(n，d)-（Ext）-phantom 态射与 (n，d)-环*

余君丽， 张春霞

重庆师范大学数学科学学院， 重庆 401331

贯穿全文，R是含单位元的结合环，模均指酉模.我们用R-Mod 与 Mod-R分别表示左，右R-模范畴.Hom(M，N) 与M⊗N分别指 HomR(M，N) 与M⊗RN，类似的解释对导出函子 Exti(M，N) 与 Tori(M，N) 亦适用.记模M的示性模 HomZ(M，Q/Z) 为M+.idM、pdM与 fdM分别表示M的内射、投射与平坦维数.wD(R) 表示环R的弱整体维数.

设n，d是非负整数.称右R-模F是有限n-表示的（Costa，1994），如果存在右R-模的正合序列

使得每个Pi是有限生成自由模或有限生成投射模（i= 0，1，…，n）.显然，当n' ＞n时，任意有限n'-表示R-模是有限n-表示的.称R是右n-凝聚环，如果每个有限n-表示右R-模是有限 (n+ 1)-表示的.特别地，1-凝聚环即凝聚环，0-凝聚环为诺特环.称右R-模M为 (n，d)-内射模，如果对任意有限n-表示右R-模F，有 Extd+1(F，M) = 0 （Zhou，2004）.显然(0，0)-内射，(1，0)-内射，(n，0)-内射，(0，d)-内射模分别是大家熟知的内射，FP-内射（Stenström，1970），FPn-内射（Bravo et al.，2017），内射维数不大于d的模.称左R-模N是 (n，d)-平坦的，如果对任意有限n-表示右R-模F，有Tord+1(F，N) = 0 （Zhou，2004）.

众所周知，R是右诺特环当且仅当任意右R-模存在内射（预）覆盖（Enochs et al.，2000， 定理 5.4.1）.Pinzon（2008）证明了在右凝聚环上，任意右R-模存在(1，0)-内射（预）覆盖.近来，Li et al.（2014）证明了在右n-凝聚环上，任意右R-模存在(n，d)-内射（预）覆盖.另一方面，Mao et al.（2006）证明了在任意环上，(n，d)-内射模类是（预）包络类.

理想逼近理论是近年来由 Fu et al.（2013）创建起来的理论.称双函子HomR(·，·) ：R-Modop×RMod →Ab的加法子双函子为R-Mod 的一个理想（ideal） I.理想逼近理论是对经典逼近理论（覆盖与包络理论）的推广.作为理想的一个重要例子即所谓的 phantom 态射理想，它是平坦模的态射版本.任意结合环R上的 phantom 态射是由 Herzog（2007）引入的.称R-Mod 中的态射f：M→N是 phantom 态射，如果对每个（有限表示）右R-模A，诱导态射 Tor1(A，f)：Tor1(A，M) →Tor1(A，N) 是 0.类似地，称 Mod-R中的态射g：M→N为 Ext-phantom 态射（Herzog，2008），如果对每个有限表示右R-模B，诱导态射Ext1(B，g)：Ext1(B，M) →Ext1(B，N) 是 0.Herzog（2007）与 Mao （2013）分别证明了任意模存在 phantom 覆盖与Ext-phantom 预包络.Mao（2016）证明了在凝聚环上， 任意模存在 phantom 预包络与 Ext-phantom覆盖.

受以上思想启发， 本文第一部分引入(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射的概念，它们分别是(n，d)-平坦模与(n，d)-内射模的态射版本.自然要问：(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射在什么条件下是（预）覆盖类与（预）包络类？为此我们得到以下结论：（i）R-Mod 中任意模存在(n，d)-phantom 覆盖；（ii） 当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环，或者当d+ 1 ＜n时，R-Mod 中任意模存在(n，d)-phantom（预）包络；（iii） 当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环，或者当d+ 1 ＜n时，Mod-R中任意模存在(n，d)-Ext-phantom覆盖与(n，d)-Ext-phantom 预包络.

作为应用，本文第二部分利用(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射给出了右(n，d)-环，右n-遗传环与右n-正则环的一系列新刻画，这些刻画推广了已有文献中的相关结论.

