师范专业认证背景下理解数学教学的策略研究

赵艳辉 唐作明 廖春艳 李娜

摘 要：数学学科是一个推理严谨的演绎逻辑知识体系，知识的发生和发展都有其内在的逻辑关系。本文主要基于师范专业认证指标体系中对学科素养的要求，从数学学科的角度探讨在数学专业核心课程的教学中“理解数学教学”的重要性，以具体的数学知识为载体从三个不同方面来“理解数学教学”，培育学生的数学核心素养，更好地做实“师范专业认证”。

关键词：师范专业认证；理解数学教学；数学核心素养

中图分类号：G642  文献标识码：A

Abstract：Mathematics is a rigorous deductive logic knowledge system，and the occurrence and development of knowledge have inherent logical relationships.This article is mainly based on the requirements for subject literacy in the normal professional certification indicator system，and explores the importance of "understanding mathematics teaching" in the teaching of core courses of mathematics majors from the perspective of mathematics subjects.Using specific mathematical knowledge as a carrier，"understanding mathematics teaching" is carried out from three different aspects to cultivate students' mathematical core literacy and better implement "normal professional certification".

Keywords：Normal professional certification；Understanding mathematics teaching；Mathematical core literacy

2017年10月，教育部下發了《普通高等学校师范类专业认证实施办法（暂行）》［1］及相关文件，认证以“学生中心、产出导向、持续改进”为基本理念。目前数学师范专业的教学主要以传授数学学科知识为主，强调学生对数学知识的系统掌握，在课堂教学中主要存在以下问题：（1）缺乏问题意识，课堂教学中教师主要是陈述教学内容，没有设计合理的问题情境，引导学生主动提出问题少，对学生提出问题的能力培养不足。（2）教学过程重结果轻过程，关注知识背景和应用少，导致学习过程不完整。（3）重解题技能技巧轻数学思想方法的概括和提炼，导致机械模仿多、独立思考少，没有数学思维或数学思维层次不高。这些都忽视了学生作为准教师的核心素养的培育，只注重了“教什么”的问题，对“怎么教”“为什么这样教”的问题没有给予足够的关注，导致培养出来的未来师资核心素养不足，缺乏解决实际问题的能力。

对于数学专业师范生的数学核心素养的培育研究及案例，大多数都是基于高中数学核心素养讨论高等数学的教学研究及案例，如文献［2］—［4］。文献［5］根据教师核心素养内涵要求，提出了促进师范生核心素养生成与发展的持续改进建议和对策。根据师范专业认证指标体系中对学科素养的要求，数学专业师范生应具有较扎实的数学基础和较强的数学语言表达能力及数学思维能力，掌握数学学科的思想方法，具备数学研究或运用数学知识解决实际问题的初步能力，为此本文将从以下三个方面探讨如何正确理解“数学教学”，以保证数学专业师范生核心素质要求的达成。

1 理解数学问题比数学证明更重要

数学课堂教学的本质是教学生学会思考，所以，好的数学课堂一定是有学生思维参与的课堂，而不仅仅是学生的行为参与。学生的思维参与度越高，课堂教学效果越好，而思维始于问题，所以，数学课堂教学一定要通过设计切近学生思维最近发展区的问题链（串）来一步一步催生出学生的思维智慧，要让学生在问题链（串）的引导下自己生发出好的想法，寻找到好的结论。数学学习离不开数学定理、公式、法则，而对这些内容的学习通常采用的是直接给出数学定理、公式、法则的内容，然后给出证明，有时甚至连证明都没有，直接告诉学生，要求学生记住。如果在数学定理、公式、法则的学习过程中为学生建立一个从已学知识到问题目标之间的思维导图，以问题为导向，逐步引导学生思维的方向和方法，通过自主、合作、探究的学习方式与启发、讨论、参与的教学方式，建立起已学知识点到问题终点之间的逻辑思维链接，使学生亲身经历研究一个数学对象的基本过程，不仅能帮助学生理解和掌握数学定理、公式、法则，而且在这一过程中学生能慢慢掌握一些数学思维方法和研究数学问题的方法。

