初中数学二次函数解题方法与技巧

⦿ 宁夏回族自治区固原市西吉县兴平乡中心小学 王建勤

基于中考数学试题的研究可以发现,二次函数的知识点在初中数学试卷中所占比例较大,内容较多,题目较复杂,考题难度较大.特别是二次函数问题经常会在中考压轴题中出现.下面对有关二次函数的常见题型及解题方法进行总结.

1 解析式问题——找、代、解

在求解二次函数解析式的问题中,教师可以引导学生遵循“找、代、解”的解题思路,解决与二次函数有关的实际问题.

图1

代:代入到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).

解:进一步求解二次函数解析式.

注:解析式问题需要学生具有较为扎实的二次函数学习基础.为此,在开展解析式问题教学前,教师可以利用对分课堂教学模式,引导学生梳理二次函数基本知识,提高学生的做题效果和课堂教学效率.

2 动点问题——设、找、论

有关动点问题,主要有x轴上的动点问题、二次函数对称轴上的动点问题以及抛物线上的动点问题三种情况.求解时,首先假设出动点的坐标,由题干中的隐藏关系找出相应的等式,最后根据情况分类讨论,并根据合理性解出正确的结果.

例2已知抛物线y=-2x2+2x+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若P为抛物线第一象限内的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值.

设:设P(n,-2n2+2n+4)(0

图2

论:当且仅当n=1时,S取得最大值,且最大值为6.

注:动点问题需要学生耐心思考,找出题干中的关系式,这也是二次函数动点问题的重难点所在.为此,教师要引导学生克服解决动点问题时的恐惧心理,运用二次函数动点问题的三部解题法加强训练.

3 面积问题——找、拆、设

面积问题常以求解三角形面积或四边形面积的形式出现,主要考查求解三角形面积、求解两个三角形交点的坐标位置、求解三角形或四边形面积最大时的动点坐标这三大问题.

例3如图3所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+5x+6与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,且直线y=x-6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,已知P是线段OB上的一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.当△MDB的面积最大时,求点P的坐标.

图3

根据题干,可以发现本道题在考查面积的基础上,进一步提出了求点P的坐标.但仍需先求出△MDB面积的最大值,再从中寻找答案.

找:找出△MDB的面积关系.已知在△MDB中,B和D是定点,M是抛物线上的一个动点,可以使用铅垂模型求解,即线段MN将△MDB分割为有公共底边的两个三角形△MND和△MNB.

设:设点P坐标为(m,0),则M(m,-m2+5m+6),N(m,m-6),于是MN=-m2+4m+12,所以

当且仅当m=2时,S△MDB有最大值,且最大值为48,此时点P的坐标为(2,0).

注:教师在开展有关二次函数面积问题题型训练时,首先要引导学生学习如何找出面积关系.教师可以引导学生复习求面积的方法,如割补法、铅垂法等,从而提高学生的学习效率[1].其次,利用面积求解方法引导学生灵活解决面积问题.

4 几何图形存在性问题——找、解、论

中考有关二次函数几何图形存在性问题,主要考查三角形和四边形的存在性,且以考查特殊三角形和四边形居多.通常几何图形会与面积最值或动点问题搭配考查,灵活性较高,难度较大.

例4如图4所示,已知二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴相交于点A和B,其中点A的坐标为(-3,0),且过点B作一条直线与抛物线相交于点D(-2,-3).过x轴上的点E(a,0)(点E在点B的右侧)作直线EF∥BD,且与该抛物线相交于点F,试分析是否存在实数a,使得四边形BDFE为平行四边形?若存在,请求出满足条件的实数a;若不存在,请说明理由.

图4

找:根据题干内容,学生能够轻松求出直线BD的解析式为y=x-1,则直线EF的解析式为y=x-a.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一定理可知,若想四边形BDFE为平行四边形,只需满足DF与x轴平行即可.

解:若DF与x轴平行,则点D和点F的纵坐标相等,即点F的纵坐标为-3.而F为直线EF与抛物线的交点,设F的横坐标为m,根据BE=DF,可得a-1=m+2,即m=a-3,则F(a-3,-3).

论:将F(a-3,-3)代入y=x2+2x-3,可以解出a1=1,a2=3.

当a=1时,点E(1,0)与点B重合,不符合题意,舍去;当a=3时,点E(3,0)符合题意.

所以,当且仅当a=3时,四边形BDFE为平行四边形.

注:关于二次函数几何图形存在性问题的内容较为丰富,出题方式较为灵活,因此,学生需要加强训练,把握解决二次函数几何图形存在性问题的解题思路,提高解题效率和解题质量.

5 最值问题——设、找、论

最值问题是二次函数的常考题型,最值问题通常与面积问题一同出现.因此,在面对这一问题时,教师可以引导学生运用割补法或铅垂(铅垂高,水平宽)法求出几何图形的面积,再通过数式关系求出最大值或最小值.

例5如图5,已知抛物y=ax2-2ax+c经过点C(1,2),与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-1,0).

图5

(1)求抛物线的解析式;

注:最值问题首先需要学生找到目标函数的表达式,然后化简等式.其次,最值问题需要学生正确计算出数式的答案,保证运算的准确率[2].

综上所述,初中对二次函数的考查内容虽然灵活复杂[3],但是若学生能够利用解析式问题、动点问题、面积问题、几何图形存在性问题和最值问题的解题方法与解题技巧,并进行适当的训练,就能提高有关二次函数的解题能力.