1 (n，d)-phantom 覆盖（包络）与(n，d)-Ext-phantom 包络（覆盖）

对非负整数n，Costa（1994）在任意环上引入了以下概念.

定义 1称右R-模F是有限n-表示的，若存在 Mod-R中的正合序列

使得每个Pi是有限生成投射模（i= 0，1，…，n）.

用FPn表示有限n-表示右R-模类.则FP0为有限生成右R-模类，FP1为有限表示右R-模类.并且由定义可得以下模类之间的包含降链

众所周知，R是右诺特环当且仅当任意有限生成右R-模是有限表示的，即 FP0⊆FP1.对凝聚环也有类似刻画：R是右凝聚环当且仅当 FP1⊆FP2（Bravo et al.， 2017， 命题 2.1）.自然地就有以下n-凝聚环的概念.

定义 2称环R是右n-凝聚环，如果 FPn⊆FPn+1.

由此看出右 0-凝聚环即右诺特环，右 1-凝聚环即右凝聚环.Bravo et al.（2019）的注 3.10指出，若R是右n-凝聚环，则对任意k≥n，它也是右k-凝聚环.如果用n-Coh 表示所有右n-凝聚环的类，则可得以下升链：

以下结论引用自Bravo et al.（2017）的定理 3.4与Zhou（2004）的命题 3.1，并将在文中频繁用到.

引理 1(i) 设M是右R-模，N是(R，R)-双模.若I是内射右R-模，则对所有i≥0，存在同构

特别地，有

(ii) 设右R-模F∈FPn，N是(R，R)-双模.若I是内射左R-模，则对所有i≥1，同构式

在以下条件之一时成立.

a) 当i≥n时，R是右n-凝聚环.

b) 当i＜n时，R是任意环.

注意到如果F是有限n-表示模，那么引理 1（ii）中的同构式对 1 ≤i≤n- 1 在任意环上都成立.由此提供了在任意环上只需考虑有限n-表示模（n＞1）的依据.

定义 3设n，d是非负整数且n≥1.

(i) 称R-Mod 中的态射f：M→N是(n，d)-phantom 态射，如果对任意有限n-表示右R-模F，其诱导的 Abel 群的态射 Tord+1(F，f)：Tord+1(F，M) →Tord+1(F，N) 是 0.

（ii） 称 Mod-R中的态射g：M→N是(n，d)-Ext-phantom 态射，如果对任意有限n-表示右R-模F，其诱导的 Abel 群的态射 Extd+1(F，g)：Extd+1(F，M) →Extd+1(F，N) 是 0.

以下均假设n，d是非负整数且n≥1.

注 1(i) 显然，(1，0)-phantom 态射即 Herzog（2007）定义的 phantom 态射；(1，0)-Ext-phantom 态射即Herzog（2008）定义的 Ext-phantom 态射.

(ii) 若d+ 1 =n，则(1，d)-phantom 态射与(1，d)-Ext-phantom 态射分别为n-phantom 态射与n-Extphantom 态射，参见文献（Mao，2018，2019；Lan et al.，2021）.

(iii) 易证(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射分别是R-Mod 与 Mod-R的理想.

命题 1设R是右n-凝聚环.

(i) 若R-Mod 中的态射f：M→N是(n，d)-phantom 态射，则对任意d' ＞d，f也是(n，d')-phantom态射.

(ii) 若 Mod-R中的态射g：M→N是(n，d)-Ext-phantom 态射，则对任意d' ＞d，g也是(n，d')-Extphantom 态射.

证明对任意有限n-表示右R-模F，由于R是右n-凝聚环，由 Zhu（2011）的定理 2.1，存在正合序列

使得P是有限生成投射模且K是有限n-表示的.则

（i） 由正合序列（1）诱导出行正合的交换图

由此可得 Tord+2(F，f) = 0.由归纳法可知对任意d'＞d，f是(n，d')-phantom 态射.

（ii） 由正合序列（1）诱导出行正合的交换图

由此可得 Extd+2(F，g) = 0.由归纳法可知对任意d'＞d，g是(n，d')-Ext-phantom 态射.

