初中数学教材中“二次函数”内容的设计与分析*——以“人教版”“康轩版”“singlee版”为例

⦿ 合肥师范学院 吴 阳 王家正

“函数”作为初中阶段数与代数领域的三大主题之一,是学生初步形成抽象能力和推理能力的重要载体.在“函数”内容中“二次函数”是教学的难点,也是学生理解的难点,根本原因在于二次函数的学习需要学生具备一定的数形结合思维,而初中生对“数”和“形”的认识还存在一定的困难.本文中选取人民教育出版社(以下简称“人教版”)、中国台湾康轩文教事业版(以下简称“康轩版”)及新加坡singlee版(以下简称“singlee版”),就“二次函数”内容的设计进行梳理及分析.

1 三个版本的教材梳理

“人教版”教材在学习二次函数概念的基础上,引导学生通过函数图象学习性质.章头图以喷泉喷水画面为情境,呈现喷出的水珠曲线形似二次函数图象,并带着三个情境问题进入本章的学习.设计思路如下:第一课时“二次函数”,通过对章封面三个问题的解答,引入二次函数的概念、表达式.第二课时“y=ax2的图象和性质”,利用描点法画出a取不同值的函数图象,总结出a>0及a<0时图象的开口方向、对称轴、顶点等性质.第三课时“y=a(x-h)2+k的图象和性质”与第四课时“y=ax2+bx+c的图象和性质”设计思路同上.第五课时“二次函数与一元二次方程”,在引入问题情境的基础上,探讨函数与方程根的关系,引导学生从二次函数的角度认识一元二次方程,通过二次函数y=ax2+bx+c,深入探讨一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.第六课时“实际问题与二次函数”,利用二次函数的图象和性质,刻画实际问题中变量之间的关系,从而获得实际问题的答案.

“康轩版”教材从一幅插图入手,插图呈现投篮时球所经过的路径,引入“抛物线”这一概念.设计思路如下:第一课时“二次函数的意义”,在回顾一次函数概念的基础上,通过正方形边长与面积的关系阐释二次函数的概念.第二课时“二次函数的图形”,分别介绍了y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k四种不同形式下二次函数的图形,先对不同系数下的解析式通过描点法画出函数的图形,再归纳总结其性质.第三课时“配方法与二次函数的图形”,利用第三册学过的配方法将二次函数的一般式化成形如y=a(x-h)2+k的式子,进而掌握它的图形.第四课时“二次函数的最大值与最小值”,以y=a(x-h)2+k(a>0)为例,由x-h=0时判断出函数的最小值,再推出二次函数的顶点就是函数图形的最低点.第五课时“二次函数图形与两轴的交点”,根据x,y轴上的点的纵坐标、横坐标分别为0,得出图形与x,y轴的交点坐标;由判别式Δ=b2-4ac、图形的顶点及开口方向,判断图形与x轴交点的个数.第六课时“应用问题”,以函数数问题为例并解答,给出应用二次函数求解实际问题的解题步骤,即设未知数、列式、求值、作答.

“singlee版”教材第二、三册均涉及二次函数的内容,其中第二册“二次函数的图象”,通过三个探究、四个例子探索二次函数的概念、图象与性质.设计思路如下:探究1,借助正方形的面积与其边长之间的关系,利用几何软件呈现y=x2的图象,引出二次函数这一概念.探究2,同样先用绘图软件分别绘制出y=x2,y=-x2的图象,再探究图象的性质,引出二次函数的一般形式.探究3,在几何软件上通过改变一般式中a,b,c的值,得出系数和图形形状、位置的关系.四个例子分别对图象与两轴交点坐标的求解、a>0时一般式图形的绘制、a<0时一般式图形的绘制、二次函数的实际应用给出解决方案.第三册“二次函数的图象”,继续学习形式为y=(x-h)(x-k),y=-(x-h)(x-k),y=(x-p)2+q,y=-(x-p)2+q的图象和性质,方法同第二册一般式的学习,通过使用绘图软件呈现出各形式的图形,再结合图象探究其性质.

