Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理*

吕婷， 杨敏， 王其如

1.太原理工大学数学学院， 山西 太原 030024

2.中山大学数学学院， 广东 广州 510275

在实际生活中，系统常受外力影响或内部产生的“噪声”干扰，所以，随机微分方程可以更加准确的刻画系统的变化特征，因而研究随机微分方程是很有必要的且存在实际的应用价值.另外，现实生活中的许多现象都有长期后效作用，Mandelbrot et al.（1968）研究表明分数布朗运动可以较好的描述长期后效现象，这推动了更多学者们对分数布朗运动驱动的随机微分方程的广泛关注.分数布朗运动（fBm）最早是由Kolmogorov（1940）提出的一个依赖于Hurst参数H∈(0，1)的高斯随机过程，当H= 1/2 时，分数布朗运动简化为标准布朗运动；当H≠1/2 时，分数布朗运动既不是半鞅也不是Markov 过程；当H＞1/2 时，分数布朗运动具有自相似性、长时记忆性等特征，这些性质使分数布朗运动可以引入到数理金融（Bollerslev et al.，1996）、网络通信（Leland et al.，1994）、生物医学工程（de la Fuente et al.，2006；Boudrahem et al.，2009）等随机模型中作为随机噪声项，得以更好的描述系统特征和保证模型性能.除此之外，具有脉冲干扰的微分方程能准确的呈现出系统的瞬时变化规律，因此，脉冲随机微分方程吸引了很多学者的关注，详见文献（Sakthivel et al.，2013；Ren et al.，2014；Liu et al.，2020）.

另一方面，平均原理作为一种高效、准确的近似分析方法，在非线性动力系统的研究中发挥着重要作用.它的主要思想是对原始动力系统进行简化得到一个平均系统，并且这个简化后的平均系统可以反映原系统的动力学行为.目前为止，随机微分系统的平均原理理论已经获得了极大的发展.例如，Cerrai et al.（2009）研究了一类随机反应扩散模型的平均原理；Ma et al.（2019）研究了Lévy噪声驱动的脉冲随机微分方程的周期平均原理；Cui et al.（2020）在非Lipschitz系数条件下，考虑了脉冲中立型随机微分方程的平均原理；Ahmed et al.（2021）探索出含泊松跳和时滞的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理；Liu et al.（2022a）在非Lipschitz系数条件和无周期条件下，考虑了由分数布朗运动驱动的脉冲随机微分方程的平均原理.

但现有研究存在两方面不足：一是大多数平均原理建立在有限维空间上，很少考虑空间是无穷维的情形（Xu et al.，2020；Liu et al.，2022b），二是Caputo 分数阶脉冲随机微分方程已有相应的平均原理研究（Wang et al.，2020；Xu et al.，2011；刘健康等，2023），但Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理尚未见到研究结果.基于上述讨论，本文在Hilbert空间上考虑如下Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理

其中Dγ，β是Hilfer 分数阶导数，x(·)取值于实可分Hilbert 空间X.闭线性算子A：D(A) ⊂X→X是强连续算子半群{S(t)}t≥0的无穷小生成元.是定义在实可分Hilbert空间Y上的分数布朗运动，其中Hurst 参数指从[-λ，0 ]到X上所有具有càdlàg 路径的连续函数φ构成的空间，其范数是PC-值的随机过程.和分别表示x(t)在t=tk时的左极限和右极限，Ik表示x(t)在t=tk时刻的脉冲扰动，脉冲时间序列{tk}满足0 ＜t1＜… ＜tm＜tm+1=b.系数函数f：J×PC→X，h：J×PC→.

1 预备知识

假设(Ω，F，{Ft}t≥0，P)是一个带流的完备概率空间，其中{Ft}t≥0满足通常条件，即{Ft}t≥0是右连续的且F0包含所有零测集.{BH(t)}t∈R是带有Hurst 参数的一维分数布朗运动，即BH(t)是一个中心高斯过程且具有以下协方差函数

记X和Y是两个实可分Hilbert 空间，L(Y，X)是从Y映射到X上所有有界线性算子构成的空间.Q∈L(Y)是一个非负自伴算子，满足Qen=λnen，有限迹其中{λn}≥0，(n= 1，2，…)是一个非负有界实数序列，{en}(n= 1，2，…)是空间Y上一组标准正交基.{BHn(t)}n∈N+是独立于完备概率空间(Ω，F，P)的一维标准分数布朗运动序列，现在我们在空间Y上定义无穷维分数布朗运动如下：

定义1（Yang et al.，2017a） 函数f：[a，+ ∞) →R 是一个Lebesgue 可积函数，对任意β∈(0，1)，函数f的β阶Riemann-Liouville积分定义为

其中Γ(·)是Gamma函数.