以下结论揭示了(n，d)-phantom 态射与(n，d)-Ext-phantom 态射之间的关系.

命题 2(i)R-Mod 中的态射f：M→N是(n，d)-phantom 态射当且仅当f+：N+→M+是 Mod-R中的(n，d)-Ext-phantom 态射.

(ii) Mod-R中的态射g：M→N是(n，d)-Ext-phantom 态射当且仅当在以下条件之一下，g+：N+→M+是R-Mod 中的(n，d)-phantom 态射：

a) 当d+ 1 ≥n时，R是右n-凝聚环.

b) 当d+ 1 ＜n时，R是任意环.

证明（i） 对任意有限n-表示右R-模A，考虑以下交换图

由引理1（i）知上图中的α与β均为同构.于是 Tord+1(A，f) = 0 当且仅当 Tord+1(A，f)+= 0 当且仅当Extd+1(A，f+) = 0.所以f是(n，d)-phantom 态射当且仅当f+是(n，d)-Ext-phantom 态射.

（ii） 对任意有限n-表示右R-模B，考虑以下交换图

由引理1（ii）知上图中的φ与ψ在以上两条件之一下均为同构.则 Extd+1(B，g) = 0 当且仅当Extd+1(B，g)+= 0 当且仅当 Tord+1(B，g+) = 0.所以g是(n，d)-Ext-phantom 态射当且仅当g+是(n，d)-phan‐tom 态射.

令R-Mor 是左R-模态射范畴：此范畴中的对象是左R-模态射，此范畴中的态射是从左R-模态射到左R-模态射的左R-模态射对子且使得tf=gs.设 C 是一个有直积的局部有限表示加法范畴.若它的一个全子范畴 D 关于直积，正向极限，纯子对象封闭，则称 D 为可定义子范畴（Crawley-Boevey， 1994；Crivei et al.， 2010）.众所周知左R-模态射范畴R-Mor 是局部有限表示Grothendieck 范畴.以下我们讨论在什么条件下全子范畴(n，d)-phantom 态射与 (n，d)-Ext-phantom 态射是可定义子范畴.为此，先给出(n，d)-phantom 态射与(n，d)-Ext-phantom 态射的一些封闭性性质.

引理 2考虑以下纯正合行的交换图

(i) 若φ是R-Mod 中的(n，d)-phantom 态射，则ψ与γ亦是.

(ii) 若φ是 Mod-R中的(n，d)-Ext-phantom 态射，则在以下条件之一下ψ与γ亦是(n，d)-Ext-phantom态射.

a) 当d+ 1 ≥n时，R是右n-凝聚环.

b) 当d+ 1 ＜n时，R是任意环.

证明由交换图（2）可诱导出如下行可裂正合的交换图

（i）首先由命题2（i）知φ+是 Mod-R中的(n，d)-Ext-phantom 态射.所以对任意有限n-表示右R-模A，有

由于 Extd+1(A，) 是满态射，所以 Extd+1(A，ψ+) = 0.因此ψ+是(n，d)-Ext-phantom 态射，再次由命题2（i）知ψ是(n，d)-phantom 态射.

另一方面，由以上交换图还可得

而 Extd+1(A，) 是单态射，所以 Extd+1(A，γ+) = 0.因此γ+是(n，d)-Ext-phantom 态射，则由命题2（i） 知γ是(n，d)-phantom 态射.

（ii）由命题2（ii）知φ+是R-Mod 中的(n，d)-phantom 态射.所以对任意有限n-表示右R-模B，有

由于 Tord+1(B，)是满态射，所以Tord+1(B，ψ+) = 0.因此ψ+是(n，d)-phantom 态射，再次由命题 2（ii）知ψ是(n，d)-Ext-phantom 态射.

另外，还可得到

又 Tord+1() 是单态射，所以 Tord+1(B，γ+) = 0.于是γ+是(n，d)-phantom 态射，由命题2（ii）知γ是(n，d)-Ext-phantom 态射.

引理 3(i)R-Mor 中(n，d)-phantom 态射类关于正向极限封闭；Mor-R中(n，d)-Ext-phantom 态射类关于直积封闭.

