基于问题链的单元复习教学策略研究

陶兴高 丁永愿 程龙军

课题信息：安徽省合肥市教育科学研究一般课题“初中数学几何思维可视化教学实践研究”，课题编号为HJG22055.

摘要：复习课是初中阶段的主要课型之一，但由于缺乏系统的理论指导，使得复习课缺乏设计，变得低效，而运用问题链教学法可以帮助学生厘清知识脉络，树立整体观念，提高课堂参与度，发展数学核心素养.本文中给出了基于问题链的设计路径与设计原则，并以“直线与圆的位置关系”单元复习为例展开教学过程，为一线教师使用问题链教学法提供参考.

关键词：问题链；教学策略；单元复习；直线与圆

1 单元复习教学现状

复习课的主要功能是将学过的知识进行系统梳理，提高学生的综合能力，发展学生的思维品质.但复习课也是典型的“三无”课型，即没有明确的教学目标，没有具体的教学内容，没有固定的教学策略，给复习课的设计带来了挑战.目前复习课的设计存在以下问题：忽视教学目标，重难点不突出；复习内容单调，基本上都是“知识+习题”，导致了知识的碎片化，不利于知识认知的整体构建；复习方法以讲练为主，机械重复，学生丧失复习主动性.

2 问题链的相关概念

2.1 问题链的内涵与特征

“问题链”就是教师为实现教学目标，根据学生的已有经验和认知障碍，将教材知识深化整合，推广综合，逐渐转化为具有层次性和系统性的问题序列［1］.问题链具备以下特征：①有序性.问题链的有序性是知识有序和认知有序的整合，问题遵循从易到难、从简单到复杂的原则循序渐进依次展开.②指引性.问题链中的每一个问题都是一个“脚手架”，引导学生积极思考、主动表达，促进教学目标的达成.③灵活性.由于课堂教学是一个动态的过程，这就要求问题链中的问题不能一成不变地呈现给学生，其呈现的跨度、方式及内容等要因情施策.

2.2 基于问题链的单元复习设计路径与原则

以建构主义理论和最近发展区理论为支持，构建基于问题链的学习活动路径，如图1所示.

2.2.1 教学目标的高阶性和指向性

教学目标是问题链的目的地，也是问题链的导航仪，在教学目标的追求上，问题链的教学不仅要关注基本知识、基本技能的掌握，也要关注思想方法的领悟、基本活动经验的积累.在教学目标的制定上，教师要明晰知识结构、调研学生认知障碍，以课标为参考，确保后续的每个问题都有明确的指向性，避免“问无实质”“随意提问”的现象，使得问题链有计划、有步骤、有目的地依次展开.

2.2.2 问题链设计的逻辑性和启发性

问题链的逻辑性包括知识逻辑和认知逻辑.一方面，问题链应体现“低起点、分层次、高落点”，实现从简单到复杂、从低级到高级的过渡.另一方面，教师在设计问题链时应顺应数学知识的展开规律和学生的认知顺序，确保问题间有顺序地衔接，有逻辑地渐进，使问题链成为促进学生思维发展的有效阶梯.

问题链的启发性就是要求教师根据学生的差异性，在学生的思维障碍处或兴趣点处搭建“脚手架”，设计符合学生最近发展区的预设问题，尽可能地对原有问题进行拓展、延伸.

2.2.3 评价分析的伴随性

评价分析包括问题功能和学生反馈两个维度，一是在教师设计完问题链之后，分析每个主干问题完成了哪些教学目标，在教学过程中教师及时记录出现的预设问题，优化问题链.二是问题链的教学是一个不断提出问题、解决问题的过程，在教学过程中教师可以不断评估学生的学习状况，诊断出学生的知识盲区，以便及时指导.

3 “直线与圆的位置关系”单元复习设计实施

3.1 “直线与圆的位置关系”复习目标

“直线与圆的位置关系”单元包括沪科版第24章的第4，5两个小节，是在圆的基本性质学习的基础上进一步延续和发展.本单元内容包括直线与圆的位置关系，切线的性质与判定，切线长定理，内切圆等知识.从教材的脉络来看，首先分类讨论直线与圆的三种位置关系，突出特殊的位置关系——相切，探究切线的性质和判定定理，再利用尺规作图作已知圆的切线，引出切线长定理，最后学习三角形的内切圆（即切线长的应用与延续）.因此，切线是贯穿单元内容的主线，以切线的条数逐步增加作为横向脉络，以相应的图形结论作为纵向脉络，形成了如图2的知识结构网络图.