定义2（Yang et al.，2017a） 函数f：[a，+ ∞) →R的β阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

其中n∈N+.

定义3（Yang et al.，2017a） 函数f：[a，+ ∞) →R 且f∈Cn[a，+ ∞)，f的β阶Caputo 分数阶导数定义为

其中Cn[a，+ ∞)表示在区间[a，+ ∞)上n次连续可微的函数构成的空间，n∈N+.

定义4（Sheng et al.，2022） 函数f：[a，+ ∞) →R的Hilfer分数阶导数定义为

注1（Sheng et al.，2022） 当γ= 0，0 ＜β＜1，a= 0，则Hilfer 分数阶导数对应经典的Riemann-Liou‐ville分数阶导数

当γ= 1，0 ＜β＜1，a= 0，则Hilfer分数阶导数对应经典的Caputo分数阶导数

引理2方程（1）等价于如下的积分方程

证明可参考文献（Yang et al.，2017a；Ahmed et al.，2018）.

为了给出方程（1）的适度解，引入以下Wright-type函数

引理3（Yang et al.，2017a） 若积分等式（2）成立，其等价于如下的等式：

定义5若一个PC-值的随机过程x：[-λ，b]→X满足以下条件，则称x(t)是方程（1）的适度解.

引理4（Yang et al.，2017b） 在条件（H0）下，对任意t＞0，{Pβ(t)}t＞0和{Sγ，β(t)}t＞0是线性算子，且对任意x∈X有

定义6（Liu，2007） 设Xn(n≥1)，X是同一概率空间(Ω，F，P)上的随机变量，若E()＜+∞，且

成立，则称Xn均方收敛于X.

2 平均原理

接下来，我们建立Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理.

首先，定义方程（1）的扰动形式为

然后根据方程（1）适度解的定义，可以得到方程（5）的适度解为：

其中ε∈(0，ε0]是一个很小的正参数，ε0是一个固定的常数.

则方程（5）对应如下无脉冲项平均系统：

参考文献（Gu et al.，2015）中引理2.12的证明，可以得到方程（7）的适度解zε(t)为

定理1假设条件（H0）～（H3）成立，则当ε趋于零时，方程（5）的适度解xε(t)均方收敛于平均方程（7）的适度解zε(t).即任意给定一个很小的数δ＞0，存在M0＞0，α∈(0，1) 以及ε1∈(0，ε0]，使得当ε∈(0，ε1]时有

证明由式（6）和式（8），有

从而对任意ν∈(0，b]，利用基本不等式得到

对于第1项，由引理4可得

利用假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz不等式得到

由假设条件（H3）得到

对于第2项，由引理4可以推出

由引理1、假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz不等式得到

由引理1、假设条件（H1）和假设条件（H3）得到

对于第3项，由基本不等式得到

由引理4、假设条件（H2）和Cauchy-Schwarz不等式得到

将估计式（11）～（19）代入式（10），则对任意ν∈(0，b]，得到不等式

因此，

即有

即存在M0＞0和α∈(0，1)，使得对所有t∈(0，M0ε-α]⊂(0，b]满足

其中常数

所以对任意给定的数δ＞0，存在ε1∈(0，ε0]，使得对任意ε∈(0，ε1]和t∈[-λ，M0ε-α]⊂ [-λ，b]，有

定理1证毕.

注2 现有文献考虑的是有限维空间上含泊松跳以及Wiener 过程的无脉冲扰动的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理（Ahmed et al.，2021；Luo et al.，2021），与之相比，本文考虑了分数布朗运动驱动的含脉冲项的Hilfer 分数阶随机微分方程.更为重要的是，我们在Hilbert 空间上建立了具有算子的Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理，一定程度上丰富了Hilfer分数阶随机微分方程的平均原理的相关理论.

3 实例

为了说明所得结果的适用性，我们考虑以下含脉冲的Hilfer分数阶随机发展方程

于是方程（26）的平均系统为

显然，平均系统（27）比原系统（26）简单.假设条件（H0）～（H3）满足，根据定理1，当ε趋于零时，系统（26）的适度解均方收敛于平均系统（27）的适度解.