仿射对称空间SU(1，2)/SO(1，2)上的Plancherel定理*

金四海， 范兴亚

新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017

李群表示理论是近现代分析学的主要研究领域之一，隶属于抽象调和分析范畴，是Fourier 级数和Fourier变换理论的深远推广，此方面的研究成果极大地推动了数学物理等相关学科的发展.悉知，酉表示中不可约表示的分解是李群表示理论研究的主要问题之一，目的是给出抽象的Plancherel公式，进而构造缠结算子来解决相关实际问题.在此分解中，离散谱的分解是一种极端的情况，此情况可以利用分析的工具来处理.基于此想法，本文在Hermitian型仿射对称空间上考虑其离散谱的具体构造.从几何结构方面来讲，Hermitian型仿射对称空间是伪黎曼对称空间，此空间隶属于半单对称空间，据此赋予了Hermite结构的齐性空间.20 世纪80 年代初，Flensted-Jensen（1980）系统地研究了半单对称空间上的离散序列表示，并得到离散序列表示存在的必要条件.Flensted-Jensen 的这一工作引起了许多表示论专家的关注，究其原因是此理论极大地继承并发展了Harish-Chandra的经典离散序列表示（Harish-Chandra，1965）.

近年来，Hermitian型仿射对称空间上的离散序列表示受到了国内外广大学者的关注.该领域主要关心的是Gelfand-Gindikin 问题（Gelfand et al.，1977）.最近，Delorme et al.（2021）研究了扭曲离散序列表示，此离散序列表示旨在给出Gelfand-Gindikin 问题的回答，主要的方法是通过Bersentan 态射来构造Plancherel公式.此方法简化了离散序列表示与主序列表示的复杂计算，主要判别工具是限制球根系是否为零向量空间，进而给出抽象的Plancherel公式.从理论方面来讲，此方法值得推广（韩威等，2023）.但是在Hermite情形下，Delorme et al.（2021）的方法不能具体的构造扭曲离散序列表示，究其原因是限制球根系对应的极大交换子空间是一个零向量空间.至于0-扭曲离散序列表示，可以通过'Olafsson et al.（1988）的缠结算子来构造此序列.

根据Flensted-Jensen（1980）提出的必要条件，容易判定Hermitian 对称空间SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上存在离散序列表示.但没有给出具体的形式，因此有必要去研究它的具体构造.基于'Olafsson et al.（1988）的思想，本文具体地构造缠结算子，进而展开研究SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上的离散序列表示，并在限制球根系上，找到了判别离散序列表示存在的一个新的等价条件.在Plancherel 公式中Plancherel 测度的计算是一个核心问题.在Duistermaat et al.（1979）的基础上，本文精确地计算了此具体情形下的Plancherel 测度，并得到了对应的Plancherel公式.

1 符号准备及主要引理

设SU( 1，2 )是SL( 3，C )的子群，此群保不定内积[z，z]= |z1|2- |z2|2- |z3|2，其中z=(z1，z2，z3) ∈C3.群SU( 1，2 )对应的李代数为su( 1，2 ).定义su( 1，2 )上的Cartan 对合为θ(X) = -X*，其中X*表示X的共轭转置.在此对合意义下， su( 1，2 )有Cartan 分解k⊕p， 其中k ={X∈su( 1，2) |θ(X)=X}， p ={X∈su( 1，2) |θ(X)= -X}.此外，在su( 1，2 )上引进另外一种对合τ(X) =Ẋ，其中Ẋ为X的共轭，则有相应的τ分解h⊕q，其中h ={X∈su( 1，2) |τ(X)=X}，q ={X∈su( 1，2) |τ(X)= -X}.易证θτ=τθ，结合此对合交换关系，得到su( 1，2 )关于θτ的正交分解

易证g+是su( 1，2 )的子空间，且对su( 1，2 )上的李括积运算封闭，则g+是su( 1，2 )的李子代数.设ap∩q是p ∩q的极大交换子空间，记作

注意，此处a的取法还有另外一种形式

此取法在下文计算根系时，所得根系与上面对应的结果一致，故此全文仅考虑第一种情形.

利用a在su( 1，2 )上的伴随作用，可得根系±2α与±α所对应的特征向量分别如下

令a*是a的对偶空间，定义SU( 1，2 )在a下的根系为

其中α∈a*且α(X) =t，X∈a.Σ(su(1，2)，a)的正根系为Σ+(su(1，2)，a) ={2α，α}.由根系的反射可得Weyl群，此群同构于对称群S2.

定义1设R是由{2α，α} 生成的半群，且R ⊂a*/{0}.设S={α}⊂R，定义压缩锥为

注 1设aE={X∈a|∀γ∈R，γ(X) = 0 }，利用定义1，可知aE= a-∩(-a-)≡{0}.值得一提的是，aE≡{0}为仿射对称空间SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上存在离散序列表示的必要条件，这是Harish-Chandra 定理（离散序列表示存在性定理）的推广.事实上，设â= a + aE= a.利用条件aE={0}，可知商空间â/a没有非平凡对偶，从而SU( 1，2 )/SO( 1，2 )中存在离散序列表示.这种离散序列表示称为0-扭曲离散序列表示（Krötz et al.，2020），此0-扭曲离散序列表示恰好对应的是SU( 1，2 )/SO( 1，2 )中的离散序列表示，具体见文献（Krötz et al.，2020）.结合Flensted-Jensen（1980）的定理1.1，只需验证条件：

此条件可根据SU( 1，2 )的极大环面的维数证实，从而SU( 1，2 )/SO( 1，2 )满足Flensted-Jensen条件.