直线与圆的位置关系是初中几何知识的综合运用，常与垂径定理、圆周角、勾股定理、平行线、相似三角形等知识结合.本单元对发展学生分类讨论、数形结合、几何直观、演绎推理、实践操作能力有着重要的意义.

基于课标要求，制定如下教学目标：

（1）回顾直线与圆的三种位置关系，体会用距离刻画直线与圆的位置关系的数形结合思想；

（2）掌握切线的性质和判定定理，发展几何直观、演绎推理能力；

（3）了解切线长定理、三角形内切圆等知识，在尺规作图的过程中积累基本活动经验；

（4）在解决具体问题的过程中提高分析问题、解决问题以及综合运用的能力.

3.2 “直线与圆的位置关系”问题链设计分析

3.2.1 问题链1：开放作图，理清知识脉络

问题1  如图3，⊙O外有一点P，过P作直线l，直线l与⊙O有哪些位置关系的？

问题1-1  你是如何判断直线与圆的位置关系的？

问题2  如图4，已知直线PA是⊙O的一条切线，切点为A，请用尺规过点P作⊙O的另外一條切线PB，并说明理由.

问题2-1  你是怎么想到该作法的？

问题2-2  所得到的图形有什么结构特征？

问题3  如图5，PA，PB与⊙O分别相切于A，B两点，C是⊙O上一点.过C作⊙O切线，请你画出图形.

问题3-1  你还能画出其他图形吗？

问题3-2  根据所画出的图形，你有什么结论？

教学预设：

问题2的具体作法有如下几种情况：

思路一：如图6，以OP为直径作⊙N，交⊙O于点B，则直线PB即为所作.

思路二：如图7，以P为圆心，PA为半径作弧交⊙O于点B，则直线PB即为所作.

思路三：如图8，作直线PM，使得∠OPM=∠OPA，则直线PM即为所作.

思路四：如图9，过点A作PO的垂线段交⊙O于点B，则直线PB即为所作.

问题3所得到的图形如图10～12所示.

功能分析：问题1从数形两个不同的角度复习回顾判断直线与圆的位置关系的方法，渗透数形结合思想.对于问题2，学生已经具备了教材的作法经验，思路一较易想到，但该法并未用到已知切线PA这一条件.可引导学生结合切线长定理的内容（过圆外一点作圆的两条切线，两条切线相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角）联想构图，形成思路二、三.对于这几种作法的证明，思路一、二、四应用了切线的判定方法，即连半径，证垂直；思路三应用了切线的判定方法，即作垂直，证半径.特别指出，思路三在教学过程中有学生用△PAO≌△PBO证明PM是⊙O的切线，通过对比彰显运用角平分线性质证明的简洁性.本活动在作图中复习切线定理、切线长定理的同时，综合运用了垂径定理、全等三角形、圆周角、角平分线的性质等相关几何知识，提高了学生的直观想象和逻辑推理能力.

问题3根据点C的位置分为图10～12的三种情况，培养了学生分类讨论能力.在图10中复习三角形内心的定义、性质和求三角形内切圆半径的一般方法，在图11中可证四边形ACMP是直角梯形且PM=MC+PA，在图12中可向学生补充旁切圆等知识.在教学过程中可继续追问学生：“如果再增加一条切线，你可以得到什么图形？有什么结论？”该环节是切线长定理运用的延续与拓展，使得知识整理的过程变得有序和完整，也为后续学习正多边形与圆的关系埋下伏笔.

问题链1是知识梳理的过程，与机械式的复述回忆不同，该环节通过设计连续的作图活动，从一条切线到两条切线，再到三条切线，将其中的概念、定理以及内在的联系串联形成知识结构体系.让学生在经历尺规作图的过程中，增强动手能力，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念、几何直观、逻辑推理等核心素养.

3.2.2 问题链2：问题探究，提高综合能力

问题4  如图13，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm.点O在边BC上，以OC为半径作⊙O，⊙O与边AB相切于点D，交边BC于点E，求⊙O的半径.

问题4-1：如图14，连接DE，CD，求线段DE，CD的值.

问题4-2：如图15，连接OA交CD于点F，连接EF，判断四边形ADEF是不是平行四边形.

问题5  如图16所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在边BC上，以OC为半径作⊙O，⊙O与边AB相切于点D，交边BC于点E，连接OA交CD于点F，连接EF，要使四边形ADEF是平行四边形，则Rt△ABC的三边需要满足什么条件？

教学预设：

问题4求半径的一般思路：

思路一：如图17，连接OD，因为AB，AC都是⊙O的切线，切点分别是C，D，根据切线长定理可得AD=AC=6.又∠BDO=90°，易知△BDO∽△BCA，则ODBD=ACBC，即r4=68，解得r=3.

