“动”“静”结合,“形”“数”转化——对一道解析几何题的探究

⦿ 江苏省海门中学 蒯 龙

平面解析几何中的取值范围问题,是高考数学试卷中一个熟悉的“面孔”,难度中等.此类问题可以综合点、直线、圆、圆锥曲线等相关元素,合理交汇其他相关知识,形式新颖,背景生动,“动”“静”结合,融合度高,可以出现在选择题或填空题中,也可以出现在解答题中,变化多端,形式各样,能很好考查学生的数学知识、数学思想方法与数学能力,充分体现试题的选拔性与区分度,备受各级各类考试命题者的青睐.

1 问题呈现

此题以平面解析几何为问题背景,通过点的坐标、圆的方程的确定,结合平面向量的线性关系式来巧妙设置,合理融合了平面几何、平面解析几何、平面向量、不等式等相关知识,创新综合与巧妙应用.

结合选择题的特性以及问题的背景,可以考虑从平面几何思维、解析几何思维以及特殊思维等不同角度切入,合理构建,巧妙转化,“动”中取“静”,“形”与“数”转化,实现问题的分析、处理与破解.

2 问题破解

思维视角一：平面几何思维.

方法1：分类讨论法.

图1

在Rt△PQC中,根据勾股定理,可得

|PQ|2=52-r2=25-r2.

由切割线定理,可得

|PQ|2=|PA||PB|=2t×3t=6t2.

所以|PQ|2=25-r2=6t2.

结合t≤2r,可得25-r2=6t2≤6×4r2,解得r≥1,所以1≤r<5.

综上分析,可知r的取值范围是[1,5).故选:C.

点评：通过平面几何图形的直观性,分类讨论点P的位置,将问题转化为“过圆C外一点P作一直线与圆C相交于不同的两点A,B(点A在线段PB上),且满足|PA|=2|AB|”,结合圆的切割线定理构建关系式,借助圆的弦长性质建立不等式,从而得以确定圆的半径的取值范围.借助平面几何图形的直观,以及平面几何的相关知识来综合与应用;借助平面几何图形的直观,利用“动点”的变化情况与解析几何中的“数”“形”互化,实现利用“静态”思维确定参数的取值.

方法2：割线定理法.

所以r的取值范围是[1,5).故选:C.

思维视角二：解析几何思维.

方法3：解析几何法.

所以r的取值范围是[1,5).故选:C.

点评：根据平面解析几何背景,设出点A的坐标,结合平面向量的坐标表示与运算确定点B的坐标,利用两点A,B均在圆C上构建满足条件的方程,结合恒等变形,将问题转化为“相关两圆有交点”的问题,利用两圆相交(此时包括内切与外切)的位置关系构建不等式,进而确定圆的半径的取值范围.借助平面解析几何的坐标运算,以数学运算代替推理,进而结合相关知识加以分析与应用.抓住平面解析几何中“数”的特征来处理“形”的特征,合理动静结合与巧妙转化.

思维视角三：特殊思维.

方法4：排除法.

故选:C.

点评：抓住条件确定点P在圆C外,结合弦AB恰为圆C的直径时确定对应的半径r的值,结合选项加以合理排除,再利用r→0时所对应的平面向量的线性关系式是否成立进一步加以排除,从而确定正确答案.排除法在破解选择题时有一定的优势,可以结合一些特殊情况加以合理排除,只是难以正确求解满足条件的具体值.

3 变式拓展

探究2：保留题目中平面解析几何的创新情境,进一步改变平面向量线性关系式的形式,由原来的“点P在圆外”变为“点P在圆内”,从另一角度来考查相关的知识点,得到以下对应的变式问题.

A.(0,15) B.(10,15)

4 教学启示

4.1 借助“平几”直观,实现“解几”运算

在解决一些含有平面几何图形或性质的解析几何问题时,要充分挖掘平面几何图形的直观性与几何性质,借助平面几何图形的性质,融合直观性,进而多一些几何直观,少一些代数运算,有效实现“形”与“数”有机结合,合理迅速地获得解题切入点,减少解析几何问题中的运算量,有效拓展解题思路,简化思维步骤,优化解题过程.

4.2 “动”“静”结合,“形”“数”转化

破解平面解析几何中的定值、最值或取值范围等相关问题时,合理通过点、直线、圆等元素的变化运动,“动”中取“静”,确定相关定值、最值或取值范围等的位置点,结合“形”与“数”的转化,从相关几何元素中抽象出数量关系,结合关系式或不等式的建立有效处理与破解,从而实现问题的解决与应用.