Laplace方程上半平面边值问题中的动态采样*

方黄， 李松华， 彭宏杰

湖南理工学院数学学院， 湖南 岳阳 414006

当求解一些特殊区域上的Laplace方程边值问题时，其解通常可表示为积分算子形式，如二维空间上半平面的Laplace方程边值问题

但在实际应用中，边值的获得往往需要通过仪器在有限区域内测量.针对热传导方程初值问题，Lu et al.（2009）首次提出的动态采样问题，即在研究如下边值问题：

来恢复边值信号f(x)，但在采样数据量不足的情况下，则存在信号f(x)不能实现稳定恢复.

频带有限函数空间也称为Paley-Wiener空间：

在采样数据量不足的情况下，Aldroubi等提出利用Remez-Turan 不等式避开ϕ的采样盲点，成功解决了采样密度不足导致的不能稳定重构的问题，即∃A，B＞0，有以下不等式成立

其中L＞0 ，采样集Λ ⊂R.

近年来，许多学者对平移不变（shift-invariant）子空间中的传统采样和重构进行了大量的研究，Liu（1996）、Sun et al.（2000）、 Aldroubi et al.（2001）、Chen et al.（2005）、Liu et al.（2007）和Xian et al.（2014）取得了十分丰富的成果.Sun（2007）和Nashed et al.（2010）利用Frame 理论研究了更广的非频谱有限信号空间中非均匀采样与信号的重构算法.

本文考虑频带有限函数空间中的信号，研究采样率不足的情况下，首先利用Laplace方程上半平面边值问题中的卷积核= e-y||ξ的性质，再基于范德蒙德矩阵的特征值分析，得出采样不等式（2）的下界.

1 Sub-Nyquist动态采样

定义

引入采样扩散矩阵

其中

令

由上面分解可知：如果可以恢复f(ξ)，那么可以恢复fp.

证明利用泊松求和公式，容易证明引理1.

注意到当ϕ∈Φ，m≥2时，有

若采样率不够，一般情况下无法从式（3）上进行稳定重构，故需避开一些采样点（即盲点）.假设存在使得

成立，则有

利用Ⅴandermonde矩阵来获得式（5）中矩阵Bm(ξ)最小特征值λ(m)min(ξ)的下估计.

引理2令v0，v1，…，vm-1是m个不同的非0实数.设v=(v0，…，vm-1).对k∈N，定义函数Ψk：R →R，

对j= 0，…，m- 1，定义

令

对任意x∈Cm，有

利用Ⅴandermonde矩阵的性质及Yu et al.（1997）对m×m阶矩阵的最小奇异值的估计，容易得到结论.函数ΨN在()

0，+ ∞上递增，对y≠1，y＞0有，

推论1在引理2中，进一步假设0 ＜v≤vj≤1，m≥2.令

则对任意x∈Cm，有

定理1（Aldroubi et al.，2021） 设ϕ∈Φ.定义

任意x∈Cm，有

则有

证明利用Lagrange微分中值定理容易得出.

针对问题（1）中的核函数， 我们有以下更具体的结论：

2 动态采样结果的证明

根据Parseval 等式可知，利用Remez-Turan 不等式，只要限定在一定的函数空间，引理3 中的结果就可导出采样不等式下界的估计.为此，我们首先研究PWc的一些空间中的Remez-Turan性质.

3 结 语

本文对Laplace 方程上半平面边值问题中的动态采样进行研究.该方法从周期性非均匀的Sub-Nyquist等间隔动态采样入手，引入扩散矩阵并利用Remez-Turan性质避开盲点（采样不稳定点），从而得出动态采样的稳定性结果.