经历过程 提升素养

徐黄娟

［摘  要］ 在新课改的推动下，数学教学逐渐走出了“重知识轻能力”的误区. 教学中，教师通过设计探究性问题引导学生积极思考、主动建构，在深刻理解知识的同时，逐渐将知识内化为能力. 文章以“十字相乘法”教学为例，从“数”“式”通性出发，让学生通过经历类比、归纳、转化等过程建立十字相乘模型，以此促进学生学习品质的提升和数学核心素养的落实.

［关键词］ 通性；过程；数学素养

初中数学教学中，教师逐渐改变“以讲代学”“以练代思”的低效教学模式，转而为学生提供一个开放、自由的探究空间，让学生亲历知识的形成过程，进而将知识、技能逐渐内化为能力，提高学生的数学素养. 笔者在教学“十字相乘法”时，在教学设计和教学实施中坚持以生为本的教育理念，重视学生思考、探究、交流等综合能力的培养，取得了较好的教学效果. 现将教学过程呈现给同仁，若有不足，请指正！

教学分析

“十字相乘法”是因式分解的重要方法之一，其在解一元二次方程或一元高次方程中有着重要的应用. 在学习本课内容前，学生已经理解并掌握整式乘法，教学中应重视引导学生关注因式分解与整式乘法的相互关系，让学生通过经历观察、对比、归纳、运用等过程理解“十字相乘法”的算法，明晰“十字相乘法”的算理，提高学生数学推理、数学抽象等素养.

教学简录

1. 数式类比，发现算法

活动1：如图1，结合23×12的竖式乘法经验，尝试用竖式乘法计算（2x+3）（x+2）.

学生活动：教师预留时间让学生思考、模仿，学生给出竖式计算过程（如图2）.

追问1：图2的计算过程是否成立呢？该如何验证呢？

学生活动：运用多项式乘法法则验证，即（2x+3）（x+2）=2x2+4x+3x+6=2x2+7x+6，由此验证图2中计算结果是正确的.

追问2：在计算两个两位数相乘时，是否可以运用多项式乘法法则呢？

学生活动：学生通过拆分得到如下计算过程，23×12=（20+3）×（10+2）=200+40+30+6=276，由此验证运用多项式的乘法法则可以计算两个两位数相乘.

【练习1】  用竖式完成下列多项式的计算：①（2x-3）×（x+2）；②（2x-5）（3x+2）.

教学说明  从学生熟悉的数的竖式乘法开始，引导学生通过经历猜想、验证、解释等过程感知用竖式计算多项式的乘法是科学的、合理的. 同时，通过追问让学生将数的运算与式的运算建立联系，从而将数的运算法则及运算律推广至式的运算中，体会数与式之间的内在联系，逐渐建构完善的认知体系.

2. 观察思考，提炼算法

教师投影展示学生的计算结果（如图3），并让学生思考如下问题：

问题1：积的二次项系数和积的常数项是如何得到的呢？

学生活动：学生通过观察、交流等活动发现其二次项系数为两个因式中一次项系数之积，而常数项为两个因式中常数项之积.

问题2：积的一次项系数又是如何得到的呢？

师生活动：为了便于观察，教师将两个因式中的字母略去，让学生将目光聚焦在系数上，由此发现积的一次项系数是两个因式中一次项系数和常数项交叉相乘再相加得到的. 为了让学生进一步体会“交叉相乘，再相加”的关系，在教师的引导下，学生得到了如图4所示的简图. 在此基础上，教师将简图进一步简化，给出图5.

问题3：如果让你写出（ax+b）·（ax+b）的一次项系数，你会吗？

师生活动：学生结合刚刚的研究经验给出图6. 在此基础上，教师让学生利用多项式乘法法则进行计算，进一步验证该方法的正确性、合理性. 接下来师生共同归纳，形成“十字相乘法”的算法.

【练习2】  利用“十字相乘法”填空：

（1）（x-3）（x+4）=（    ）x2+（    ）x+（    ）；

（2）（2a-3）（3a-4）=（    ）a2+（    ）·a+（    ）；

（3）（5x-3y）（2x+4y）=（    ）x2+（    ）xy+（    ）y2.

教学说明  引导学生观察两个因式中一次项系数、常数项与两个因式之积中二次项系数、一次项系数和常数项之间的对应关系，由此通过亲身经历“十字相乘法”的形成过程、深化对“十字相乘法”的理解，为接下来应用“十字相乘法”解題打下坚实的基础.

3. 深入探索，领悟算法

活动2：已知x2+mx+10=（x+___）（x+___），那么整数m可能是何值？

师生活动：为了降低问题的难度，教师先让学生在横线上分别写出可能出现的值. 学生根据乘法法则，得到横线上可以填的值如下：①1，10；②2，5；③-1，-10；④-2，-5. 由此根据“十字相乘法”得到整数m可能为11，7，-11，-7.

