设计梯度练习，实现高效学习

斯海棠

［摘  要］ 梯度练习以结构化的系统设计探索解题的规律和特点，有利于深化学生的认识，提高学生的学习效率。数学教师要基于习题的类型、计算难度、考查范围、设问引导等方面设计不同层次的梯度练习，使不同个性的学生都能用合适的方式达成学习目标，实现高效学习。

［关键词］ 梯度练习；高效学习；学习效率

苏霍姆林斯基认为，提升数学教学效果不在于追求解题的数量，而是学生在解题中能够通过自己的努力找到合适的方法，从而体会学习的成功。因此，教育要面向全体学生，尊重学生的个性需求，从而激发学生潜能，调动学生的学习兴趣。练习题是数学教学中必不可少的环节，能够助力学生巩固所学知识，提升解题技能。数学教学中教师要根据学生的不同特点选择合适的练习，使每个学生都能找到合适的学习方法，获得发展。教师在命制练习题时要以学生为中心，根据学生的认知规律设计不同梯度的练习题，探索习题之间的联系，真正满足学生个性化的学习需求。

一、何谓数学梯度练习

数学梯度练习题是指按照学生的不同发展水平，围绕考查知识点设计分层次的习题。这些习题组合成系统的结构，从而为不同水平的学生找到合适的学习方法，实现发展目标。教师在设计梯度练习题时要围绕重点知识和技能进行分层设计，从基础练习到拓展练习再到提升练习，以不同的习题类型、习题难度、习题内容逐层递进，锻炼学生的思维能力。梯度练习题具备从不同角度考查学生的特点，并具有一般习题所没有的诊断功能，能够从不同的角度发现学生的知识盲点，从而提升学生学习的实效性。

因此，在设计练习题时教师要注重结构性的特点，注重题量适中、题型合理、目标明确。梯度练习要遵循学生的认知规律和学习目标，使学生通过循序渐进的练习实现从低阶思维向高阶思维的发展。

二、梯度练习的设计策略

梯度练习的设计以课程目标为依托，立足于学生的实际发展水平和发展规律。教师要根据不同学段的具体培养目标，依据学生的实际能力水平，进行分层教学活动设计，关注练习设计的层次性和结构性，从知识技能、难度结构、兴趣培养等不同角度设计，做到由浅入深、层层递进，能促进学生学习目标的实现。

1. 按照习题类型设计梯度练习

习题设计要从题型、内容及作用上关注层次性和结构化，以多样化的形式满足不同学生的需求。比如在题型设计上既可以是传统的书写、计算类习题，也可以是实践操作题，还可以是选择题。习题内容上要关注不同知识点的考查，可以通过不同情境考查同一知识点，也可以通过不同的题型从不同角度考查同一知识点。习题设计还要考虑作用的多样化，对于不同的考查要求要选择不同的习题练习，可以是考查基础知识的掌握情况，也可以进行拓展和提升，从而满足不同个性的学生需求，以落实教学目标，发展学生的核心素养。

案例1  “倍数和因数”的练习

（1）想一想。

数字3、4、5的倍数有哪些？是否有三位数同时是这三个数的倍数，其中最小三位数和最大三位数分别是什么？

（2）判断题。

①18的约数有3。

②任何数的倍数都比这个数的约数小。

③一个含有约数的自然数一定是偶数。

（3）选一选。

从数字25、10、15、18中选出与其他数字不同的数_____。

（4）算一算。

六年级（5）班学生超过50人，但是总数不超过70人，排队时假设以3人、5人、7人为一排都余2人，那么六年级（5）班一共有多少学生？

（5）寫一写。

小明家的电话号码是多少？

小明家的电话号码有以下特点：第一位数字是10以内最小的偶数，第二位数字是第一位数字的最小倍数，第三位数字的最大约数是7，第四位数字既是偶数也是质数，第五位数字是3和9的最小公约数，第六位数字是7的最大约数，第七和第八位数字比最小的合数多1和2。

本例中的设计题型非常多样化，考查内容丰富，习题的作用很全面合理：通过写一写帮助学生准确理解倍数的含义；通过判断题进行概念的辨析识别；通过填一填提升学生灵活解题的能力；通过算一算引导学生在具体问题中运用知识；通过猜一猜，以问题情境增强学生解决综合问题的能力。这样类型丰富的梯度练习不仅能帮助学生巩固所学知识，提升解题能力，还能增强学生学习的兴趣，使学生感受数学的意义。

按照习题类型设计梯度练习，即是通过丰富和多样的题型对同一知识点进行考查。在设计过程中，教师要关注习题的层次性和结构性，不能进行简单的练习叠加和重复，要深入分析知识的内涵，使学生能通过不同类型的练习获得思维能力的提升。

2. 按照运算难度设计梯度练习

运算能力是数学的核心素养之一，练习运算的难度影响着学生的练习效率，教师根据学生的不同能力水平设计难度适宜的练习能够提升学生的学习信心，同时还能激发起学生的学习欲望，提振学习动力。

因此，合理设计梯度练习要依据学生的实际学习水平和学习情况进行，按照学生的“最近发展区”进行分层设计，让学生能够通过思考分析找到不同难度习题的解题方法，从而增强学习的获得感。合理的梯度练习帮助学生由浅入深地进行探究，能够逐个击破难点，为学生进一步解决综合性的复杂问题奠定了基础。

案例2  “长方体表面积”的练习

（1）你知道怎么求正方形的面积吗？如果在正方形的一角割去一个小正方形，那么剩下的图形与原来的正方形相比，面积和周长会发生什么变化？

（2）如何计算正方体的表面积？在正方体中挖掉一个小正方体，剩下的图形与原有图形相比发生了什么变化呢？

（3）观察图1，第一排的图形为长方形，第二排为长方体，长方形被挖掉一个图形之后面积和周长发生了什么变化？在长方体棱角处挖掉一个正方体之后，该长方体表面积和体积发生了什么变化？

