知根溯源 守通求妙 思变拓展——倡导解题研究,促进深度学习

⦿ 青海师范大学 蔡依涔

深度学习是机器学习的一种,是一个源于人工神经网络的研究的基本概念,更是实现人工智能的必经路径.而在数学教学与学习过程中,学生主要通过数学的概念、公式、公理、定理以及性质等的学习,结合解题研究,从数学知识的浅显理解走向深刻掌握,发展核心素养,这其实也是一个数学深度学习的过程,是数学教学与解题研究应追求的一种理想状态.

1 知根溯源

知根溯源,回归数学问题的本质与根源,挖掘数学问题的题意内涵与本源,不停留在解题的表层,有机联系相应的数学基本知识点、数学思想方法等,串联起知识体系,才能达到促进深度学习、提升数学解题能力的目的.

例1已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,试写出椭圆C的一个标准方程______.

分析：此题以椭圆已知焦点所在轴以及短轴长,结合椭圆上的点到两焦点之间的距离的比例关系来创设条件,以举例开放题的形式进行创新,本质是椭圆离心率的取值范围问题.追根溯源,以上问题应该是由如下试题通过改编而来的,也是此类问题最本质、最基础的设问方式与题型.

其实,在解决一些数学问题时,题目条件的展示方式只是“项庄舞剑”,表现各异,而所涉及的内涵实质才是我们所要求解的目的,才是我们所探求的本源,也是分析问题的结果以及探求问题的目的所在.“意在沛公”是我们解答问题的追求方向,更是促进深度学习的根本所在.

而这里的知根溯源,合理挖掘问题的本质,探求问题的本源,其实就是对问题的深入探究与发散研究,更是学生深度学习中最为重要的一个基本特征.这里的深度学习是从问题的本源入手,探寻问题的本质与内涵.

2 守通求妙

在解题研究中,掌握相应数学问题求解的“通性通法”,真正掌握数学基础知识、数学思想方法和数学能力等,守住解题“底线”;而合理探索对应数学问题的外延,探寻“巧技妙解”,拓展思维,探寻问题的简捷快速的求解方法,是数学基本知识、数学思想方法的进一步提升与综合,能更加有效促进深度学习.

分析：根据题目条件,利用等比数列中的基本量计算——首项a1与公比q,通过两个条件构建两个关系式,利用方程组的求解或等式的变形转化来实现解题的目的.这也是求解此类数列问题的“通性通法”.

点评：数列中的基本量计算法,是解决数列问题最常见的“通性通法”,只是有时运算量大,运算技巧性强,变形复杂难处理,都是难点所在.而抓住数列的基本性质,借助数列性质来转化,是解决数列问题中的“巧技妙解”.

巧妙解法：数列性质法.

故选:A.

其实,利用数列基本性质的“巧技妙解”来处理,更加简单快捷,减少运算量,提升解题效益,提高解题速度,在原有“通性通法”的基础上实现“质”的突破,达到巧算、妙算的目的.

而这里的守通求妙,是基于问题解决基础上的思维发散与思维深入,更加突出学生的深度学习.这往往也是学生深度学习过程中一种非常有效的基本技巧与策略.这里的深度学习是优化学习过程中非常有效的一种方式.

“守通”是为了“保守”,坚守底线;“求妙”是为了“优化”,提升效益.“求妙”是在“守通”的基础上的深入剖析与灵活应用.只有充分理解与掌握问题的“通性通法”后,并合理构建数学知识体系与数学思想、能力等的基础上,才能充分挖掘问题的本质属性,开拓思维,寻求“巧技妙解”,探寻数学的奥妙所在,真正促进深度学习.

3 思变拓展

在解题研究中,思变拓展是在解决问题基础上的再学习,符合深度学习的范畴.解题不能只停留在“刷题”的基本层面,可以从问题的不同条件角度、问题条件的不同给出方式等一些相关的视角加以合理探究,变式处理,进一步理解与掌握对应的数学基础知识,巩固解决对应问题的技巧与方法,全面提升数学能力.

分析：涉及双变量的代数式的最值问题,可结合题目条件与特征,从众多的思维视角来切入.可以通过换元思维(单变量换元或双变量换元),利用解二次不等式来达到目的;可以通过配凑思维,利用基本不等式来达到目的;等等.

点评：其实,求解以上问题的思维方法有很多种,不同思维视角都可以达到求解的目的,而进一步思变拓展,又可得以更高、更远的提升.下面尝试给出几种或简单或复杂的思变与拓展问题.

这里的思变拓展,是进行深度学习非常有效的一种技巧,也是脱离题海战术、挖掘问题本源中非常有效的一种学习方式.这里的深度学习是发散思维、开拓品质、提升能力等方面非常有用的一种尝试.

思变是在理解与掌握相关问题或事物的基础上,通过问题的进一步探究与变式拓展,结合思维的多角度、多层面发散与提升,达到“一题多解”“一题多变”“一题多得”“多题一解”等目的,从而不断深化思维,全面提升数学思维品质与数学各方面的能力,促进深度学习.

在数学解题研究中,学生通过深度学习,全面完善相关数学知识体系,形成良好的认知结构,正确分析题意,挖掘问题本源,在此基础上加以合理处理与求解,并进一步合理变式与拓展,促进深度学习,从而实现数学学习从“知道”到“学会”,从“学会”到“会学”,形成数学能力,养成终身学习习惯,提升数学品质,发展核心素养.