案例1：在“数学分析”课程的“格林公式”教学中，可以设置如下问题：

格林公式［6］：若函数P（x，y）、Q（x，y）在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有：

D（Qx-Py）dxdy=∮LPdx+Qdy（1）

这里L为区域D的边界曲线，分段光滑，并取正向。

问题1：GPS面积测量仪的原理是什么？

分析：数学来源于生活，数学的发展离不开社会生产生活的实际需要。反过来，数学的发展又能更好地促进科技的发展，改善人们的生活。引导学生学会用数学的眼光思考问题，学会将实际问题转化为数学问题，提高数学学习兴趣。结合二重积分的几何意义（可以用来求平面区域的面积）和第二型曲线积分的计算方法，将问题1转化为数学问题2。

问题2：平面闭区域上的二重积分是否可以通过沿闭区域边界曲线上的曲线积分来表示？如图1。

分析：引导学生回忆微积分基本定理。

∫baF′（x）dx=F（b）-F（a） （牛顿莱布尼茨公式）（2）

思考牛顿莱布尼茨公式的本质？

其本质为“将对区间内部的积分转化成对区间边界上的积分”的伟大思想。

问题2即为以下数学式子：

D（ ）dxdy=∫LPdx+∫LQdy（3）

仔细观察（3）式并思考：牛顿莱布尼兹公式左边被积函数是一元函数，且是右边函数的导数Ｆ′（x）。则对于（3）式，左边被积函数是二元函数，那么它应该是右边函数的偏导数形式。

问题3：它们是对x的偏导数，还是对y的偏导数呢？

分析：观察（3）式，结合曲线积分的计算方法和二重积分的计算方法，P（x，y）应该对y求偏导数，Q（x，y）应该对x求偏导数，所以（3）式左边的被积函数应含有两个偏导数：P（x，y），Q（x，y）。

问题4：（3）式等号两边之间有什么对应关系？

分析：公式（3）左边被积表达式中含Q的项应该与公式右边被积表达式中含Q的项相对应，含P的项应该与含P的项相对应，即：

DP（x，y）dxdy∫LPdx，DQ（x，y）dxdy∫LQdy

问题5：你能写出（3）式的具体表达式并给出严谨证明吗？

问题6：证明中需要先解决什么问题？

分析：第二型曲线积分有方向，而二重积分没有方向，所以先解决积分曲线中的方向。

案例1中，最能体现思维智慧的是将第二型曲线积分与二重积分联系起来。根据微积分基本定理，通过设计层层递进的思维逻辑问题链，引导学生思维不断深入，实现启发思维的最高境界。从实际生活中引入问题1，贴近生活，体现了数学的实用价值。问题2引导学生思维创新，实现了学生思维的自我超越。问题3、4引导学生有理有据、合情合理地进行数学思考，找到解决问题的思路和方法。问题5、6引导学生运用数学语言进行严谨的数学表达，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养，做实“学生中心”的“师范专业认证”工作。

2 理解数学过程比数学结论更重要

数学教材中有大量的数学结论，有的学生对这些数学结论尽管记忆很准确，但在真正解题时，却经常感到束手无策，其根本的原因是学生对记住的知识不理解，不清楚知识发生发展和形成过程中所运用的思维方法。如关于重要极限式limx→0sinxx=1的学习，很多教师都会强调此极限式需要满足两个条件：（1）是00型極限式。（2）函数是sin□□的形式，其中□里的表达式相同。然后进行大题量的重复训练来帮助学生掌握此极限式，致使很多学生一直弄不清为什么要满足两个条件。

案例2：重要极限式limx→0sinxx=1的学习。

问题1：怎样建立sinx与x之间的联系？其中x是什么？

分析：联想到三角函数的学习通常都与单位圆有关，x是圆心角的弧度数，运用数形结合思想构造如图2的图形。

问题2：在图2中sinx与x分别与什么几何量有关？怎样得到sinxx？

分析：当0

1

问题3：在其他象限（4）式还成立吗？如当-π2

分析：因为xsinx与1cosx都是偶函数，所以（4）式成立；由夹逼性即知极限式成立。

此问题串的妙处在于设问的指向不是数学结论即“是什么”，而是推理过程即“为什么”。指向数学结论的设问只能实现考查学生记忆力的目标，而指向推理过程的设问，其考查目标是思维智慧。所以，数学教学要通过教过程来发展学生的思维智慧和数学能力，问题解决要由教“是什么”转向教“为什么”。问题1和问题2将高等数学中的知识与初等数学知识建立联系，体现了转化与数形结合的数学思想，强调数学学习更重要的是掌握具体知识中蕴藏的数学思想方法，培育数学核心素养。问题3将问题2推广，体现了特殊与一般的数学思想。而且由不等式“sinx

