大单元视域下的初中数学跨学科作业设计研究

郑培珺 黄和悦

【摘要】为了学生能够系统、有效地进行课后巩固和提升，以初中数学“直角三角形的边角关系”主题为例进行跨学科单元作业设计.从学生角度设置有层次的分组作业，从学科角度设计本学科大单元化和跨学科融合的作业.通过对单元知识结构、作业类型和核心素养水平的分析，提出初中数学跨学科作业设计六条建议：构建单元视域下结构化的作业任务群；注重因材施教理念下的变式改造分层设计；注重多学科融合的主题统整设计；注重知行结合学科问题生活化的项目式作业设计；注重设计因地制宜具有育人特色的作业题型.

【关键词】单元统整；学科融合；素养立意；作业设计

“双减”背景下提出作业设计要向减负、减时、减量、高效和优化管理转变.2022年版的《义务教育课程方案》提出既要以结构化的思维方式统整学科知识，设计大单元作业，又要提高思维的层次性和问题的综合性，兼顾跨学科融合 [1]，还要关注知行结合，设计具有实践性的项目式活动作业[2].数学跨学科作业设计是把数学与其它学科所蕴含的知识、方法和思想等融会贯通，培养学生对综合信息的分析、判断和抉择[3].本研究对北师大版九年级上册“直角三角形的边角关系”单元复习作业进行设计并提出建议.

1数学单元知识结构整体分析

三角学是几何学的基础.初等数学在欧几里得几何学范畴中研究三角形的边角关系，它的研究路径随学段上升遵循由特殊到一般的规律（图1）.初中探究的直角三角形边角關系经历了由一般到特殊的过程（图2）；高中则研究更为一般的三角形边角关系.

2跨学科单元作业设计思路

作业设计从学生角度和学科角度进行考虑.从学生角度基于学生间的差异性设计不同层次的作业.从学科角度考虑到本学科大单元知识、方法和思想体系的整合重组，设计大单元任务群 [4]；也考虑到跨学科大单元间的学科融合，迁移运用.另外，结合本地文化特色综合呈现作业，在传统文化下潜移默化地培养学生情感态度价值观，实现学科育人的立德树人目标.

2.1题目分层设计

基于学生个体间的差异设计A，B组层次不同的作业，教师可根据不同学生的学情选择布置对应题组的作业.依据喻平教授对数学核心素养水平（图3）和作业类型（图4）的划分[5]设计各层次的作业.为了便于分析，将喻平教授界定的数学核心素养三级水平由低到高分别记为“l1”“l2”“l3” [6].

2.2大单元作业设计

大单元视域强调主题统领和整体关联，设计具有结构性的作业是高效巩固、提升能力和素养的落脚点[7].作业设计站在跨学科大单元和本学科大单元两个层面进行设计.

2.2.1跨学科大单元设计

跨学科作业设计是在同一主题下，打破学科界限把相关学科联系起来，找到学科间的内在本质联系，整合多科知识解决复杂问题.本作业设计以数学中“直角三角形的边角关系”为主题，融合人文类学科、社会科学类学科、自然科学类学科的知识、观点、方法等聚焦真实问题.各学科相互贯通，开阔学生视野，实现素养的全面发展.

2.2.2本学科大单元设计

聚焦“直角三角形的边角关系”，梳理、整合直角三角形边角的知识体系、思想体系和方法体系，精心设计单元作业任务群（图5）.本单元要求理解锐角三角函数的定义，能够发现实际问题中的边角关系，建立数学模型并选择适当的三角函数，综合运用相关知识解直角三角形.

3跨学科单元作业题设计与分析

题目1中国自古是礼仪之邦，班会课开展“礼仪待人，学作揖礼”活动，平辈行礼，上半身弯15°，晚辈行礼，上半身弯45°．班主任和小王示范遇见师长行作揖礼.小王向班主任行了一个45°的作揖礼，班主任回了小王一个15°的作揖礼．已知小王身高150cm，上半身高70cm（把上半身定义为臀部到头顶的距离）.

（A组）小王行礼时头距离地面多高（）.

