等比数列与等差数列积的求和速算

汪应佳

高中常考数列[an?bn]的前[n]项和计算，其中[an]是等差数列，[bn]是等比数列。这种题目的根本方法就是“”错位相减法”，但在实际操作中，写的过程较多，若结果出错，则不方便检查。本文提供了一种新的求解方法——“分类求和法”。

公式一：[1+q+q2+…+qn-1=1-qn1-q，q≠1]

公式二：[1+2?q+3?q2+…+n?qn-1=1+q+q2+…+qn-1-n?qn1-q，q≠1]

下面对公式二用“错位相减法”给予证明。

[Sn=1+2?q+3?q2+……+n?qn-1q?Sn= 1?q+2?q2+…+n-1?qn-1+n?qn∴1-q?Sn=1+q+q2+…+qn-1-n?qn∴Sn=1+q+q2+…+qn-1-n?qn1-q，q≠1]

求数列[An+B?qn]的前[n]项和[Tn]，即求数列[Aq?nqn-1+Bq?qn-1]前[n]项和，通过对[nqn-1]和[qn-1]的求和，可以解决原数列的求和。具体如下。

[Tn=Aq?1+2?q+3?q2+…+n?qn-1+Bq?1+q+…+qn-1=Aq?1+q+…+qn-1-nqn1-q+Bq?1+q+…+qn-1=Aq1-q+Bq?1+q+…+qn-1+-Aq1-q?nqn]

上面计算用到了分类，故称此法为“分类求和法”。要注意，上面的计算中沒有使用公式一，这样一来，最后只用一次公式一就能得到结果了，这是在解题实践中总结出来的。

例：[an=2n-1?2n]，求[an]的前[n]项和[Tn].

解：[an=4?n?2n-1-2?2n-1]

[Tn=41+2?21+3?22+…+n?2n-1-220+21+…+2n-1=4?20+21+…+2n-1-n?2n1-2-220+21+…+2n-1=-620+21+…+2n-1+4n?2n=-6?1-2n1-2+4n?2n=61-2n+4n?2n=6-6?2n+4n?2n]

练习：求下列数列[an]的前[n]项和[Tn].

（1）[an=3n+2?12n+1]，（2） [an=2-32?n?4n].

参考答案：

（1）[Tn=4-4?12n-32?n12n]

（2）[Tn=-103+103?4n-2?n?4n].

参考文献：

[1]陈晓丹.新课程下的高中数学概念教学设计[J].考试周刊，2008（2）：2.

[2]徐文彬.数学概念的认识及其教学设计与课堂教学[J].课程·教材·教法，2010（10）：6.

[3]范仁忠.高中数学概念教学的“思”与“行”[J].福建中学数学，2010（10）：3.