问题法驱动下“相似三角形的判定”教学活动的实践

尚卫成 谭晓玲

摘要：问题是认识世界和改造世界的原始动力，数学科目也不例外.本文中以“相似三角形的判定”一课的教学设计为例，结合问题法应用的两个原则，从“在现实情境中发现数学问题”和“利用新旧知识间的联系生成和解决问题”这两个方面探讨了在数学单元教学活动中运用问题法的实践和探索.

关键词：问题法；相似三角形的判定；教学实践

问题是认识世界和改造世界的原始动力，数学学科也不例外.克莱因强调：“每一个数学分支均是为攻克一类问题发展起来的.”惠州学院数学与大数据学院王海青副教授也曾表示：“高质量的数学活动总是从特定的数学问题开始的.”可见，问题是数学工作开展的基础，合乎逻辑的数学教学工作也应该围绕着问题逐步展开［1］.《普通高中数学课程标准（2022年版）》明确指出要坚持以问题为导向，全面梳理课程改革的困难与问题，明确修订的重点和任务，注重对实际问题的有效回应.为此，教师要充分围绕问题设计数学教学，为学生提供真实的问题情境，引领学生围绕问题展开数学探究，以此提高学生的学习热情，推动数学教学从“形式化”教学模式向“实质化”教学模式转型.

1 在现实情境中发现数学问题

问题法驱动下的数学教学遵循“从问题到理论”的具体教学原则.教师要从现实情境出发完成数学教学.这里的“现实”主要有两方面的含义：一是数学各个分支产生的历史背景，二是数学基础与学生日常生活实践的联系.问题法驱动下的数学教学活动，其驱动模式的关键在于教师是否在教学组织时充分考虑到学生的主体地位以及数学问题的创设能否符合真实的现实情境［2］.

教学片段1：

师：面对大数学家泰勒斯的侃侃而谈，国王又对泰勒斯发问道“我想知道希腊基菲索斯河的宽度，你不过河可以做到吗？”泰勒斯点了点头.同学们知道泰勒斯是怎么解决这一问题的吗？

生1：应该是运用相似三角形的判定定理吧？

生2：可以在河岸取一条与河道垂直的垂线，再运用相似三角形的判定定理證明两个三角形的相似关系，进而解出河道的具体宽度.

师：两位同学说得都很正确，那大家一起尝试着将真实情境具体到简单的几何图形中吧.我们可以取河岸对面一点A，在河岸边取点B和C，使点A，B，D共线且直线AD与河岸垂直，过点D作AD的垂线交直线AC于点E，如图1，AB为河的宽度.那怎么求出线段AB的长度呢？

生9：因为△ABC∽△ADE，在测量出BD，BC，DE的长度后就可以求出AB的长度了.

师：很好，那接下来我为这些线段赋值，大家一起尝试着做一下.已知BC=120 m，BD=90 m，DE=240 m，则河道的宽度AB是多少？

解：因为∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=∠EAD，所以

△ABC∽△ADE，则

ABAD=BCDE，即

ABAB+BD=BCDE，于是

ABAB+90=120240，

解得AB=90，所以河道的宽度AB大约90 m.

教学反思：教师以真实情境作为问题的支撑，为学生提供了更加形象而具体的想象空间.引导学生展开头脑风暴，提高学习积极性和主动性.

2 利用新旧知识间的联系生成和解决问题

初中数学教学过程中，问题法在实际运用时，学生原有的知识结构基础是非常重要的.因为初中数学的很多知识前后联系性较强，如果没有以前的知识基础，在采用问题法引导时，学生会感到有较大难度.因此，在进行问题法教学时，一定要注意新旧知识之间的联系，帮助学生回忆，在原有知识基础上运用问题法实现知识的深化和迁移.

教学片段2：

师：我们已经跟泰勒斯学会了用相似三角形解决生活中的实际问题，那么老师现在想知道我们学校的旗杆的高度，哪位同学有办法解决呢？

生4：可以利用光线，测量出自己的身高、自己影子的长度以及旗杆影子的长度，这样就出现了两个直角三角形.根据相似三角形的判定定理——两角分别对应相等的两个三角形相似，就可以知道由旗杆和旗杆的影子构成的三角形与自己身高和自身影子构成的三角形是相似三角形.再根据相似三角形对应边成比例这一性质，就可以得出旗杆的高度了.

师：这位同学讲得非常正确，可以看出同学们已经基本掌握了相似三角形的相关性质，通过情境思考，利用光线构建相似三角形解决问题.

接下来，我们通过案例解析熟练掌握相似三角形的判定定理并将其运算原理迁移到其他生活情境中，在数学教材的支撑下，掌握其中的核心联系.让我们来具体联系一下吧.