A.（70+352）cm

B.（80+352）cm

C.（70+353）cm

D.（80+353）cm

（B组）若班主任身高170cm，上半身高80cm（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，2≈1.41）；

（1）班主任回礼时，其头部距地面的高度为cm；

（2）行礼时，人与人之间应该保持100cm以上的距离（指头与头之间的水平距离）最为适宜．行礼前，小王距班主任180cm，请问同时行礼、回礼时，班主任与小王之间的距离是否适宜？

分析涉及数学和道德与法制学科，利用三角函数解决道德与法制中的“行礼”问题，将尊敬师长和文明礼仪的传统文化潜移默化地传递给学生，使立德树人落地.在运用三角函数解决实际问题的过程中要先抽象出数学模型（图6），再构造直角三角形（图7）.A组考查任务二，是基础型作业，涉及模型观念、应用意识、推理能力、抽象能力和运算能力的数学核心素养，其均在l1水平上考查；B组考查任务三，是综合型作业，涉及模型观念、应用意识、推理能力、抽象能力和运算能力的数学核心素养，其均在l2水平上考查.

题目2中国传统建筑文化博大精深，外国友人想学习中国传统建筑的屋顶设计．图8的古代建筑屋顶被称为“悬山顶”，其侧视图（图9）呈轴对称图形，极具美感.屋顶P到支点A的距离PA=5米，屋檐PM=6米，墙体高AD=3.5米，屋面坡角∠PAB=30°.（结果精确到小数点后两位，3≈1.732）

（A组）导游向外国友人介绍“悬山顶”建筑，其屋顶P到地面CD的高度为；“悬山顶”四周可避雨，屋顶边缘M到墙面AD的距离为.

（B组）（1）“悬山顶”房屋占地宽度CD为（）.

A.5.66米B.8.66米

C.4.86米D.2.88米

（2）导游向外国友人介绍“悬山顶”建筑中屋顶边缘M到地面CD的距离，请你帮他算一算.

分析涉及美术、道德与法制、历史和数学学科.从美术视角感受建筑中对称的美与和谐.从道德与法制视角弘扬中国优秀传统文化，学生增加民族自信.从历史视角了解、传播传统建筑知识.从数学视角考查任务一，是基础型作业.其综合三视图判断几何体、利用三角函数求边长等知识添加辅助线，解决实际房屋建筑的问题，渗透化归思想.A组涉及模型观念、推理能力和运算能力的数学核心素养，均在l1水平上考查；B组考查l1水平的模型观念、l2水平的逻辑能力和运算能力.

题目3 西汉《淮南万毕术》记载着公元前2世纪中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”，这是世界上最早的潜望镜（图10）.其工作方法主要利用了光的反射原理.图11中，MN呈水平状态，入射角∠NOA=30°，∠OMB=15°（入射角等于反射角，OA，MB为法线），若MN=106米，求光线从镜面到达M经过的距离（即OM长度）.

（A组）小王书写了部分解答过程：

过点M作MC⊥ON，交ON于点C，如图12.

∵入射角等于反射角，

∴∠NOA=∠MOA=30°，

∴∠MON=∠NOA+∠MOA=60°，

∵BM⊥MN，∠OMB=15°，

∴∠OMN=∠BMN-∠OMB=90°-15°=75°，

∴∠N=180°-∠OMN-∠MON

=180°-75°-60°

=45°.

……

请你帮助小王将未解答完的部分书写完整.

（B组）请完整书写解答过程.

分析涉及数学、物理和历史学科，在数学传统历史文化背景中融入物理问题，学生体会传统文化融合跨学科知识的魅力.本题考查任务二、三，是综合型作业.要求能根据题意找到直角三角形模型，综合考查45°，60°三角函数和解直角三角形的应用，渗透化归思想.在物理知识的运用中训练跨学科解决问题的思维.A组涉及模型观念、抽象能力、应用意识和运算能力的数学核心素养，其均在l1水平上考查;B组涉及模型观念、抽象能力、应用意识和运算能力的数学核心素养，其均在l2水平上考查.

