提取对称关系 设计运算思路

摘  要：针对学生对一道试题解答的运算思路，分析了运算烦琐的原因在于提取的几何对象和表征的代数结构都丧失了对称性，进而从几何直观和代数推理两个角度给出三种简洁的解答过程. 最后从理解数学运算的本质特征、培养解析几何的思维方式、发挥对称结构的简化功能等方面反思了解析几何的运算教学.

关键词：数学运算；运算思路；對称关系

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）02-0043-05

引用格式：李昌. 提取对称关系  设计运算思路：以一道圆锥曲线试题的解答为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（2）：43-47.

一、问题提出

二、运算路径分析

三、简洁的解答

以上分析表明，使运算路径简洁的关键在于选择的几何对象要能凸显中点承载的对称性，表达几何对象的代数结构要能延续中点的对称性，即形与数要进行深度结合.

1. 对称的两点同在双曲线上

四、教后思考

在解析几何教学中，只有深刻认识到数学运算的本质特征，才不会将其异化为纯粹的代数计算；也只有发现并充分利用代数结构所表达的几何图形的对称性，设计的运算路径才能更简洁.

1. 深刻理解解析几何数学运算的本质特征

用代数方法解决几何问题是解析几何的核心思想. 代数方法主要指数学运算，数学运算本质上是用演绎推理解决数学问题的思维方式. 解析几何中的数学运算是几何背景下的运算推理，其运算对象虽然无异于纯粹的数式，然而却是一些几何元素、几何关系的代数表征；它遵循的运算法则虽然无异于代数的加、减、乘、除，然而执行哪种运算却不是机械和任意的，而是由几何性质及其相互间的关系来决定的；其运算路径不是程序化的，而受制于几何量、几何性质或几何关系的内在逻辑；代数运算的结果大多数情况下要与几何量、几何性质的意义相符. 这表明了几何背景具有导算、启算和验算的功能，是代数运算的骨架.

因此，解析几何运算教学的目标设定，不能停留在习得算法知识和提升运算技能的层面，而应该上升到优化运算思维和提高运算素养的水准. 解析几何运算教学的价值追求，不能停留在用代数方法研究几何问题的感性层面，而应该深化到丰富推理内涵，推动运算发展的理性高度. 通过解析几何，抽象的代数结构有了直观形象的模型，数形结合的思想方法融合了几何思维的形象化和代数运算的程序化，实现了逻辑推理与代数运算的灵活转换.

2. 破除模式化运算培养解析几何的思维方式

在圆锥曲线的问题解决中，一些学生常常把直线与圆锥曲线的位置关系作为解决问题的方向和路径. 基于此的运算思路具有模式化的特征：先按照解方程组的变形法消元化简，整理成一元二次方程，写出根与系数的关系；再确定后续的运算对象和运算思路，如果代数结构复杂或者找不到运算思路就放弃解答. 长此以往，学生容易形成思维定式和“解析几何中的数学运算不仅烦琐而且路径单一”的错误认识.

通过教学培养和发展解析几何的思维方式是破除模式化运算的必由之路. 解析几何的思维方式指的是，在解决问题时先用几何眼光观察，分析几何图形的要素及相关的几何关系；再用代数语言表达，而且在代数运算中时刻注意利用它们来简化运算. 笔者认为，这种思维方式在解决问题时具体体现为：首先，要厘清题目中的几何关系，深刻理解问题本质，适当转化、恰当归纳；其次，要合理提取几何对象并恰当地表征，即表征几何对象的代数结构既要准确表达数学本质又不能丧失特点；最后，围绕几何性质和几何关系设计合理简洁的运算思路，求得与几何意义相符的运算结果. 学生运用解析几何的思维方式提取几何对象、表征代数结构、设计运算思路的过程是实践数形结合思想的过程，也是智慧拔节的生长过程.

3. 充分发挥代数对称结构简化运算的功能

对称性普遍存在于自然界和人类社会中. 数学中的诸多内容都呈现出结构对称、性质优美的特征.“从一般意义上讲，对称对于我们的论题很重要……如果一道题目具有某方面的对称性，我们常常能得益于注意到可以互换的部分，而且，常常值得我们用同样的方式来处理那些起相同作用的部分.”数学教育家G.波利亚的这句话至少表明了对称性可以使问题的解决事半功倍. 因此，在设计运算思路时，应该选取能体现对称性的几何对象作为运算对象，表征运算对象的代数式也要尽可能地保留结构上的对称性. 这才符合G.波利亚所教的“对称的东西要尽量对称地去处理，不要随意破坏任何自然的对称性”的解题原则.

对称是体现数学美的主要方式，通过教学有意识地引导学生去感悟和体验对称美，既可以培养学生的审美情趣，又能用对称思想潜移默化地熏陶学生. 长此以往，学生会用对称的眼光观察数学对象，用对称的思想分析数学问题，这样不仅有利于发现简洁的解答，也可以促使学生对数学的理解更加深刻、透彻.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］张兵源. 数学运算素养培养的探索与思考［J］. 数学通报，2023，62（2）：9-13.

［4］李昌. 选择运算对象  突破运算障碍：以一道圆锥曲线试题为例［J］. 中学教研（数学），2023（4）：16-19.

［5］章建跃. 数学的思维方式与核心素养（之五）［J］. 中小学数学（高中版），2018（12）：66.

［6］波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法［M］. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技出版社，2002.