(ii) 当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环，或当d+ 1 ＜n时，R-Mor 中(n，d)-phantom 态射类关于直积封闭且 Mor-R中(n，d) -Ext-phantom 态射类关于正向极限封闭.

证明（i）设{fij：Mi→Mj}i≤j∈I与 {gij：Ni→Nj}i≤j∈I是R-Mod 中的两族正向系，(τi：Mi→Ni)i∈I是它们之间的态射，且每个τi：Mi→Ni是(n，d)-phantom 态射.令是其诱导的态射.则对任意有限n-表示右R-模A，有如下交换图

由于 Πi∈IExtd+1(B，fi) = 0，所以 Extd+1(B，Πi∈I fi) = 0.因此 Πi∈I fi：Πi∈IMi→Πi∈INi是(n，d)-Extphantom 态射.

（ii） 设 (fi：Mi→Ni)i∈I是R-Mor 中的一族(n，d)-phantom 态射，Πi∈I fi：Πi∈IMi→Πi∈INi是其诱导的态射.则对任意有限n-表示右R-模A，根据 Zhou（2004）的 命题 3.1，可得以下交换图

由于Πi∈ITord+1(A，fi) = 0，所以 Tord+1(A，Πi∈I fi) = 0.因此 Πi∈I fi：Πi∈IMi→Πi∈INi是(n，d)-phan‐tom 态射.

最后设 {fij：Mi→Mj}i≤j∈I与 {gij：Ni→Nj}i≤j∈I是 Mod-R中的两族正向系，(τi：Mi→Ni)i∈I是它们之间的态射，且每个τi：Mi→Ni是(n，d)-Ext-phantom 态射.令是其诱导的态射.则对任意有限n-表示右R-模B，根据 Zhou（2004）的命题 3.1，可得以下交换图

结合引理2～3与 Mao（2016）的注 2.3，可得以下结论.

命题3当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环， 或当d+ 1 ＜n时，R-Mor 的全子范畴(n，d)-phantom 态射与 Mor-R的全子范畴(n，d)-Ext-phantom 态射均为可定义子范畴.

以下结论揭示了态射的(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射的预覆盖与预包络的存在性.

定理 1(i)R-Mor 中任意左R-模态射存在(n，d)-phantom 覆盖.

(ii) 当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环， 或当d+ 1 ＜n时，R-Mor 中任意左R-模态射存在(n，d)-phan‐tom 预包络.

(iii) 当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环，或当d+ 1 ＜n时，Mor-R中任意右R-模态射存在(n，d)-Extphantom 覆盖与(n，d)-Ext-phantom 预包络.

证明（i）一方面由引理3（i）知R-Mor 中(n，d)-phantom 态射类关于正向极限封闭，另一方面由引理2（i）与 Mao（2016）的注 2.3 知(n，d)-phantom 态射类关于纯的满同态像封闭.所以由 Crivei et al.（2010）的定理 2.6知R-Mor 中每个左R-模态射存在(n，d)-phantom 覆盖.

（ii） 由引理3（ii）知R-Mor 中(n，d)-phantom 态射类关于直积封闭，且由引理2（i）与Mao（2016）的注2.3 知(n，d)-phantom 态射类关于纯子对象封闭，所以由 Crivei et al.（2010）的定理 4.1，R-Mor 中每个左R-模态射存在(n，d)-phantom 预包络.

（iii） 的证明类似于（i）与（ii）.

在理想逼近理论中，Fu et al.（2013）给出了模的相对于理想的覆盖与包络的概念.设 I 是R-Mod 的一个理想.称 I 中的态射ϕ：M→N是N的 I-预覆盖，如果对 I 中任意态射ψ：C→N，存在态射θ：C→M使得ϕθ=ψ.一个 I-预覆盖ϕ：M→N称为 I-覆盖，如果使得ϕh=ϕ的M的自态射h是同构.对偶地，可定义 I-预包络与 I-包络的概念.如果在定理 1 中令 I 分别为(n，d)-phantom 与(n，d)-Extphantom 态射类，则可得以下结论.

推论1(i)R-Mod 中任意左R-模存在(n，d)-phantom 覆盖.