2 分析

在整个单元中,二次函数的图象和性质是重点,也是培养学生数学思想方法的突破口.通过上述三个版本的编排可以看出,二次函数图象和性质的教学方式有两种形式:一种是借助二次函数各形式间的关系,按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序来探讨;另一种是运用类比推理,先掌握探索一般式下图象和性质的方法,再以此方法继续讨论二次函数的交点式、顶点式,注重知识的系统性.如“singlee版”教材,从探索y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质到探究y=(x-h)(x-k),y=(x-p)2+q,优点是利于学生将新知识纳入到已有的知识体系中,从而建立起知识间的联系.关于二次函数各形式的呈现顺序,三版教材并无二致.“人教版”“康轩版”教材均从y=x2开始,利用平移关系接着探讨y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,再通过配方法将一般式y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式,进而掌握它的图象和性质,其优点在于结合二次函数各形式间的关系,在揭示数学知识的本质特征和内在联系的同时,也强化了学生对数形结合思想的理解.

“人教版”教材将二次函数分为三大板块,即二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数.相比于“康轩版”和“singlee版”,“人教版”将二次函数与一元二次方程单独作为一课时,引导学生理解一元二次方程与二次函数的区别和联系.如,二次函数与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根;由一元二次方程根的情况,可以确定二次函数图象与x轴的位置关系;一元二次方程中x的值最多有两个,而二次函数中x,y之间的对应值有无数组.经历知识产生、发展的过程可以使学生感受知识是如何生长出来的.教材这样的教材安排,有助于学生实现函数与方程的相互转化,利用函数与方程的思想解决问题.

“康轩版”教材的特点在于增设了“二次函数的最大值与最小值”“ 二次函数图形与两轴的交点”这两小节,从二次函数的图形特征、一元二次方程的公式解及判别式出发,再回到函数性质中去,让学生经历借助直观图形理解抽象的二次函数的过程.对比“人教版”,两版教材都将方程与函数思想贯穿于教材中.不同的是,“康轩版”教材先通过判别式Δ=b2-4ac来判断一元二次方程根的个数,再由求根公式得出图形与x轴交点的坐标,强调用数学语言刻画函数性质.“人教版”教材则是通过二次函数图象看出其与x轴的位置关系,进而确定一元二次方程根的情况,强调函数图象与性质的联系.

数和形是数学的两大支柱,用信息技术勾勒图形、研究图形,可以把代数原理形象地表达出来.“singlee版”教材巧妙地将信息技术应用于教学中,并在教材中提供电子资源网址供学生探索,借助其形象、直观、生动的特点,引导学生观察不同参数下图形的变化.教材探究的思路与“人教版”“康轩版”类似,都是先呈现同一变量不同取值下的图形,再观察其形状、位置的变化,最后得出二次函数的性质.但不同的是,该版本中图形的呈现不依附于教材,而是通过几何软件实现,其开口方向、对称轴、最值、截距也一目了然,使抽象难懂的二次函数生动形象地展示给学生,学生更易发现其中存在的数学规律.

3 几点启示

“二次函数”这部分教材内容,主要涉及二次函数的概念、图象、性质以及其他相关知识,同时也涉及相关数学思想方法的研究.教师通过引入实际问题帮助学生形成函数概念,引领学生经历从实际问题中抽象出数学知识的过程.在研究函数性质时,并非直接将性质呈现给学生,而是借助直观图形学习二次函数的性质,通过图象探索函数与方程的关系,以此体会数形结合思想在二次函数中的应用,进而促进抽象思维的形成.

“人教版”和“康轩版”教材都有从函数的角度来讨论一元二次方程.两版教材都是将函数图象与方程的解(根)进行联系.这种螺旋上升的编排结构可以使方程与函数有机结合,层层深入,渗透函数与方程思想,有助于学生实现函数与方程之间的相互转化.《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出在“互联网+”时代,教师应注重信息技术与数学课程的深度融合,实现传统教学手段难以达到的效果.对于“singlee版”教材使用几何软件辅助学生学习,教师在实际教学中有效融入信息技术,可以帮助学生从多方位认识函数的特点,把握函数的本质.