例1  在同一时刻，物体的高度与它自身的影子成正比.在某一时刻，有人测得一高为1.5 m的竹竿的影子长5 m，某一高楼的影子长75 m，那么高楼的高度是多少m？

师：为了正确运用相似三角形的判定定理，同学们应当在解答之前，先尝试列举已知、位置、常量、变量等条件，提取重点内容，建立知识框架.

生5：物体的高度和它自身的影子成正比、1.5 m的竹竿影子长5 m、高楼的影子为75 m，以正比例为重点，找到竹竿和高楼之间的联系，就能计算出最终答案.

师：嗯，特别棒.

生6：设高楼的高度为x m，则x1.5=755，解得x=22.5 （m）.所以高楼的高度为22.5 m.

师：不错，看来同学们已经掌握了此类题型之间的逻辑关系，能从中提取核心内容.

例2  如图2，一名同学直立于旗杆影子的顶端B处，测得该同学的身高BD=1.8 m，其影长CB=2 m，又测得同一时刻旗杆的影长OB=18 m，根据测量数据，求出旗杆的高度AO.

生7：根据图2可以得出，这是相似三角形判定的经典题型，只要找到两个三角形之间的联系，肯定能够计算出结果.

师：非常正确，同学们要记住，数学知识间是互通的，在每次解题之前，要能找到问题与已学知识点之间的内在联系，选择性加以应用，才能摸清问题的来龙去脉.

生8：因为DC∥AB，所以∠ABO=∠DCB.

又∠AOB=∠DBC=90°，所以

△AOB∽△DBC，于是

AODB=OBBC，则

AO=OB×DBBC=18×1.82=16.2.

所以旗杆的高度AO为16.2 m.

师：有理有据，因果明晰，运算步骤不繁琐，运算结果精准，整体完整性较高，值得表扬.

教学反思：教師在引导学生解决楼房的高度问题后，逐步引导学生应用新学的知识解决问题.加深对所学知识的印象，帮助学生尝试自主建新旧知识之间的联系，构建数学知识框架，提高题解的准确性.

教学片段3：

师：同学们已经学会运用镜子的反射原理，构建相似三角形，并运用相似三角形的判定定理解决数学问题.那接下来，我们一起来探讨下面这道题吧.

例3  如图3所示，小明将一面镜子放在离树（CD）10 m的点O处，然后沿着直线CO后退到点B，这时恰好在镜子里看到树梢顶点D，再用卷尺量得BO=3.2 m，而小明的身高为AB=1.6 m，则树高是多少？你可以解决这个问题吗？

生9：如图4，过点O作HO⊥BC，则∠BOH=∠COH=90°，∠1=∠2，

∠AOB=∠DOC.

又∠ABO=∠DCO=90°，所以

△AOB∽△DOC，于是

DCAB=COBO，则DC=AB×COBO=1.6×103.2=5.

故树高5 m.

师：很好，大家已经充分掌握了运用镜子构建相似三角形，并学会了运用相似三角形的判定定理解决数学问题.

教学反思：教师以教学片段2中的数学问题为基础，并提出类似的数学应用问题，以此提高学生对旧知识的应用以及对相似三角形判定定理的理解.

教学片段4：

师：大家能否根据相似三角形的判定定理，帮助泰勒斯寻找其他求河的宽度的方法？

生10：我们可以在河岸边设置一点A，连接河对岸上的点P与点A，交河岸BC于点O，再过点P和点A分别向BC引垂线，构建相似三角形.

师：这位同学的想法很好，我们一起来实践一下，看看可操作性强不强.现在请大家判断图5中的△ABO与△PCO是否相似？并说明理由.

生11：△ABO∽△PCO.

因为∠AOB=∠POC，∠ABO=∠PCO=90°，所以

△ABO∽△PCO.

师：既然可以证明两个三角形相似，那么能否运用相似三角形的定义和性质，求出河道的宽度呢？

生12：可以.由△ABO∽△PCO，可得PCAB=COBO，则可求出PC的长.

师：很好，大家已经懂得了相似三角形判定定理的具体应用方法.

教学反思：根据教学片段3的内容，教师对河宽的求解方法提出了新的思路，在原有的解题方法上拓展了学生解决问题的思路.

设计并研究问题法教学在于体现数学的应用价值.一方面，教师要逐步引导学生针对生活中的实际情况提出数学问题，以此引发思考，提高学生的自主探究能力.另一方面，教师要加强新旧知识之间的联系，引导学生在解决数学问题的同时，拓展解题思路，活跃数学思维.教师要掌握问题法教学的核心，带领学生感受数学的真正魅力所在.

参考文献：

［1］余春妹.深挖相似定理，突破问题难点——以函数背景中的相似三角形问题为例［J］.数学教学通讯，2021（23）：86-88.

［2］谢玉平.巧用"构造相似比"解向量与三角形的综合问题［J］.数理化解题研究，2020（19）：45-46.