题目4读万卷书，行万里路.泰宁的明清园（图13）有“民间收藏博物馆”之称，是古城建筑艺术和人文历史的传承与延伸.学校组织学生到明清园研学，参观司马府第、藏宝阁、德馨书屋和聚贤堂四个地方.七年级1班、2班一同参观，司马府第A在聚贤堂B的正北方向，1班自司马府第A处出发，沿南偏东30°方向前往藏宝阁D处；2班自聚贤堂B处出发，沿正东方向行走150m到达德馨书屋C处，再沿北偏东22.6°方向前往藏宝阁D处与1班相遇（图14），两个班所走的路程相同．（结果取整数，参考数据：sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213，tan22.6°≈512，3≈1.732.）

（A组）（1）求司马府第A与藏宝阁D间的距离；小李想：过点D作DE⊥AB交AB于点E，过点C作CF⊥DE交DE于点F，易得四边形BCFE是矩形（图15），则BE＝CF，EF=BC=15m，设DF＝xm，则DE=; AD=; CD=（用含x的代数式表示），列出等式进而可求x，则可求司马府第A与藏宝阁D之间的距离.请根据小李的思路求解.

（2）根据第（1）问，求司马府第A与聚贤堂B之间的距离；

（3）研学归来，你向家人解说此次明清园研学中四个观光点的位置信息，请写出2个具有数学信息的解说词（题目中已有的数学信息除外）.

（B组）（1）求司马府第A与藏宝阁D间的距离；

（2）1班和2班出发时相距多远（即线段AB长度）；

（3）同A组第（3）问.

分析涉及数学、地理、历史和语文学科，将明清园的历史文化和地理方位知识融为一题，学生感受到优秀传统文化的同时还锻炼了语言表达能力，将跨学科知识融合运用.本题考查任务四，是探究型作业.要求学生提炼信息，具备模型意识，能够选择适当的三角函数，设元用代数式表示出关键线段，进而解直角三角形，渗透化归思想.A组考查l1水平的几何直观、创新意识以及l2水平的模型观念、应用意识;B组涉及几何直观、模型观念、应用意识和创新意识的数学核心素养，其均在l3水平上考查.

题目5在福建省三明市三元区麒麟山是外出游玩踏青的好去处，登麒麟山必登麒麟阁，凭栏远眺，整个三明城几乎尽收眼底.据1996年《麒麟阁重修记》云：“新阁拓其旧制，仿古塔造型，八角重檐，层层外挑，逾见玲珑典丽.”九年级某班的数学“综合与实践”课对测量建筑物的高度开展了分小组项目式学习活动，测量麒麟阁的高度.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.8.）

（A组）（1）丙同学设计了这样的测量方案：如图16，先在点W处用距离地面0.5m的测角仪测出位于此地麒麟阁A的仰角∠AWE=45°，再沿WH水平方向前進8m后到达H处，测得麒麟阁A的仰角∠AHE=38°，请根据丙同学的测量方案计算麒麟阁的高度.

（2）请你根据本题得到的启发和小组同学一起完成测量学校旗杆高度的任务并按小组分享成果.其过程涉及准备阶段（学生分组、分工，实践方案的设计，工具的准备），实施阶段，整理汇总阶段（汇总和计算数据，完善“实践报告”），汇报阶段（分享成果）.

（B组）活动中，甲、乙、丙的测量方案如下：

如图17，身高175cm的甲同学在M处放一面镜子，通过镜面反射可看到塔顶A，他到镜子距离QM=2m.

如图18，乙同学在点C处用距离地面0.5m的测角仪测出位于此地麒麟阁A的仰角∠ACE=37°.点C，E，D在同一条直线上，在沿CE水平方向56m的点D处用距离地面0.5m的测角仪测出麒麟阁A的仰角∠ADE=45°.丙同学设计方案见A组.

（1）数学老师看了他们的测量方案说：“其中一个同学的测量方案存在问题，得不到测量结果”，你认为（填“甲”或“乙” 或“丙” ）的测量方案存在问题.

（2）请选择一个正确的测量方案计算麒麟阁的高度（精确到1m）.

（3）同A组第（2）问.

