案例讨论式教学在力学课程中的探索

李十泉 孟玮

摘 要：在土木工程专业力学课程教学中，探讨了“空手劈砖”案例的不同工况及力学知识。由学生分组开展分析与讨论，形成3种工况，并明确了相应的力学模型。在不同工况下，开展了砖的结构简图、内力分析、影响因素、危险截面、应力分析和动力分析。随着课程的逐步推进，学生逐步运用所学知识开展讨论，并分析了相关的力学现象。分析结果表明，工况3的效果最好，劈砖荷载约为608N，与相关文献吻合。该讨论式案例的引入调动了学生的兴趣，促进学生的思考、讨论、建模、分析和交流总结的能力，提升了课程的教学效果。

关键词：讨论式教学；案例教学；工况分析；力学模型；力学课程

中图分类号：G642.0  文献标识码：A

Abstract：In the teaching of mechanics course of civil engineering specialty，different working conditions and relevant mechanics knowledge of "Cracking Bricks by Empty Hands" were discussed.After analysis and discussion by students，three kinds of working conditions were formed，and the corresponding mechanical models were clarified.The structure diagram，internal force analysis，influencing factors，dangerous section，stress analysis and dynamic analysis of bricks were analyzed under different working conditions.The analysis results show that working condition 3 has the best effect，and the splitting load is about 608N，which is consistent with the relevant literature.The introduction of the discussion case aroused students' interest，promoted students' ability of thinking，discussion，modeling，analysis and communication summary，and improved the effect of mechanics course.

Keywords：discussion teaching；case teaching；working condition analysis；mechanical model；mechanics courses

我校土木工程專业的力学课程包括理论力学、材料力学、结构力学等，工程管理专业、土木工程（转本）和工程管理（转本）专业均开设工程力学课程。理论力学、材料力学、工程力学均属“基础力学”范畴。相关力学课程的教学，对学生逻辑思维、专业能力、建模分析能力和科学素养的培养十分关键，也是相关专业教学中的重点。可基于“基础力学”或“力学课程群”角度，对相关力学课程开展教学探索。

“空手劈砖”表演展现了技巧和力量，观者震撼。该表演中有何力学技巧？相关力学课程的知识点包括：工况分析、模型建立、得到结构简图、静力分析、截面几何性质、应力计算、应力分析、强度理论、运动分析、动力分析、冲击荷载、动载效应等。

在力学课程中，由学生分组讨论，引导学生在学、思、辨、论中学习，运用力学知识，开展分析与讨论，掌握相关知识点，提升教学效果。本文是我校学生在工程力学课程中对该案例开展讨论及课程实施的小结。

1 集体讨论

若使用道具砖、劣质砖，其强度过低，不进行讨论。多数表演者使用烧结普通砖［1］或蒸压灰砂砖［2］（简称“砖”，尺寸为240mm×115mm×53mm），其强度较高。虽表演者力量较大，但要表演成功，仍属不易。

在课程教学中，以砖为分析对象，由分组后的学生，结合教学进度，分析砖在劈砖表演中各阶段的受力情况［3］、应力分析及断裂条件［4］，探讨空手劈砖的技巧。

2 分组讨论及工况分析

针对“空手劈砖”开展分析时，首先要明确不同工况及其相应力学模型。学生讨论、整理、归纳得到工况：（1）简支；（2）悬挑；（3）一端抬升再劈砖。空手劈砖实际为冲击作用，在课程教学之初，先按静力模型分析，后续教学中考虑动力效应。需要明确的是：砖为脆性，其抗拉强度远低于抗压强度，故其最终因抗拉强度不足而脆裂。

分组与规则：（1）每个教学班的学生随机分为3组，抽签决定各自分析的工况；（2）每组轮流选派5人，每周在课上PPT汇报1次，汇报时间3分钟；（3）其他两组各提出1个问题并立即回答，共2分钟；（4）小组的课外讨论不进行限制。

在实施过程中，各小组结合各自工況建立相应的力学模型，得到结构简图、内力图；再明确危险截面、危险点；结合危险点的应力状态，开展单元体应力分析，明确主应力及其方向；最终得到不同工况下砖是破坏条件和因素。

2.1 第一组：简支工况

图1（a）中，砖置于间距为L的固定面。劈砖作用力F距左侧支座为a，距右侧支座为c，即L=a+c。相应结构简图见图1（b），内力图见图1（c）和图1（d）。

此时，砖的下侧受拉。取危险截面的下边缘点A处的应力单元体，如图1（e）。点A处正应力、切应力依次为：

σx=MWz（1）

τxy=FsSzIzb（2）

据第一强度理论，砖断裂时，点A处：

σ1=σx2+σ2x4+τxy2σt（3）

要使主应力σ1尽量大，可从以下考虑：

2.1.1 截面选择

砖的抗弯截面系数W为：

W=bh26（4）

若砖横放，W1=5.4×104mm3；若砖纵放，W2=1.2×105mm3。故，横放时，砖更易断。

2.1.2 弯矩和正应力

当且仅当a=c=L2时，截面弯矩有最大值Mmax=FL4。据式（1）（2），有：

τxyσx=0.19（5）

将式（5）代入式（3），得：σ1=1.031σx。可见，τxy对主应力的影响远小于σx。F在跨中时，σ1最大，砖易断。

2.2 第二组：悬挑工况

将砖一端按压在台面，一端悬挑，见图2（a）。其结构简图和内力见图2（b）（c）和（d）。此时，各截面剪力相等；最大弯矩处截面为危险截面。危险截面的上边缘点B为危险点，其应力见图2（e）。