3 理解数学思想比数学知识更重要

数学思想有两种：“一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具备的思维特征。”［7］思想方法是找到解题方法的方法，一个数学思想可以生发多种解题方法，一种解题方法可以解决大量的具体问题，所以，数学教学一定要高度重视引导学生感悟和领会数学思想方法，以实现数学知识和方法更好地迁移运用。

在“数学分析”课程的学习过程中，极限思想和微分思想、定积分思想是三个非常重要的数学思想，也是核心概念。极限思想贯穿“数学分析”课程始终，是最基本的思想；多元函数积分学部分由于积分类型多、积分区域的复杂性及计算公式多等因素使很多学生头痛焦虑。但如果理解了定积分思想的内涵，用定积分思想统领全局，多元函数积分学的计算就明朗多了。一元函数的定积分通过“分割”“取点”“求和”“取极限”四个步骤实现“化整为零，积零为整”的思想，“以直代曲”“以不变代变”是定积分思想的核心。以“分割”“取点”“求和”“取极限”四个步骤反映的基本思想为纽带，通过类比、推广、转化与化归等思想方法的运用，形成了多元函数的重积分、曲线积分和曲面积分的概念，这样使多元函数的重积分、曲线积分和曲面积分等不同形式的积分有了统一的定义方式，再根据相关内容的逻辑顺序，利用微积分基本定理的思想通过格林公式、高斯公式和斯托克斯公式将多元函数的积分学内容相互沟通，使整个积分学部分形成一个逻辑严密的有机整体，加深对“数学分析”积分学部分的整体认识，使定积分思想得到螺旋上升式的重复，不断提升学生的数学抽象核心素养，做实“产出导向”的“师范专业认证”工作。

4 总结

数学是思维的科学，数学的研究对象是数量关系和空间形式，人类对数量关系和空间形式的研究方法主要是思维和计算，思维的方法主要有抽象概括、逻辑推理、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊与一般等，对这些思维方法的灵活运用是一个人的数学智慧与思维能力的体现。而计算的基础也是思维，且计算本身也是一种思维活动，所以，思维是数学学科最本质的特征，所以在具体数学知识的学习过程中和具体问题解决的实践中，要注重思维训练，使学生学会数学思维方法，能进行严谨的逻辑推理，掌握数学运算的方法和技巧，发展思维能力，培育理性精神。

培育学生的数学核心素养是数学教育的根本价值追求，因为只有素养才能使学生形成可持续的自主发展能力。数学核心素养的形成需要以数学知识为载体，这就要求数学教师在平时的课堂教学中要理解数学教学的内涵，以恰当适切的教学方式引导学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，培育学生的数学核心素养，做实师范专业认证工作。

参考文献：

［1］教育部.教育部关于印发《普通高等学校师范类专业认证实施办法（暂行）》的通知［EB/OL］.（20171026）［20171102］.http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A10/s7011/201711/t20171106_318535.html.

［2］趙慧.基于数学核心素养的大学数学公共课程重构实验探索［J］.科教文汇（上旬刊），2021（09）：6366.

［3］严谦泰，姚合军.基于数学核心素养的师范生培养模式研究［J］.安阳师范学院学报，2019（05）：104106.

［4］朱光艳.高等数学教学与数学核心素养培养研究——极限定义教学探究［J］.教育教学论坛，2019（34）：205206.

［5］张静，王力，罗朝阳.认证理念下师范生教师核心素养发展问题与对策——以昌吉学院数学与应用数学（师范）专业为例［J］.昌吉学院学报，2022（02）：101109.

［6］华东师范大学数学科学学院编.数学分析（第五版下册）［M］.北京：高等教育出版社，2019（5）：210.

［7］史宁中.漫谈数学基本思想［J］.中国大学教学，2011（7）：911.

基金项目：湖南省普通高等学校教学改革研究项目：“师范专业认证背景下数学专业师范生核心素养的培育研究”（项目编号：HNJG20210195）；湖南科技学院校级线下一流课程《数学分析》（项目编号：湘科院教发［2019］66号，序号10）；湖南省普通高等学校教学改革研究项目（项目编号：HNJG20231109）

作者简介：赵艳辉（1969— ），女，汉族，湖南益阳人，硕士，教授，研究方向：高等数学教育教学。