问题1：m的值与什么有关呢？

学生活动：学生通过观察发现m的值与常数项的分解有关.

追问1：4x2+mx+10=（___+2）（___+5）中的整数m为何值，它又与什么有关呢？

学生活动：在以上活动的基础上，学生将二次项系数分解，然后在横线上填上对应单项式，分别给出对应的m值，由此知晓m的值与二次项系数的分解有关.

教学说明  通过探究性活动让学生自己去感悟、去发现，让学生理解待分解的二次三项式中一次项系数与二次项系数和常数项之间的联系，从而为接下来的应用奠定基础.

4. 例题示范，运用算法

例1  利用“十字相乘法”分解因式：

（1）x2+5x-14；（2）2a2-11a+15.

师生活动：教师给出问题（1）的解答过程，并给出简图示范（如图7）.  教师让学生独立完成问题（2），通过具体操作让学生理解并掌握“十字相乘法”的应用，形成解题规范.

设问：对于二次三项式，若想利用“十字相乘法”来分解，其二次项系数和常数项分解需要满足什么条件呢？

师生活动：师生交流后归纳，在二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中，若a= aa，c=cc，ac+ac=b，则ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

追问1：对于形如x2-9，x2-4x+4这样的平方差公式和完全平方式，是否可以利用“十字相乘法”分解呢？

追问2：通过以上应用，你有哪些心得体会？

学生活动：学生利用十字相乘法分解了x2-9和x2-4x+4这两个多项式，可见，“十字相乘法”同样适用于平方差公式和完全平方式. 学生交流利用“十字相乘法”的心得体会，体验“十字相乘法”的便捷性、局限性，形成完善的认知.

【练习3】  分解因式：

（1）x2+3x+2；（2）m2-7m-8；

（3）6x2-13xy-28y2；（4）2x2+x-15.

教学说明  在数学教学中，例题教学是必不可少的，它是联系知识、技能、思想和方法的桥梁. 通过前面的学习，学生对“十字相乘法”已经有了清晰的认识，而对如何完成解答还存在一定的困惑，教师充分发挥例题的示范功能，让学生有样可模，有范可仿，形成解题规范，增强解题效果. 在此环节，教师让学生交流自己的心得体会，旨在通过有效交流进一步强化学生对“十字相乘法”的理解. 同时通过交流与感悟，学生发现十字相乘法不是万能的，其具有一定的局限性，继而为接下来继续学习其他方法进行因式分解埋下伏笔.

5. 课堂小结，重构体系

问题1：本课学习中你有哪些收获？有何感想？

师生活动：该环节主要以生生交流为主，通过对学习过程和内容的回顾，深化知识理解，让学生将“十字相乘法”纳入因式分解体系中，以此通过认知体系的完善与重构，发展学生学习能力，提升学生数学素养.

教学思考

1. 搭建“数”与“式”沟通的桥梁

初中生有着丰富的研究数的经验，教师要引导学生用数学的眼光去观察，用数学的思维去研究代数式，以此有效搭建“数”与“式”沟通的桥梁，让学生体会类比和归纳等思想方法的重要应用价值，提高学生发现问题和解决问题的能力. 在本课教学中，为了让学生更好地理解和掌握“十字相乘法”，教师引导学生将数的竖式计算经验迁移至两个同字母的一次二项式相乘中，激活了学生的思维，提高了学生参与课堂的积极性.

2. 重视经历知识形成过程

在传统教学中，教师习惯直接将算法教给学生，然后通过大量机械练习让学生巩固强化，这样学生可以通过模仿和套用解决问题，但是学生的运算能力依然停留在技能层面，不利于学生运算能力的发展与提升. 因此，在计算教学中，教师应尽量少一些机械的练习，帶领学生经历“理解算理—探究算法—活用算法”等过程，以此让学生将知识与技能逐渐内化为能力，有效提高学生的运算水平. 在本课教学中，在理解“十字相乘法”的算理时，教师通过“数”与“式”的沟通与转化，让学生理解其算理即为多项式乘法法则. 又如，在运用十字相乘法分解因式时，通过探索“m值与何有关”，让学生理解“十字相乘法”的本质就是乘法分配律的另一种形态. 这样通过经历过程，学生不仅掌握了算法，明晰了算理，而且能够灵活应用算法解决问题，切实提高了学生的综合计算能力.

总之，在数学教学中，教师要引导学生关注知识之间的内在联系，重视培养学生的全局观念和整体意识的发展. 同时，教师在教学中应多带领学生经历知识形成和发展的过程，通过探究性学习来发展学生能力，提升学生素养.