学科育人视域下的“数学美”渗透

华秀祥

［摘  要］ “数学美”是立体、多元的。从学习的视角来看数学美，不能只看到数学的“本质美”，还要看到数学的“育人美”。学生通过数学学习变得更会看（观察）、更会想（思考）、更会说（表达），让自身的成长更有力量。

［关键词］ 数学美；本质美；思维；立德树人

美是人们对事物的一种感觉。希腊语审美（Aesthetikos）原意就是感觉。对于美而言，客观的本质属性就是审美的对象，能引发人们从各个角度观察与追求：一方面，人们借助数学能够很好地认识、理解和表达现实世界中的那些具体的、具有规律性的东西。正如马克思所说，美的客观本质属性相对稳定，具有规律性；另一方面，数学本身具有美的本质属性（简洁、对称、周期、和谐）。许多数学家不仅从逻辑的角度，还从美的角度审视数学结论。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）规定的数学学習的“总目标”提出：“对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。”［１］总目标把“欣赏数学美”跟“兴趣”“信心”“习惯”等放在了一起，将其列入了“情感态度与价值观”。数学美的教学分布在新课标“学段目标”中：一、二年级“感受数学美”，三、四年级“体验数学美”，五、六年级“体验并欣赏数学美”，七、八、九年级“欣赏并尝试创造美”。

一、欣赏数学的“本质美”

爱因斯坦说：“美，本质上终究是简单性。”《周易·系辞》中记载：“易则易知，简则易从……易简而天下之理得矣。”中国哲学倡导大道至简，人们普遍认为恰到好处的简洁是一种美。数学的首要特点就是它的简洁性［２］。

“用字母表示数”主题单元教学含有字母乘法算式的简写，用含有字母的乘法算式表示数量关系比文字简单，学生有深刻的体会。可不可以表示得更简单？面对教师的问题，学生一脸疑惑，教师用“小度讲故事”的形式让学生自学。含有字母乘法算式的简写规则是本单元教学的重点和难点，学生单靠自学肯定不能将知识内化。

首先，让学生开展小组合作学习，组内交流自己的收获；然后，第二组的4个学生到讲台与全班交流，其他5个小组进行补充。在组与组、生与生的思辨中，学生知道：含有字母的乘法算式，乘号可以简写成“·”，或者省略不写。字母和数字相乘，如果要省略乘号，必须把数字写在字母的前面；字母和1相乘时，字母前面的1可以省略不写；两个相同的字母相乘，可以写成字母的平方，表示两个相同的字母相乘。教师让学生讲述自己的体会，学生一致认同数学的“简洁美”。那一刻，数学的简洁美已经在学生的心中播下了种子。

学以致用——教师首先让学生把4×a以及正方形周长（C＝4×a）和面积（S＝a×a）计算公式用更简单的形式表示，使学生熟悉简写规则；然后通过游戏进行深度学习：要求学生辨析a＋a可不可以简写？如果可以，怎么简写？表示什么意义？它和a×a有什么区别？教师精准抛出一系列和字母学习主题有关的深度核心问题后，学生进行了热烈的讨论。围绕这些核心问题，学生能在质疑、辩论、反思中感受数学的简洁美。

简洁美体现了大自然的普遍规律，这就是大自然的统一性，也是科学家常说的秩序。比如，圆不论大小，周长与直径的比都是一个固定的常数，这个常数是一个不可思议的无理数π。比如，多边形中三角形内角和180°，直角三角形的勾股定理，长方形、平方四边形、三角形、梯形面积公式统一，长方体、圆柱、圆锥体积公式统一，顶点、棱、面个数关系的欧拉公式等。正是因为大自然以及数与图形的统一性，使人们认识了简洁美。

二、把握数学的“育人美”

小学数学教学的根本任务是“立德树人”。让学生体验数学的美不是靠告知和灌输，而是教师要在单元整体目标的引领下创造合适的情境、活动，运用合适的载体，让学生在真实的活动中，在与有形之物、无形之思的碰撞与互动中体会数学的育人美。

数学的美是创造，是简单中的复杂，是无序中的有序。机械模仿不是美，迁移、应用、创新才是美。“用字母表示数”一课设有北京旅游的情境：1个房间有4张铺位，2个房间有4×2=8（张）铺位，3个房间有4×3=12（张）铺位，4个房间有4×4=16（张）铺位……这样的情境机械重复，学生凭借已有知识就能解答，无法激起兴趣。