(ii) 当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环，或当d+ 1 ＜n时，R-Mod 中任意左R-模存在(n，d)-phantom 预包络.

(iii) 当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环，或当d+ 1 ＜n时，Mod-R中任意右R-模存在(n，d)-Ext-phan‐tom 覆盖与(n，d)-Ext-phantom 预包络.

2 (n，d)-phantom与(n，d)-Ext-phantom 态射的应用

称右R-模M是(n，d)-内射模，如果对任意有限n-表示右R-模F，有 Extd+1(F，M) = 0.称左R-模N是(n，d)-平坦模， 如果对任意有限n-表示右R-模F，有Tord+1(F，N) = 0（Zhou，2004）.显然，M是(0，0)-内射模（(1，0)-内射模，(1，0)-平坦模）当且仅当M是内射模（FP-内射模， 平坦模）；M是(n，0)-内射模（(n，0)-平坦模）当且仅当M是 FPn-内射模（FPn-平坦模） （Bravo， 2017）；M是(0，d) -内射模（(1，d)-平坦模）当且仅当idM≤d（fdM≤d）.对给定的非负整数d及所有n' ≥n，有(n，d)-内射模（(n，d)-平坦模）是(n'，d)-内射模（(n'，d)-平坦模）.

根据 Zhu（2011；2018），R-模M的(n，0)-内射维数与(n，0)-平坦维数分别定义为

环R的右(n，0)-内射整体维数与左(n，0)-弱维数分别定义为

首先由引理1 可得如下结论.

引理 4当d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚环，或当d+ 1 ＜n时，以下整数相等：

(i)l.(n，0) -wD(R).

(ii)r.(n，0) -ID(R).

(iii) sup{pd(FR)|FR∈FPn}.

称环R是右(n，d)-环，如果任意有限n-表示右R-模的投射维数不超过d；称环R是右弱(n，d)-环，如果任意有限n-表示右R-模的平坦维数不超过d（Zhou，2004）.易证若n≤n' 以及d≤d'，则任意右（弱）(n，d)-环是右（弱）(n'，d')-环.

由Zhou（2004）的命题 2.6知，（i）R是右(n，d)-环当且仅当所有右R-模是(n，d)-内射模；（ii）R是右弱(n，d)-环当且仅当所有 左R-模是(n，d)-平坦模；（iii） 若R是右(n，d)-环，则R是右弱(n，d)- 环.并且当d+ 1 ≤n时，反之亦成立.特别地，若R是右n-凝聚环，则R是右(n，d)-环当且仅当R是右弱(n，d)-环.以下结论推广了Mao（2018）的命题 2.7.

定理2设R是环.则

(i)R是右(n，d)-环当且仅当 Mod-R中的任意态射是(n，d)-Ext-phantom 态射.

(ii)R是右弱(n，d)-环当且仅当R-Mod 中的任意态射是(n，d)-phantom 态射.从而， 当d+ 1 ≤n或R是右n-凝聚环时，以上条件等价.

证明（i） “ ⇒".设f：M→N是 Mod-R中的任意态射.由于对任意有限n-表示右R-模A，有Extd+1(A，M) = Extd+1(A，N) = 0.所以f是(n，d)-Ext-phantom 态射.

“ ⇐".设A是任意有限n-表示右R-模.对任意右R-模M，由于恒等态射M→M是(n，d)-Ext-phan‐tom 态射，从而其诱导的恒等态射 Extd+1(A，M) →Extd+1(A，M) 是 0，于是 Extd+1(A，M) = 0，即 pdA≤d.因此R是右(n，d)-环.

（ii） “ ⇒".设g：M→N是R-Mod 中的任意态射.由于对任意有限n-表示右R-模B，有Tord+1(B，M) = Tord+1(B，N) = 0.所以g是(n，d)-phantom 态射.

“ ⇐".设B是任意有限n-表示右R-模.对任意左R-模M，由于恒等态射 Tord+1(B，M) →Tord+1(B，M)是 0，于是 Tord+1(B，M) = 0，即 fdB≤d.因此R是右弱(n，d)-环.

最后的结论由（i），（ii）与 Zhou（2004）的命题 2.6得到.