本例中的梯度练习设计采用图形描述的方式，相较于单独依靠文字叙述更加形象具体。考查正方体表面积的变化一般按照文字设计时可以直接表述为将一个正方体的棱角处挖掉一个小正方体，它的表面积会发生什么变化？仅仅依靠文字表述学生难以想象正方体被挖去一部分之后，表面积会发生什么变化，反而容易产生思维定式，认为“凡是挖去一般会减少”。通过图形进行形象直观的表述，弥补了学生在思维上的缺陷，提升了学生的空间想象能力，使学生能够直观地观察到正方体被挖去一部分之后所发生的变化，从而计算出变化之后的表面积。这样既锻炼了学生思维的深刻性，又为学生进一步学习其他物体表面积的变化奠定了基础。

本例练习中的三个问题运算难度有逐渐增加的趋势，从平面图形面积周长的变化，到立体图形体积和表面积的变化，平面图形的解决为立体图形的解决奠定了基础，体现出梯度练习的结构性和目标性。这样，学生在完成上一个任务的情况下，能解决更具难度的问题，由此提高思维的深刻性。

3. 按照知识领域设计梯度练习

数学知识的发生和发展都有深刻的逻辑关系，设计梯度练习只有遵循数学知识之间的逻辑关系才能提高练习效率，避免因为逻辑不通、知识割裂等造成的解题困难。

因此在进行梯度练习设计时，教师要关注知识的开放性，要通过问题的引导扩大知识的覆盖面，关注不同领域知识的考查，提高学生思维的灵活性和深刻性，避免定式思维造成学生解题思路的局限，影响解题技能的提升。梯度练习的设计要注意考查学生的综合素养，要突出习题类型、难易程度、考查知识点的综合性，以提升学生对数学知识和技能的掌握。

案例3 “平面图形的面积整理与复习”的练习

（1）试一试。

将两个完全一样的直角三角形拼成一个平行四边形。

（2）比一比。

将拼成的平行四边形在小组内进行比较，它们的周长和面积是否相等？

（3）想一想。

你还能拼成哪些图形？拼成的图形中，哪类图形最多？

本例中的梯度练习通过将一个知识点不断拓展，考查了该知识点的不同层面，扩大了习题的覆盖范围，使学生厘清知识点之间的联系，从而提升解决综合问题的能力。在学生已经掌握了平面图形面积计算知识的基础上，进一步对这一单元内容进行整理和复习，就需要通过练习设计引导学生厘清平面图形面积之间的关系。因此，本例中首先通过直角三角形构造出平行四边形，使学生明晰两种图形之间的关系；然后通过比较拼成的平行四边形的周长和面积，厘清图形变化带来的面积和周长的变化；最后思考直角三角形拼成的图形中哪一种图形最多，以培养学生的空间观念，增强学生解决几何图形问题的能力。

按照知识领域设计梯度练习关注考查的知识点的不同层面，通过不同角度的问题设置，引导学生开展逐层探究，拓展了学生的思维领域，使学生更好地把握知识点的内在逻辑关系，提高了思维的灵活性。

4. 按照问题引导设计梯度练习

解决问题的关键是找到解题思路，特别是在解决综合性的复杂问题时，学生常常会在探寻解题思路时遇到困难，出现束手无策的现象，因此教师可以通过启发式的问题引导学生逐层探究，帮助学生搭建解題台阶，打开解题思路。按照问题设计进行梯度练习是提升学生思维能力的一种有效方式，教师要通过分层设计问题引导学生拆解复杂的问题，启发学生寻找解题思路，从而帮助学生找到解题的方向，巩固其所学知识，提升其解题能力。

案例4  设计六年级上册“扇形的面积”梯度练习

师：图2是一把打开的扇子，你知道这把扇子是什么图形吗？这把扇子的周长包括了哪些部分？在测量计算周长的过程中，有没有遇到什么困难？

（1）如图3，这幅图中的扇子比图2增加了什么条件？你们能计算出它的周长吗？

（2）如图4，增加了一个圆形，圆形的面积与扇形的面积有关系吗？你们能计算出它们的面积比吗？可以计算出扇子的周长吗？如果还有困难，我们继续看以下的问题。

问题：你认为应该如何计算圆的面积？请写出你的计算方法。比较扇形与圆的面积，写出两者之间的数量关系。你能根据圆心角的大小，计算出扇形与圆的面积比例吗？

本例中的梯度练习将复杂的问题进行拆解，通过问题引导的方式帮助学生建构知识体系，提升学生对问题的理解，增强学生学习的信心。本例要引导学生学会计算扇形的面积，但是教师并没有直接告诉学生扇形与圆形之间的关系，而是首先通过引导学生建构扇子与扇形之间的联系，计算出扇形的周长，然后通过扇形面积的计算，探寻扇形与圆形之间的关系，使学生对扇形的面积计算有了更深刻的认识。通过问题引导将原本复杂的扇形面积、周长计算问题进行拆解，层层递进，逐层探究，能使学生自然生成从图形认识到图形关系的探究认识。

问题引导的梯度练习立足于学生的实际学习水平和认知规律，以不同层次和角度的问题引导学生逐渐探寻问题的本质，使不同的学生在学习过程中都能找到解决问题的方法，收获知识，真正实现个性化的学习历程。

综上所述，梯度练习是按照课程目标、立足学情进行的结构化习题设计，强调练习的层次性和结构性，协调了学生的认知水平与考查范围，提升了学生学习的效率。这样的梯度练习有明确的目标和计划，能够诊断学生的问题，使教学更加精准有效。