运用变式教学促进深度学习——以一类“正方形问题”为例

⦿ 江苏省江阴市敔山湾实验学校 刘 军

1 问题呈现

例1如图1所示,在正方形ABCD中,G是BC边上的任意一点,DE⊥AG,垂足为E,BF∥DE,且交AG于点F.

图1

求证:AF-BF=EF.

例1是“正方形”一课的课后习题,该题是一道典型习题,涉及的知识点较多,可以很好地考查学生知识的迁移、重组能力,促使学生直观想象和逻辑推理等素养的提升.

八年级的学生已经拥有一定的知识储备,具有一定的分析和解决问题的能力,也具有一定的逻辑推理能力,这些知识、经验、能力等为进一步的思考与探究创造了条件.在本题教学中,教师要充分发挥典型习题的作用,通过变式引领学生体会“赵爽弦图”的运用,充分挖掘蕴含其中的规律、方法,提升学生数学抽象、数学建模、逻辑推理等素养,培养学生勤于思考、乐于探索的良好学习习惯.

2 问题探究

根据已知条件不难发现,将不在同一直线上的线段转化到同一直线上是解决本题的关键.教学过程中,教师不要急于呈现解题过程,应预留充足的时间让学生思考与交流,引导学生从“看”“想”“得”三方面进行深层次的探究(如图2).通过对已知条件和结论的深度剖析后,教师要启发学生关注在同一直线上的线段AF和EF的关系.结合图1不难发现,EF=AF-AE,而结论为AF-BF=EF,这样只要证明AE=BF,问题即可迎刃而解.这样通过证明△ABF≌△DAE,找到线段之间的数量关系,问题顺利获证.

图2

这样通过深入分析,学生形成解题思路后,教师还应预留时间让学生将问题解决到底,以此规范解答,加强学生逻辑关系描述的准确性.在讲解例1后,教师可以引导学生将图1中的弦图补充完整,由此发现小正方形的边长为Rt△DAE的两条直角边的差,为接下来的变式探究作铺垫.

3 问题变式

为了进一步探究蕴含其中的数量关系,教师基于基本学情对题目进行改编,从而将一道题推广至一类题,让学生通过由特殊到一般的深入探究掌握问题的本质,提高分析和解决问题的能力.

变式1如图1,在正方形ABCD中,G是BC边上的任意一点,DE⊥AG,垂足为E,BF∥DE,且交AG于点F.请直接写出DE,BF,EF存在的数量关系.

问题给出后,预留时间让学生思考、交流,教师巡视,并在合适的时机进行适度的启发和引导.学生通过深入探究,得到如下结论:

(1)如图1,当点G在线段BC上时,DE-BF=EF.

(2)如图3,当点G与点C重合时,DE=BF,EF=0;如图4,当点G在BC延长线时,BF-DE=EF.

图3

图4

(3)如图5,当点G与B重合时,DE=EF,BF=0;如图6,当点G在CB延长线上时,DE+BF=EF.

图5

图6

这样通过深度学习,有效发散了学生的数学思维,培养了学生分类讨论素养,激发了学生的探究欲.

变式2例1中的已知条件不变,结论改为“求线段EF的取值范围”.

结合变式1可知,当点G与点C重合时,EF=0,此时EF最小;当点G点B重合时,此时EF的长度等于正方形的边长.接下来教师展示图7,让学生直观感知随着点G位置的变化,EF的长度随之变化,渗透函数思想,从而为接下来研究“一次函数”作铺垫.

图7

这样通过对教材问题的拓展研究,既有效沟通了全等三角形的相关知识,又让学生在由内弦图到外弦图的变化过程中形成新想法、新思路,充分感知“赵爽弦图”的变化之美.同时,在拓展延伸中让学生初步感受函数思想,充分感知知识间的内在联系,促进学生知识体系的建构和数学素养的提升.

4 问题推广

思考如图8所示,当四边形ABCD是正方形时,则EF=AF-BF.如图9,△ABC是正三角形,其中∠1=∠2,那么AF,BF,EF存在怎样的数量关系?如图10,若将正三角形变为正五边形,∠1=∠2,此时AF,BF,EF存在怎样的数量关系呢?

图8

图9

图10

教学过程中,教师在原有基础上进一步推广,将正方形背景下线段的数量关系推广至正三角形和正五边形中,让学生充分体会探究方法的一致性,引导学生归纳总结解决此类问题的方法,逐步帮助学生建构“一线三等角”模型,提高学生数学抽象和数学建模素养.

5 迁移应用

谈起中考试题,很多学生会用“新”“难”来概括,然深入探究不难发现,有些题实则是教材原题,学生之所以感觉“新”“难”,是因为在平时教学中对教材内容的理解不够深刻、全面,因此略有变化就感觉无从入手.其实,中考试题中时常会出现基本图形的变化一类问题,而这类问题往往与“赵爽弦图”密切相关.因此,在课堂教学中,教师应重视引导学生归类,让学生在变化中体会不变的本质,提高综合解题能力.

例2如图11所示,四边形ABCD是边长为6 cm的正方形,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,以1 cm/s的速度向B,C,D,A匀速运动,当点E达到点B时,四点同时停止运动.问点E运动几秒时,四边形EFGH面积取最小值?其最小值为何值?

图11

分析：由题意可知,△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,根据已知条件可用含t的代数式表示AE与AH的长,由此得到关于t的二次函数,然后根据二次函数的性质可以求得当点E运动3 s时,四边形EFGH的面积最小,且最小值为18 cm2.

例3如图12所示,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE,垂足为Q,DP⊥AQ,垂足为P.

图12

(1)求证:AP=BQ;

(2)在不添加辅助线的情况下,图中各线段蕴含怎样的数量关系?

分析：学生结合已有经验易证△ABQ≌△DAP,问题(1)获证.对于问题(2),根据研究弦图的经验易得AQ-AP=PQ,AQ-BQ=PQ,DP-AP=PQ,DP-BQ=PQ.

例2、例3均为中考试题,均以正方形为背景,由基本图形变换而来,若学生能够认清问题的本质,自然可以轻松获解.在日常教学中,若不关注知识间的内在联系,不重视揭示问题的本质,那么学生在面对“陈题”时也会感觉陌生,这样在解题时出现“懂而不会”“一错再错”等情况也就不足为奇了.因此,在实际教学中,教师要充分挖掘教材资源,通过有效变式让学生学懂、学透,切实提高学生解题能力.Z