教师让学生用1个算式概括这里的所有的计算，于是有学生提出：可以用a表示房间的数量，4×a就是一共的铺位数。从用具体的数表示房间的个数，到用抽象的字母a表示房间的个数，这是学生思维一次大的跨越。课堂上部分学生先是疑惑，听了同伴的解释后恍然大悟：字母a神通广大，不仅可以表示1间房，还可以表示2间房，在这里它可以表示任意房间的数量。这时有个学生补充说：“这里的字母a虽然神通广大，但它只能表示1、2、3……这样的自然数，字母a表示的数不可能无限大。”听完他的话，学生都安静了下来，他们的思维在飞速运转，片刻之后有些学生轻轻点头表示默认，用灿烂的笑容为同伴点赞。数学思维的美，数学严谨的美，充满了整个教室！

教师抛出新的问题：“有谁能理解他说的4×a表示什么意思？”这一次举手的学生很多，似乎都理解了。一个女生说：“4×a表示铺位的张数。”大部分学生不再举手，表示同意。只有一个男生高高举手，他说：“这里的4×a 还可以表示铺位的张数是房间数量的4倍。”

教师装作不懂，让他接着解释：“a是房间的个数，4×a就表示铺位数量是房间数量的4倍。”听了他的解释，其他学生鼓掌表示赞同，教师也笑了，掌声让他清楚学生已经掌握了这个知识点。教师在黑板上认真地板书：4×a既可以表示铺位数，又可以表示铺位数是房间数的4倍。在铺位数的下面标注“数量”，4倍下面标注“关系”，旨在强调含有字母的乘法算式不但可以用来表示数量，而且可以用来表示两个数量之间的关系。欣赏着黑板上简洁的结构性板书，数学的简洁美让每一位学生都看得真真切切。

数学的美在于通透。通透中见美，是数学育人美的重要特征。通透与美总是紧密相连的，唯有通透才能感受到数学的美［３］。一节数学课，学生走进教室，40分钟后走出教室，会有什么变化？这与教师对教学内容的理解是否通透，对学生日常经验以及在其他情境中已经获得的先前知识是否了解有关。教师只有将教学内容、教学目标、教学评价和学生已有认知理解通透了，才能设计出适合学生的情境化的教学材料，确立学生的“最近发展区”，学生才能在教师的帮助下走向深度学习，才能感受到数学通透的育人美。

苏教版四年级下册“可能性”单元例题：口袋里有1个红球和1个黄球，从口袋里任意摸出1个球，可能摸出哪种颜色的球？日常经验中学生已经知道，可能摸出红球，也可能摸出黄球。学生已经会解决的简单实际问题，教材到底想让学生通透理解什么数学知识？其实教材是想让学生通透理解“随机现象”，即在一定条件下，在个别实验或观察中呈现不确定性，但在大量重復实验或观察中其结果又具有一定规律性的现象。学生通过小组合作，从口袋里随便摸出1个球，观察后放回，一共摸了10次。小组长记录10次摸出球的颜色，把6个小组的摸球情况都一一展示到黑板上。

第1组：黄、黄、黄、黄、黄、黄、红、黄、黄、黄；

第2组：红、红、红、红、黄、红、黄、黄、红、黄；

第3组：黄、黄、红、红、红、红、黄、红、红、红；

第4组：红、黄、红、黄、黄、黄、红、红、黄、黄；

第5组：红、黄、红、黄、黄、红、红、红、黄、红；

第6组：黄、黄、黄、黄、黄、黄、黄、红、红、黄。

每个小组口袋里都是1个红球和1个黄球，可是摸出的结果却不一样。横向比较，会发现：第1、6小组到第7、8次才摸到红球，第2、4、5小组第1次就摸到了红球，第2小组连续摸到红球，可第6小组几乎到最后才摸到红球。纵向比较，会发现：同样都是第一次，2、4、5小组摸到的是红球，1、3、6小组摸到的是黄球……教师在黑板上整齐展示，让学生通透理解“随机”的含义：在摸球之前不能确定摸出球的颜色，上一次摸出球的颜色也不能影响下一次摸出球的颜色，任意摸一次的结果都是随机的。

