聚焦关键课例，发展运算能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，理解算理、掌握算法并能正确运算是运算能力的三个表现特征。对于运算能力的培养，“新课标”提出要让学生感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算的一致性，培养学生的运算能力。笔者尝试用案例研究法，对人教版小学数学教材三年级上册“多位数乘一位数（笔算乘法）”进行探究，聚焦关键课例，实施单元整体教学，以有效促进学生运算能力的发展。

一、进行教材分析，定位关键课例

人教版小学数学教材将整数乘法编排在4个阶段，分别安排在二年级上册“表内乘法”、三年级上册“多位数乘一位数”、三年级下册“两位数乘两位数”、四年级上册“三位数乘两位数”，整数乘法的编排梯度主要体现在乘数的位数变化上。例如：

23×3=（20+3）×3=20×3+3×3

23×32=23 ×（30+2）=23×30+23×2

123×32=123 ×（30+2）=123×30+123×2

由此可见，乘法运算的一致性体现在“先分后合算乘法”，其本质是乘法分配律。整数乘法竖式计算的算理也是一样的，只是把计算过程体现在结构化的竖式中，借助数位和位值来简洁记录。例如：

23×32=23 ×（30+2）=23×30+23×2

=（20+3）× 30+（20+3）×2=20×30+3×30+20×2+3×2

=（2×3）×（10×10）+（3×3）×（10×1）+（2×2）×（10×1）+（3×2）×（1×1）

=6×100+9×10+4×10+6×1

=736

用竖式表示如图1所示。

因此，笔算乘法其实是同时进行了“表内乘法计算”和“计数单位计算”。而借助数位和位值来列竖式的表达与整数加法竖式的表达又具有一致性，都是基于数位和位值来进行计算的。

基于以上分析，笔者把教材中整数乘法内容划分为如图2所示。

“多位数乘一位数”单元是整数乘法的关键单元，在这个单元中，口算乘法是笔算乘法计算的关键，先分后合算乘法，为笔算乘法学习埋下方法的种子，可以定位为种子课；“多位数乘一位数”是笔算乘法的起始课，本课的学习将直接影响到后面笔算乘法能否顺利迁移类推，所以定位为关键课。

二、基于学情分析，优化运算教学结构

教学前，教师必须了解学生的学习起点，摸准学生的学习需求。通过学情调研，我们发现，教材例1的知识点非常简单；通过前测发现，教师不教学这部分内容，也有约80%的学生会计算，但在完成教材中“做一做”计算三位数乘一位数时，部分学生出现了错误。说明这部分学生不能把计算两位数乘一位数的方法迁移到三位数乘一位数中来。究其原因，一是例1比较简单，没有引发学生深度思考，学生容易形成机械的程序化演算；二是在口算乘法里只编排了用先分后合的方法计算两位数乘一位数，并没有顺势迁移学习三位数乘一位数。

如何促进知识迁移类推，从两位数乘一位数迁移到三位数乘一位数，甚至是更多位数乘一位数呢？为了达到这个目标，我们在教学中进行了优化处理。

一是在口算乘法教学中做“加法”处理，因数由两位数拓展到三位数，顺势帮助学生完成方法迁移类推，让学生学会多位数乘一位数的简单口算。

二是在笔算乘法教学中做“减法”处理，把例1不进位和例2一次进位整合起来教学。考量有以下两方面。

（1）先分后合的方法已经在口算教学中实现迁移，这样处理可以进一步降低笔算乘法的学习难度。

（2）乘法竖式与加法竖式具有一致性，都要基于数位和计算单位来计算，进位方法一致，计算的顺序一致，都要从个位算起。

通过整合，能激发学生对笔算乘法的学习兴趣，整体建立笔算乘法的计算模型，感受笔算乘法与加法之间的关联。

三、实施单元整体教学，发展运算能力

1.创设情境，引入新课

课始，教师以学生喜闻乐见的动物世界作为情境素材（如图3），激发学生的学习兴趣，引导学生阅读信息、提出问题，培养自主阅读的良好习惯。同时在关键处设置数学问题：为什么列乘法算式？通过设问让学生明晰运算的对象和意义，为算法探索做好准备。

2.自主尝试，提炼方法

学生列出算式后，教师让学生自主尝试计算。由于前一节课已经学习了用先分后合的方法计算多位数乘一位数，所以学生很轻松地列出横式计算。然后，教师引导学生一起提炼总结：这样的方法我们叫作“先分后合”。教师顺势板书（如图4），提炼出整数乘法计算的方法，为后面列竖式计算提供算理基础。

