关注通性通法 提升运算素养

周宗杰 周鑫 濮伟宇

摘 要：“解析法”与“几何法”是解决解析几何问题的重要数学方法，也是解决解析几何问题的通性通法.文章结合2023年高考天津卷第18题对“解析法”与“几何法”在解析几何中的应用进行分析，为我们的教学提供借鉴与参考.

关键词：解析几何；解析法；几何法；2023年天津卷

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0069-03

“解析法”与“几何法”是解决解析几何问题必不可少的重要数学方法，也是解决解析几何问题的通性通法，如果学生能够对这两种方法熟练掌握，那么对于大部分解析几何问题都会迎刃而解.下面就结合2023年高考天津卷第18题对“解析法”与“几何法”在解析几何中的应用进行分析，为我们的教学提供借鉴与参考，以期起到抛砖引玉的作用.

1 原题再现

（1）求椭圆方程及其离心率；

（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．

2 解法分析

对于解析几何问题通常可以从“解析”和“几何”两个角度进行分析.从解析法来处理问题，可以选择“设点”为突破口，或者“设线”为突破口，下面就从“设点”和“设线”的角度，用解析法来处理该问题.

解法1 解析法——“设点”.

设点P（x0，y0），由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），

解法1从设椭圆上动点P（x0，y0）的坐标为入手点，直接翻译题目所给信息S△A1PQ=2S△A2FP，同时结合三角形面积公式，获得关于x0的方程，求得点P的坐标，最终求出直线A2P的方程.

解法2 解析法——“設线”.

设直线A2P的方程为y=k（x-2），令x=0，可得yQ=-2k，即点Q坐标为Q（0，-2k）.

（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0.

解法2从设直线A2P的方程入手，由于该直线A2P与椭圆恒有一个交点A2（2，0），因此考虑联立直线A2P与椭圆的方程，消去y整理成关于x的一元二次方程，则xA2=2必为该方程的一解，由此结合韦达定理可以求出点P的横坐标xP，进而结合三角形面积公式，直接翻译S△A1PQ=2S△A2FP，获得关于斜率k的方程，解得斜率，进而写出直线A2P方程.

“解析几何”问题本质上仍然是“几何”问题，“解析”只是解决“几何”问题的方法，因此很多情况下我们不妨返璞归真，从几何的角度来分析问题，用“几何法”来解决问题.

解法3 几何法.

即S△A2A1P=2S△A1PQ.

将△A1A2P与△A1QP看成以A2P和QP为底的三角形，则它们的高相同，结合S△A2A1P=2S△A1PQ，可知A2P=2QP.

解法3从几何关系S△A1PQ=2S△A2FP出发，并结合椭圆的简单几何性质进行分析，获得A2P与PQ的长度关系A2P=2QP，接下来通过分类讨论来处理问题，获得问题的解.

3追根溯源

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求直线l的方程.

本题中的直线l恒过定点F（1，0），该点是椭圆C的焦点，不在椭圆上.因此如果将直线l与椭圆C联立，消掉y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程，该方程的两个解均不易求出. 如果采用引例解法1和解法2处理该题，运算量显然比较大，而且不易解决.

由韦达定理可得

4 结束语

对比引例和本题的解法可以发现，两题的题干信息十分相似，在解决问题的方法上也有一定的可借鉴性，但是，由于细微的差别，导致同一种方法在解决这两个问题时所面对的运算量是不同的，这就要求我们要善于开展数学变式教学，组织学生开展数学探究活动，关注问题处理的通性通法和不同问题的细微差别，提高学生的运算能力和运算素养［1］.

参考文献：

［1］ 周宗杰，张建明.例谈数学运算和逻辑推理能力的培养：以2023年北京卷第19题为例[J].中学数学教学，2023（05）：63-65.