC=35，由诱导公式及两角和的正弦公式得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=3365.

（2）由面积公式知，S△ABC=a2sinBsinC2sinA=a22×1213×353365=6a211=332，得a2=1214a=112，从而a2=1214a=112.

评注：第（1）问利用两角和的正弦公式可得，第（2）借助面积公式可快速求出BC的长.

教材是学生学习的中心，根植于教材，来源于课本，着眼于提高是很多高考试题的真实写照，在高考复习中，让学生回归教材，重视课本的再学习，看清课本习题与高考题之间的联系，揭开高考试题的神秘面纱，既让学生看清了问题的本质，又让学生学会了思考，从而达到了事半功倍的复习效果.