引理1g+的根系为Σ( g+，a )={±α}，其对应的Weyl群同构于对称群S2.

证明由k，h，p和q的定义，可知

于是

的常数倍.利用上式，结合g+的定义，可知Σ( g+，a )={±α}.g+的Weyl群由根系Σ( g+，a )={±α}的反射组成，此群同构于对称群S2，引理证毕.

注2利用引理1，得到Σ( g+，a )的素根系为I={α}.定义aI≔{X∈a |α(X) = 0 }，易证aI={0}，此条件暗示了在限制根系意义下，SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上不存在非零扭曲离散序列表示.

2 主要结果

设n = n(Σ+(su( 1，2 )，a ))，定义P=LN为SU( 1，2 )中τθ不变的极小抛物子群，其中N= exp (n)，L是a在SU( 1，2 )上的中心化子，即

设L=MA，其中M是τ稳定子群，

定义2子群P诱导SU( 1，2 )的主序列表示定义为：

其中ρ为正根和的一半，σ是M的离散序列表示，λ∈ia*.

现具体构造M的离散序列表示，其记号为(σ，Vσ).

引理2M/(M∩H) ≃SU( 1,1) /SO( 1,1) ，其中H= SO( 1，2).

证明由于M是L的τ稳定子群，则M≃SU( 1，1).设

从而

引理证毕.

证明结合文献（Duistermaat et al.，1979），可知ia*上的Plancherel测度为

设ρ为Σ(g，a )的半根系，其中

利用正特征向量的重数，得到

从而

于是

现将c(λ)代入式（1），此命题得证.

定理1（Plancherel公式） 仿射对称空间Z= SU( 1, 2 )/SO( 1, 2 )上的Plancherel公式为

其中σ±n和dλ如上所述，F2r+4-|ν|见下文.

3 Plancherel公式的证明

首先构造定理1 中的离散序列表示部分.本部分的构造需要一些准备和技巧.提醒读者的是，如下所定义的符号和第2节定义的单位圆盘不同，因此空间的定义域和指标也不尽相同.

其中dz是Lebesgue测度，ν∈R.如果|ν| ＞2，|ν|∈Z+，定义Hilbert空间

特别地，如果 |ν|= 3，那么H3(B)是经典的Bergman空间.定义群SU( 1, 2 )在Hν(B)上的酉表示为

设(λ1，λ2)为2l的拆分，即(2l，0)，(2l- 1，1)，…，(l，l)共有l+ 1种取法.定义两个集合Λ+和Λ-满足

为了行文方便，分别记Λ+以及Λ-中的元素为λi1，λi2，其中i1，i2∈{1，2}且i1≠i2.

引理6（钟家庆，1989） 设l＞0，z1，z2∈C，则

其中

在引理6 中，函数S(λ1，λ2)(z1，z2)称为Schur 函数，具体实例见文献（钟家庆，1989）.定义Laplace-Beltrami 算子为

且

对于任意的z∈B，通过Laplace方程的正则化理论，我们可定义Hm(B)上的光滑闭子空间

这里

令m＞2且m∈2Z+，定义在B上的分布向量为

易证

结合表示π（ν见式（2）），可知v0(z)是一个SO( 1, 2 )-不变的分布向量.

命题3设Ap= exp ( ap)，对于任意的at∈Ap，有

证明设t∈R，且

利用式（2）～（3），可知

引理7对于任意g∈SU( 1, 2 )，有Cartan-Berger分解g=kah，其中k∈K，a∈Ap，h∈SO( 1, 2 ).

设x0=eSO( 1, 2 ).根据引理6、文献（'Olafsson et al.，1988），以及SU( 1，2 )/SO( 1，2 )=·x0， 有

其中dk是K上的规范Haar测度，且

定理2 设m＞2，则

证明 利用式（4），有

此外，对于Re(α) ＞-1且Re(β-α) ＞0，定义Beta函数

取α= 1，β=m- 1，有

利用Gamma函数的性质，可知m＞2，定理证毕.

由引理3，定理2，可得以下结果：

其中x∈SU( 1，2 )/SO( 1，2 ).根据文献（'Olafsson et al.，1988），容易得到空间

此空间关于SU( )1，2 的表示是不可约的.于是，对于k∈K，at∈Ap，存在一个非零复数c使得

其中χ为K的不可约特征标.

现只需证明Im1 ∈L2(SU( 1，2 )/SO( 1，2 )).为了证明这一事实，下文需要用到Bergmann 空间的一些结构，即循环向量的技术来表明此事实.悉知，常值函数1 在表示πm意义下是Hm(B)的循环向量，即对于任意的g∈SU( 1，2 )，πm(g)1 线性张成的空间在Hm(B)中稠密.对于1 ∈Hm(B)，利用式（3）、引理4 和定理3，可知m＞2 且m∈2Z+，即Fm的指标与Hm(B)的指标一致，可知Fm≃Hm(B).因为特征标函数χ(k)是一个类函数，从而Im1 ∈L2(SU( 1，2 )/SO( 1，2 ))，定理证毕.

归结起来，由引理6以及定理3，定理1得证.