教学试一试：口袋里有2个红球，任意摸出1个球，可能摸出哪个球？摸出的一定是红球吗？为什么？这个问题学生回答摸出的一定是红球，因为口袋里只有红球，但少有学生会思考得通透，可能摸出左边的红球，也可能摸出右边的红球。“试一试”教学的是“确定性现象”，但“确定性现象”中也有“随机现象”。一会儿左边的红球，一会儿右边的红球，学生的理解真能通透吗？他们会关注红球的左右吗？大多数学生只会关注2个红球。课堂上教师将口袋里的2个红球标上1号和2号，方便学生准确记载摸出的是几号红球，这种可视性的标签让学生通透理解了“确定性现象”中的“随机现象”。摸出的一定是红色的球，但可能是1号的红球，也可能是2号的红球，并且它们出现的机会是随机的。教师在课堂上让“随机现象”“确定性现象”变得可视，变得通透，变得美丽。

三、美美与共，立德树人

数学的本质美与生俱来，它的简洁、对称、周期、和谐具有一般性。数学与其他学科融合在一起，也是国际课程的发展趋势。新课标丰富了“综合与实践”的内容，与跨学科知识、历史文化有机结合。数学是一种语言，成为人们表达现实世界的工具，与人们的生活息息相关。

对称是物体在某种变换下保持不变的性质。图形中有对称美，物体中有对称美，代数中同样有对称美，比如a＋b＝b＋a；a×b＝b×a；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2中a和b可以交换。对称现象在生活中随处可见：埃及的金字塔、西安古城、彩色的蝴蝶、运动的足球……对称给人以平衡、典雅、和谐、稳定的感觉，人们逐渐把对称演化为美的享受。

自然界有很多周而复始、绵延不绝的现象，人们称这样的现象具有周期性。仰望星空，会发现星空围绕北极星旋转具有周期性；生活在海边，会发现海水潮起潮落的循环具有周期性；耕种田野，会感悟季节春种秋收的交替具有周期性；生活中太阳升起落下，日复一日；月亮阴晴圆缺，月复一月；气候四季交替，年复一年。一年中春夏秋冬四季轮回，一周中星期一到星期日7天循环，一天中24个小时不停轮转。数学以及生活中处处都有“周期美”。

和谐出自《管子·兵法》：“和合故而能谐”，是指人与人之间配合适当、和平共处，人们把和谐作为审美的标准。和谐不等于相等，比如一幅画包含多种颜色，和谐并不是这幅画中所有颜色占有相同的面积，而是根据绘画的内容以及颜色的深浅确定适当的比例；把一条长度为1的直线段分为不相等的2段，长段为x，短段为1－x，古希腊认为最美的比例应当是长段/整段＝短段/长段，也就是x∶1＝（1－x）∶x，得到方程x2＋x－1＝0的解x＝0.618，这便是数学上最美的黄金分割点。

在美的课堂教学中，学生结合这些美的教学材料，深度走进小学数学：课前学生会预习，课中学生从数学的角度去观察，课后学生会用数学的眼光看世界，让学生既能从数学的角度去分析问题、解决问题，又能用数学的语言去发现问题、提出问题；课前学生有想法，课中学生的思维得到提升，课后学生思考问题变得更加全面，尤其是批判性思维的发展，让学生在生活中会有更多奇妙的创造；课前学生能用自己的语言表达，课中学生学习用专业的数学语言表达，课后学生借助数学语言很好地认识、理解和表达现实世界中那些具有共性的、规律性的东西。

美可以陶冶人的道德情操，增加生活乐趣；美可以改善人的思维品质，提高行为素养。美的数学课堂让学生的学习更美好，让学生的成长更有力量。数学的“本质美”与“育人美”二者融合，一切皆美，此乃数学美的大境界。

参考文献：

［１］ 张义磊. 让儿童感受数学之美，发展学科素养［Ｊ］. 教育家，２０２２（２０）：６５.

［２］ 许卫兵. 小学数学整体建构教学［Ｍ］. 上海：上海教育出版社，２０２１.

［３］ 田慧生. 深度学习：走向核心素养［Ｍ］. 北京：教育科学出版社，２０１９.