众所周知，左R-模态射范畴R-Mor 是局部有限表示 Grothendieck 范畴.R-Mor 中的态射f：E1→E2是内射的当且仅当E1与E2是内射左R-模且f是可裂满同态.R-Mor 中的态射g：P1→P2是投射的当且仅当P1与P2是投射左R-模且g是可裂单同态.R-Mor 中的态射h：F1→F2是平坦的当且仅当它是投射态射的正向极限，等价于F1与F2是平坦左R-模且h是纯的单同态（Enochs et al.， 2002）.

命题4设R是环且d＞0.对R-Mod 中的态射f：M→N，以下条件等价：

(i)f是(n，d)-phantom 态射.

(ii) 在R-Mor 中的任意正合序列 0 →kd→fd-1→… →f1→f0→f→0 中，每个fi是平坦的且kd是(n，0)-phantom 态射.

(iii) 在R-Mor 中的任意正合序列 0 →kd→pd-1→… →p1→p0→f→0 中，每个pi是投射的且kd是(n，0)-phantom 态射.

(iv) 存在R-Mor 中的正合序列 0 →kd→pd-1→… →p1→p0→f→0，使得每个pi是投射的且kd是(n，0)-phantom 态射.

(v) 存在R-Mor 中的正合序列 0 →kd→fd-1→… →f1→f0→f→0，使得每个fi是平坦的且kd是(n，0)-phantom 态射.

证明(i) ⇒(ii).考虑R-Mor 中任意正合序列

其中每个fi：Fi→F'i是平坦态射（i= 0，1，…，d- 1），即每个fi是纯的单同态且Fi，F'i是平坦左R-模.对任意有限n-表示右R-模A，由（i）知 Tord+1(A，f) = 0.令ki：Ki→K'i是fi-1→fi-2的核，其中i=1，2，…，d- 1，且f-1=f.则有如下行正合的交换图：

由此得 Tord(A，k1) = 0.继续此过程可得kd是(n，0)-phantom 态射.

(ii) ⇒(iii) ⇒(iv) ⇒(v) 显然.

(v) ⇒(i).由（v），存在R-Mor 中的正合序列

其中每个qi：Qi→Q'i是平坦态射（i= 0，1，…，d- 1），且kd：Kd→K'd是(n，0)-phantom 态射.所以对任意有限n-表示右R-模A，有 Tor1(A，kd) = 0.

令ki：Ki→K'i是qi-1→qi-2的核，其中i= 1，2，…，d- 1，且q-1=f.考虑如下行正合的交换图

则 Tor2(A，kd-1) = 0.继续此过程可得 Tord+1(A，f) = 0，故f是(n，d)-phantom 态射.

命题5设R是环且d＞0.对 Mod-R中的态射g：M→N，以下条件等价：

(i)g是(n，d)-Ext-phantom 态射.

(ii) 在 Mor-R中的任意正合序列 0 →g→e0→e1→… →ed-1→ld→0 中，每个ei是内射的且ld是(n，0)-Ext-phantom 态射.

(iii) 存在 Mor-R中的正合序列 0 →g→e0→e1→… →ed-1→ld→0，使得每个ei是内射的且ld是(n，0)-Ext-phantom 态射.

证明(i) ⇒(ii).考虑 Mor-R中任意正合序列

其中每个ei：Ei→是内射态射（i= 0，1，…，d- 1）.对任意有限n-表示右R-模B，由（i）知Extd+1(B，g) = 0.令li：Li→是ei-2→ei-1的余核，其中i= 1，2，…，d- 1，e-1=g.则有如下行正合的交换图

由此得 Extd(B，l1) = 0.继续此过程可得ld是(n，0)-Ext-phantom 态射.

(ii) ⇒(iii) 显然.

(iii) ⇒(i).由（iii）知，存在 Mor-R中的正合序列

其中每个ωi是内射态射且td是(n，0)-Ext-phantom 态射.所以对任意有限n-表示右R-模B， 有Ext1(B，td) = 0.