当σ1达［σt］时，砖断裂。砖横放时，要使σ1尽可能大，弯矩应尽量大。点B所在截面弯矩Mmax=FL，剪力也同时取得最大值Fs，max。此时，据式（1）（2）得σx=6Fcbh2，τxy=3Fs2bh。据式（3），因切应力不变，故正应力最大时（即c=L时），主应力达最大。即选择远端为劈砖位置，砖更易断。

2.3 第三组：“一端抬升再劈砖”工况

砖一端搁置在固定面上，一端悬挑，并在劈砖前抬升小角度θ，见图3（a）。F的作用点距离左侧自由端距离为a，距离右侧支座距离为L2，支承区长度为L1，力学模型见图3（b），L=a+L1+L2。

砖绕O点的转动惯量见（6）式：

J=mL23（6）

据动量矩定理，得：

M=F（L1+L2）=Jd2θdt2=Jα（7）

式（7）两侧积分，得：

Mt=Jdθdt=Jω（8）

式（8）积分后求解得：

t=2JθM（9）

代入（8）得：

ω=2MθJ（10）

沿砖长度方向，质点线速度可表达为：

v=ωx（11）

式中，x为质点与点O的距离。假设砖底面与桌面的接触时长为Δt，因此产生的加速度a=vΔt=ωxΔt。假设砖与桌面接触瞬时停止绕点O的转动，受到桌面的分布支持力q，其合力Fq可近似表达为：

Fq=ma质心=mωL2Δt（12）

桌边接触点D的弯矩为：

MD=FL2+FqL′1（13）

式中，L1′是Fq与接触点D的距离。将式（12）代入式（13），得：

MD=FL2+mωLL1′2Δt（14）

据（1）式得：

Mmax=σtW（15）

当MD达Mmax时，砖将开裂。故在L1不变时，应增大L2。

2.4 工况3的计算与分析

忽略横截面切应力τxy的影响，结合规范［1］，取其抗拉强度允许值［σt］为2MPa，L为240mm，L1为50mm，L2为150mm；L1′近似取L1的一半，为25mm；砖质量取2.5kg；θ取10°；Δt取0.05秒，将以上参数代入式（1）（3）（4）（6）（7），取式（14）（15）相等，得砖开裂时F约为608N。文献［5］估算结果与本文的工况3相吻合。但文献［5］以砖的抗压强度作为强度验算的依据，明显有误。

3 集体分析——动载效应

在完成分组汇报之后，课程教师引导班级学生总结。以上讨论中，存在多处近似处理和假设，准静态分析是便于“静力学”部分知识的运用。但空手劈砖的过程实际是力在短时间内冲击荷载作用过程。在“动荷载”部分，冲击作用下的动力因数［4］Kd为：

Kd=1+1+2hΔst（16）

式中，h为自由冲击体与砖上表面间的落差；Δst為冲击荷载作为静荷载作用于砖上时，作用点的竖向线位移。

式（14）可理解为将静荷载的作用效应进行了放大。基于式（16），要提高Kd，有以下途径：（1）表演者应尽量将手抬高，增大h；（2）表演者应尽量将砖按紧于约束面上，减小Δst。否则，易导致表演失败。

而实际上，h为自由冲击体与砖上表面间的落差，并不是空手劈砖中的手掌高度。那其间差距如何考虑呢？有学生给出了自己的理解。

式（16）是基于自由落体质的解答。而空手劈砖时，“手”的加速度不同于重力加速度，式（16）可修正为：

Kd=1+1+2h′Δst（17）

式中，h′为等效冲击高度，由表演者的临场发挥（发力过程中的等效加速度）决定。

4 小结

在力学课程中探索了基于案例分析的讨论式教学，取得了一定的教学效果，课外竞赛成绩有提升，获得学校教务处的肯定。近年来，我校学生参加力学类竞赛的成绩逐步上升，获江苏省力学创新创意竞赛特等奖2项、一等奖3、二等奖7项；江苏省周培源大学生力学竞赛个人一等奖1项、个人二等奖7项，团体二等奖1项；国际大学生工程力学竞赛（亚洲区）二等奖1项。

本文所介绍的讨论式教学案例，涉及知识点有静力学、运动学、动力学、作内力图、截面应力分析、强度理论、动荷载等，课堂实施的气氛热烈，但应控制好时间。主要结论如下：

（1）在课程教学之初，提出典型案例。结合力学课程的教学过程，逐步分析影响因素及课程知识点，从讨论中调动了学习积极性，明确课程中所学知识的运用。学生在学、思、辨、论中，能体验到理论知识的实用性。

（2）课外讨论、课堂交流的案例讨论式教学探索对基础力学课程的学习氛围和课堂效果有明显提升，但其对专业能力培养目的标达成度如何，有待进一步评价。

参考文献：

［1］中国国家标准化管理委员会.GB/T 5101，烧结普通砖［S］.北京：中国标准出版社，2017.

［2］中国国家标准化管理委员会.GB/T 11945，蒸压灰砂实心砖和实心砌块［S］.北京：中国标准出版社，2019.

［3］哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（Ⅰ）［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［4］邓宗白，陶阳，吴永端.材料力学［M］.北京：科学出版社，2013.

［5］张丽华.单手劈砖需要多大力［J］.力学与实践，2017（39）：492495.

项目：南京理工大学泰州科技学院教育教学改革研究项目（YJG2016B12）；江苏省青蓝工程“优秀青年骨干教师”（2022）

作者简介：李十泉（1985— ），男，汉族，江苏如东人，硕士，副教授，主要从事工程力学的教学与研究。