思路二：如图17，连接OD，在Rt△BDO中，由BD2+OD2=OB2，得42+r2=（8－r）2，解得r=3.

思路三：如图18，连接OD，OA.由S△ABO+S△OAC=S△ABC，可得12×10r+12×6r=12×6×8，解得r=3.

问题4-1求线段长的一般思路：

思路一：如图14，在△BDE中，sin B=35，BE=2，BD=4，解斜三角形可得DE=655.在Rt△CDE中，解得CD=1255.

思路二：如图19，连接OD，由∠BDO=∠EDC=90°，得∠BDE=∠CDO=∠BCD，所以可证得△BDE∽△BCD，则BDBC=DECD，可得CD=2DE.在Rt△CDE中，解得DE=655，CD=1255.（也可证△ODE∽△ADC，得CD=2DE，求得线段DE，CD的长.）

问题4-2的判断思路：

思路一：求得EF=6105，与对边AD不相等；或求得AF=1255，与对边DE不相等.

思路二：F是CD的中点，E不是CB的中点，显然EF和AB不平行.

问题5的求解思路：

已知ED∥AF，要使四边形ADEF是平行四边形，还需要ED=AF或AD∥EF.

思路一：如图20，连接OD，因为DE=2OF，若四边形ADEF是平行四边形，则DE=AF，DEOA=23.又AO∥DE，所以有△BED∽△BOA，BEBO=OEOA=23，所以

BE=2OE，在Rt△BDO中，有sin B=ODOB=13.故Rt△ABC三边比值为AC∶BC∶AB=1∶22∶3.

思路二：如图20，由F是CD的中点，若四边形ADEF是平行四边形，则EF∥AB，可得E是BC的中点，所以BE=2OE.后续同思路一可证得Rt△ABC三边的比值AC∶BC∶AB=1∶22∶3.

功能分析：该环节以直角三角形和圆的综合为背景设置问题链，将切线定理与相似三角形、平行线、勾股定理、平行四边形等知识联系起来，学生通过该题组掌握了求圆中线段长度的一般方法，提高了分析问题、解决问题的能力.其中，问题5是问题4-2的逆向论证，从已知四边形的形状探究Rt△ABC的三边关系，从有具体的数值到无数值，论证的过程更加抽象，使学生对图形的位置关系、数量关系的认识更加深刻.该环节通过一题多问、一题多解的方式使得课堂内容从冗长走向简约，增强学生思维的连贯性、综合性.

4 基于问题链的单元复习教学反思

问题链的教学模式可为教师提供一种复习课的教学方法，能够引导学生树立整体观念，提高课堂参与度，发展核心素养.

4.1 理清脉络，树立整体观念

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要注重教学内容的结构化，整体分析数学内容本质和学生认知规律，帮助学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题.问题链作为一个整体序列，问题与问题之间具有一定层次结构、逻辑关系，让学生有机会借助逻辑思考建构起知识体系.在本案例中，问题链1以切线的条数不断增加作为主线，纵向将单元内容串联起来，使得知识梳理过程变得有序；问题链2横向将切线内容与勾股定理、相似三角形、直角三角形等知识相结合，明晰本单元与其他知识的综合应用.

4.2 以生为本，提高课堂参与度

唐恒钧［2］教授指出：教师在设计问题链时应激发学生解决问题的积极性；对于挑战性问题，要在全体学生的认知范围内，让每一位学生参与到其中，锻炼学生解决问题的能力.在本案例中几乎每个问题都有多种解法.其中，问题2方法的开放性让学生更全面地掌握切线定理和切线长定理，更深刻地认识双切图的对称性；問题3结论的开放性也会给学生带来了“意外“内容，拓展旁切圆等知识；问题4题组探究过程的多样性培养了学生的发散思维和创造思维.开放性的问题让不同层次的学生都能参与，也使得知识方法的使用更加全面.

4.3 问题驱动，发展思维品质

问题链教学将陈述性知识转化为程序性知识去理解和认识，让学生在做数学的过程中实现知识的建构.问题链教学驱动学生思维的发展，表现在两个方面：一是在内容上给学生提供了充足的冷静思考与自主探究的空间，让学生在问题的驱动下独立探索，利于学生数学思维的发展；二是问题链间的关联能揭示学习过程与思想方法，驱动学生的思维发展经历“问题—方法—方法论”的数学化全过程，发展学生的核心素养.

参考文献：

［1］唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的内涵与特征［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2021（1）：8-12.

［2］唐恒钧，张维忠.数学问题链教学：缘起、进展与展望［J］.中学数学教学参考，2021（16）：71-73.