不管是列横式计算，还是列竖式计算，都是基于“先分后合”的方法，所以教师应明确计算思路，为学生自主探索笔算方法指明方向。

师：刚才我们是用先分后合的方法列成横式计算的。其实，用先分后合的方法还可以列成竖式来计算。列竖式计算也叫笔算，我们一起来学习笔算乘法。

（师板书课题：笔算乘法）

师：列竖式计算先要列出竖式，乘法竖式怎么列呢？

教师带领学生一起在黑板上示范写竖式，并在竖式上标上计数单位（如图5），提出问题：乘数3为什么写在个位上？以此来引导学生增强数位意识。

此教学环节先让学生自主尝试笔算，然后再组织学生小组交流，让每个学生进行充分表达。

3.质疑问难，全班交流

此时，学生的竖式计算全部都是标准的竖式（如图6）。教师可以让学生当小老师介绍自己的计算过程，学生讲解完后，教师再鼓励学生大胆提出问题、质疑问难，让学习真实发生。

生：为什么是加上进位的1，而不是乘上进位的1？

生：进位的1是个位相乘多出来的，所以要加上而不是乘上。

生：为什么这个3乘了一次6，还要再乘一次1？

生：因为16乘3里面有3个6和3个10，所以3要分别乘6和1，共乘2次。

生：3为什么先乘6，而不是先乘1？

生：因为如果先从十位乘起，个位有进位就加不到了，所以先从个位乘起。

师：这样的方法咱们在哪里还用过？

生：在加法中。

师：原来从个位乘起不是随便乘的，这里还隐藏着这样的道理。

这些问题的解决让学生打通了加法笔算和乘法笔算的隔断墙，实现了方法的迁移。学生通过形与数的一一对应（如图7），借助数形结合的方法进一步理解了其中的算理和算法的关系。

4.迁移类推，归纳算法

通过学习，学生已经理解了笔算的算理和基本算法，那如何通过迁移类推，实现进位的突破和乘数位数的突破呢？为此笔者设计了两道练习题。

练习1：猜猜下面的乘法运算的框里藏着几。

师：为什么每一次向十位进的数都不一样？

生：个位相乘得18，满十了，所以向十位进1。

生：五六三十，满三十了，所以向十位进3。

生：五九四十五，满四十了，所以向十位进4。

师：那如果个位相乘满五十了呢？满八十了呢？

师：你能用一句话概括进位的方法吗？

生：乘得的积满几十，就向前一位进几。

练习2：进行下面的乘法运算（因数位数的拓展）。

教师先让学生独立计算，然后挑选三人板演并介绍算法，再次引导学生学会倾听。学生逐一介绍计算过程，再开展生生和师生之间的互评和质疑问难活动。

师：他们做得怎么样呢？你们想点评谁就点评谁。

生：我想对做第二题的同学说，你做得很好，数字写得很工整，数位也对齐了，答案也算对了。

师：做第三题的同学很了不起，会计算三位数乘一位数，那你怎么知道4还要乘百位上的数呢？

生：因为193是分成100、90和3，所以这三个数都要乘4。

师：很好，假如这个因数是四位数，千位上有数，怎么办？

生：也要乘千位上的数。

师：谁能用一句话来概括计算方法？

生：因数有几位数，就要乘几次。

四、反思与启示

通过本课例的研究，笔者探索出了实施单元整体教学的三个思考维度，能较好地发展学生运算能力。

1.教材角度。充分理解学科知识本质，整体把握学科知识结构，优化教材内容，实施单元整体教学，有利于促进学生对知识的理解与迁移，在发展学生运算能力的同时，还能发展学生的几何直观、归纳概括和迁移类推能力，培养学生的核心素养。

2.教学角度。课堂教学要让学生有充分的自主探索空间和时间，以学定教，变教为学，让学生真正成为学习的主人，让学习真正发生。在课堂教学中，教师应注重学生对所学知识的理解，帮助学生体会数学知识之间的关联。在全课总结阶段，教师能从整体的角度，实施单元整体教学，用对比的方法来建立知识之间的联系，加深学生对算理的理解，促进学生运算能力的发展，发展学生的数学思维，真正提升学生的学习力。

3.学生角度。运算能力是学生的必备技能。在教学中，学生往往不能很好地明算理、通算法，只是停留在会计算和会解题上。教师要以生为本，以促进学生可持续发展为出发点，不仅要教会学生解题，还要让学生理解数学本质，发挥学生的主体地位，发展学生的运算能力。