令ti：Ti→T͂i是ωi-2→ωi-1的余核，其中i= 1，2，…，d- 1，ω-1=g.考虑如下行正合的交换图

则Ext2(B，td-1) = 0.继续此过程可得Extd+1(B，g) = 0，故g是(n，d)-Ext-phantom态射.

由Li et al.（2014）的定理 4.1 知，R是右(n，d)-环当且仅当R是右n-凝聚环，RR是(n，d)-内射模，且右(n，d)-内射R-模的商模是(n，d)-内射的.这里我们有如下结论：

定理3设R是环.

(i)R是右(n，d+ 1)-环当且仅当Mor-R中(n，d)-Ext-phantom态射的商态射是(n，d)-Ext-phantom态射.

(ii)R是右弱(n，d+ 1)-环当且仅当R-Mor中(n，d)-phantom态射的子态射是(n，d)-phantom态射.

证明（i）“ ⇒".设f是Mor-R中(n，d)-Ext-phantom 态射e的商.则存在Mor-R中的正合序列0 →h→e→f→0.由于R是右(n，d+ 1)-环，由定理2 知h是(n，d+ 1)-Ext-phantom 态射.所以对任意有限n-表示右R-模A，由长正合序列可得 Extd+1(A，f) ≅Extd+2(A，h) = 0.故f是(n，d)-Ext-phantom 态射.

“ ⇐".对 Mor-R中的任意态射f，存在正合序列 0 →f→e→c→0 使得e是内射态射.由此可得c是(n，d)-Ext-phantom 态射.由命题 5 知f是(n，d+ 1)-Ext-phantom 态射.因此由定理2 知R是右(n，d+ 1)-环.

（ii） “ ⇒".设g是R-Mor 中(n，d)-phantom 态射p的子态射.则存在R-Mor 中的正合序列0 →g→p→l→0.由于R是右弱(n，d+ 1)-环， 由定理 2 知l是(n，d+ 1)-phantom 态射.所以对任意有限n-表示右R-模B， 由长正合序列可得 Tord+1(B，g) ≅Tord+2(B，l) = 0.故g是(n，d)-phantom 态射.

“ ⇐".对R-Mor 中的任意态射g，存在正合序列 0 →k→p→g→0 使得p是投射态射.由此可得k是(n，d)-phantom 态射.由命题 4知g是(n，d+ 1)-phantom 态射.因此根据定理2，R是右弱(n，d+ 1)-环.

最后，我们用(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射的覆盖与包络给出右(n，d+ 1)-环的新刻画.定理4设R是右n-凝聚环且d+ 1 ≥n或R是任意环且d+ 1 ＜n.则以下条件等价：

(i)R是右(n，d+ 1)-环.

(ii) 任意左R-模存在满的(n，d)-phantom 包络.

(iii) 任意右R-模存在单的(n，d)-Ext-phantom 覆盖.

证明(i) ⇒(ii).由推论 1 知，任意左R- 模M存在(n，d)-phantom 预包络f：M→N.则存在满态射α：M→Im(f) 与嵌入态射λ：Im(f) →N使得f=λα.对任意有限n-表示右R-模A，由（i）与引理 4，正合序列 0 →Im(f)→λN→L→0 诱导出以下正合序列

则 Tord+1(A，λ) 是单态射.注意到 Tord+1(A，λ)Tord+1(A，α) = Tord+1(A，f) = 0，所以Tord+1(A，α) = 0， 即α是(n，d)-phantom 态射.易证α是满的(n，d)-phantom 包络.

(ii) ⇒(i).对任意左R-模M， 存在正合序列 0 →→M→0 使得P是投射模.由（ii），K存在满的(n，d)-phantom 包络φ：K→G.由于ι是(n，d)-phantom 态射，所以φ是单态射，从而φ是同构.于是对任意有限n-表示右R-模A，有 Tord+1(A，φ) = 0，故 Tord+1(A，K) = 0.即(n，0)-fd(K) ≤d，因此(n，0)-fd(M) ≤d+ 1.由引理 4知R是右(n，d+ 1)-环.