分析涉及数学、综合实践、历史和地理学科，融入当地特色历史文化建筑，激发学生兴趣.本题考查任务五，在第（1）问中，学生的阅读、推理和批判思辨能力得到训练.第（2）问要能找到数学模型，利用锐角三角函数求实际物体高度，熟练运用边角关系解直角三角形，训练推理和运算能力．第（3）问以项目学习形式设计作业（仰角俯角问题和测量高度问题），此题为分小组合作的实践型作业.学生通过阅读，可类比已有测量方法设计方案，也可有自己创造性的想法，是开放性的作业，注重高层次思维和创新能力的培养.经历“学习—应用—探索—发现—分享”的综合实践过程，采用自评、互评和师评的方式进行多元评价.A组考查l2水平的推理能力、模型观念、几何直观、运算能力和l3水平应用意识、创新意识;B组考查l2水平的模型观念、运算能力和l3水平的推理能力、几何直观、应用意识、创新意识.

4初中数学跨学科单元作业设计的建议

（1）构建单元视域下结构化的作业任务群

相关联或同主题的知识可能存在同一章节或不同章节中，他们存在千丝万缕的联系，需要我们以结构化、整体化的眼光对其进行统筹、整合重组.通过结构化的作业任务群可最有效地将相关知识、思想、方法等巧妙关联起来，以便促进学生思维结构化生长.

（2）注重因材施教理念下的变式改造分层设计

不同层次的学生基础不同、能力不同，进行有指向性地分层设计作业尤为必要.要在最近发展区内最有效地帮助学生进行巩固、提升，同一背景下的题目可对条件或求解问题进行变式改造，以便达到不同学生需考虑不同题型、不同层级思维训练及设置不同水平数学核心素养题比重的要求.

（3）注重多学科融合的主题统整设计

现实世界是多元复杂的组合体，生活中的问题不仅仅是某一个学科的问题，可能是人文类、社会科学类、自然科学类的综合题，这便要求教师在进行作业设计时要注重各学科的大融合，探索各学科间的联系点，聚焦真实问题，关注学生日常生活和需求，深度整合各学科资源，形成跨学科思维体系，全面提升学生综合素养.

（4）注重知行结合学科问题生活化的项目式作业设计

学科问题以生活化的场景呈现，学生更能够置身于现实生活中，更深刻地体会到学科的应用价值.在研究学科问题中以项目为载体设计具有任务导向的探究性和实践性作业能够给学生带来高层次的思维训练.这种高质量的思考推动学生创造性地解决问题，同时，也促进着学生表达、交流、合作和动手操作等能力的发展.

（5）注重设计因地制宜具有育人特色的作业题型

不同学校的学生存在一定的差异性，作业设计应根据本校学生学情，考虑融合本校学生关注的、本地区社会宣传的和国家倡导的热点问题.另外，若能以本地独特的文化或主流价值观下的传统文化为背景设计题目必能给学生耳目一新感，在锻炼学生思维的同时潜移默化地渗透情感态度价值观，春风化雨地实现育人目的.

（6）丰富评价形式建构以素养为导向的多元评价标准

作业的目的是帮助学生进行意义建构，让学习更为有效.作业评价是现实与目标间差距的有效呈现，还是评价学生学习过程的重要依据.可通过组合教师评价、自我评价和学生间评价等形式全方面的评估学生的综合素养，尽可能地发现学生优点，以学生之长鼓励其慢慢向其他方面完善.作业评价要过程与结果并重，根据学生的知识、个性特征、品格与价值观、综合能力等构建符合素养导向的评价指标.

参考文献

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[7]李庾南，冯卫东.学材再建构在结构中教与学[J].数学通报，2018，57（08）：18.

作者简介 郑培珺（1993—），女，福建福州人，中學一级教师，三明市黄和悦名师工作室成员，三元区骨干教师;主要从事中学数学教学研究;两次获三明市作业设计一等奖，三次获三元区作业设计一等奖.

黄和悦（1977—），男，福建三明人，中学正高级教师，特级教师，福建省三明教育学院初等教育和学前教育研究室主任，三明市黄和悦名师工作室主持人;主要从事中学数学教育教学研究;多次主持省课题，发表文章近40篇.

基金项目福建省教育科学“十四五”规划2022年度“协同创新”专项课题“提升初中生数学表达素养的实践研究”（Fjxczx22-114）.