巧用一元二次方程解决与增长率有关的问题

张国龙

【摘要】本文主要探讨如何利用一元二次方程解决与增长率有关的问题．通过建立合适的数学模型，就可以将增长率问题转化为一元二次方程的形式，然后利用求解方程的方法得到问题的答案．本文通过具体的案例分析，展示这种方法的实用性和有效性．

【关键词】初中数学；一元二次方程；增长率

增长率问题在实际生活中经常出现，如经济增长、人口增长、市场份额变化等．解决这些问题通常需要找到一种简单而有效的方法．一元二次方程作为一种基本的数学工具，在解决增长率问题时具有独特的优势．

1 建立与增长率有关的二次函数

例1 印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式____．

解析 根据10月份印刷小说书5万册，每月的增长率为x，则11月份印刷小说书51+x万册，12月份印刷小说书51+x2万册，根据题意，得y关于x的函数解析式为：y=51+x2．

评析 建立与增长率有关的二次函数是用一元二次方程解决增长率问题的基础，当函数因变量确定时，可以解出自变量的值，从而达到解决问题的效果．

2 用一元二次方程和增长率预测未来数据

例2 2022年第一季度某省GDP总值约为10000亿元，第三季度的GDP总值约为11025亿元．

（1）假定第二季度、第三季度某省GDP总值的增长率相同，求这个增长率；

（2）若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，某省的GDP总值能否突破12000亿元？并说明理由．

解析 （1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的GDP总值×（1+第二、三季度某省GDP总值的增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之，然后取其符合题意的值，即可得出结论．

设第二季度、第三季度某省GDP总值的增长率为x，

根据题意得10000×1+x2=11025，

解得x1=0.05=5%，x2=-2.05（不合题意，舍去），

可见，第二季度、第三季度某省GDP总值的增长率为5%．

（2）利用预计2023年第一季度某省的GDP总值=2022年第三季度某省的GDP总值×（1+每季度某省GDP总值的增长率）2，可求出预计2023年第一季度某省的GDP总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论．

到2023年第一季度，某省的GDP总值能突破12000亿元，

理由：2023年第一季度某省GDP总值为11025×1+5%2=12155.0625（亿元）>12000（亿元），

所以到2023年第一季度，某省的GDP总值能突破12000亿元．

评析 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．通过本例题可以发现，巧用一元二次方程和增长率可起到预测未来数据的作用．

3 用一元二次方程和增长率规划未来发展

例3 某市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，当年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．

（1）求当年2月该酒店A种房间入住了多少间？

（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，当年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了5/2a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．

解析 （1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：

x+y=120①200x+300y=28000②，

把①×200得200x+200y=24000③，

用②-③得：100y=4000，

解得y=40，

把y=40代入①中，解得x=80，

故A种房间有80间．

（2）由题意得：下调后A房间的房价=200-2a，

B房间的房价=3001-a%，

由题目已知条件和（1）中计算的结果知：

房價下调后A房间的入住量=801+5/2a%，

B房间的入住量=401+5/2a%，

故三月份的总收入

=80×1+5/2a%200-2a+40×

1+5/2a%×300×1-a%，

又因为三月份比二月份总营业收入增加了a%，

所以80×1+5/2a%200-2a+40×1+5/2a%×300×1-a%=28000×1+a%，

即1+5/2a%16000-160a+12000-120a=28000×1+a%，

1+5/2a%28000-280a

=28000×1+a%，

1+5/2a%100-a=100×1+a%，

100+5a/2-a-5/2a2%=100+a，

a/2-5/2a2%=0，

解得：a=20，a=0（舍去）.

评析 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，一元二次方程与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算．不难发现，用一元二次方程和增长率可以对企业未来的发展做规划．

4 结语

通过上述案例分析，可以看到利用一元二次方程解决与增长率有关的问题的实用性和有效性．这种方法不仅简单易懂，而且适用于各种增长率问题．在实际应用中，可以根据具体问题建立相应的数学模型，然后通过求解一元二次方程得到增长率的值，进而解决与一元二次方程和增长率有关的其他问题．

参考文献：

[1]武德强.利用一元二次方程解决实际问题的常见题型解析[J].数理天地（初中版），2023（07）：14-15.

[2]程楠.在用一元二次方程解决问题中寻找矩形[J].初中生世界，2019（35）：54-57.

[3]林松.理解学生精准“扶贫”——一元二次方程销售问题对解决教学难点的启示[J].中学数学杂志，2018（04）：16-17.

[4]李相娟.应用一元二次方程解决“销售问题”之我见[J].考试周刊，2018（22）：65-66.