(i) ⇒(iii).由推论 1 知，任意右R-模M存在(n，d)-Ext-phantom 覆盖g：N→M.于是存在满态射β：N→Im(g) 与嵌入态射γ：Im(g) →M使得g=γβ.对任意有限n-表示右R-模B，由（i）与引理 4 知，正合序列 0 →K→→0 诱导出以下正合序列

所以 Extd+1(B，β) 是满态射.注意到 Extd+1(B，γ)Extd+1(B，β) = Extd+1(B，g) = 0，因此 Extd+1(B，γ) = 0，即γ是(n，d)-Ext-phantom 态射.易证γ是单的 (n，d)-Ext-phantom 覆盖.

(iii) ⇒(i).对任意右R-模N，存在正合序列 0 →N→→0 使得E是内射模.由（iii），L存在单的(n，d)-Ext-phantom 覆盖ψ：D→L.由于ρ是(n，d)-Ext-phantom 态射，所以ψ是满态射，从而ψ是同构.于是对任意有限n-表示右R-模B，有 Extd+1(B，ψ) = 0，故 Extd+1(B，L) = 0.即(n，0)-id(L) ≤d，因此(n，0)-id(N) ≤d+ 1.由引理 4知R是右(n，d+ 1)-环.

由注 1，当d+ 1 =n时，R-Mod 中的(1，d)-phantom 态射与 Mod-R中的(1，d)-Ext-phantom 态射分别是n-phantom 态射与n-Ext-phantom 态射（Mao， 2018； Mao， 2019；Lan et al.， 2021）.于是可得如下结论.

推论2（Mao，2018） 对右凝聚环R及n＞1，以下条件等价：

(i)wD(R) ≤n.

(ii) 任意左R-模存在满的n-phantom 包络.

(iii) 任意右R-模存在单的n-Ext-phantom 覆盖.

称环R是右n-遗传环，如果投射右R- 模的有限 (n- 1)-表示子模是投射的（Zhu，2011）.由 Zhu（2011）的定理 3.2知，R是右n-遗传环当且仅当R是右(n，1)-环.基于以上结论，可得如下推论.

推论3对任意环R，以下条件等价：

(i)R是右n-遗传环.

(ii)R-Mod 中的任意态射是(n，1)-phantom 态射.

(iii) Mod-R中的任意态射是(n，1)-Ext-phantom 态射.

(iv)R-Mor 中(n，0)-phantom 态射的子态射是(n，0)-phantom 态射.

(v) Mor-R中(n，0)-Ext-phantom 态射的商态射是(n，0)-Ext-phantom 态射.

(vi) 任意左R-模存在满的(n，0)-phantom 包络.

(vii) 任意右R-模存在单的(n，0)-Ext-phantom 覆盖.

称环R是右半遗传环（Lam，1999），如果任意有限生成右理想是投射的，等价于R是右凝聚环且wD(R) ≤1.由注1，R-Mod 中的(1，0)-phantom 态射是Herzog（2007）定义的 phantom 态射；Mod-R中的(1，0)-Ext-phantom 态射是文献 Herzog（2008）定义的 Ext-phantom 态射.于是可得如下结论.

推论4对右凝聚环R，以下条件等价：

(i)R是右半遗传环.

(ii) 任意左R-模存在满的 phantom 包络.

(iii) 任意右R-模存在单的 Ext-phantom 覆盖.

(iv)R-Mor 中 phantom 态射的子态射是 phantom 态射.

(v) Mor-R中 Ext-phantom 态射的商态射是 Ext-phantom 态射.

(vi)R-Mod 中的任意态射是 phantom 态射.

(vii) Mod-R中的任意态射是 Ext-phantom 态射.

称环R是右n-正则环（Zhu，2011），如果它是右(n，0)-环.则有如下推论.

推论5对任意环R，以下条件等价：

(i)R是右n-正则环.

(ii)R-Mod 中的任意态射是(n，0)-phantom 态射.

(iii) Mod-R中的任意态射是(n，0)-Ext-phantom 态射.

显然，R是右正则环当且仅当它是右 1-正则环.于是可得如下结论.

推论6对任意环R，以下条件等价：

(i)R是右正则环.

(ii)R-Mod 中的任意态射是 phantom 态射.

(iii) Mod-R中的任意态射是 Ext-phantom 态射.