巧借数学思想 助力复习教学

王冠军

［摘  要］ 借助各种数学思想助力复习教学，能有效提高复习效率。文章以“认识更大的数”的单元复习教学为例，从五个方面展开分析：巧借分类思想，梳理复习脉络；巧借类比思想，发现知识联系；巧借化归思想，提炼学习方法；巧借整体思想，设计题组练习；巧借数形结合思想，提升解题能力。

［关键词］ 数学思想；复习；更大的数

小学数学复习课是指完成阶段性教学后，教师带领学生对这一阶段所学内容实施系统性的总结、归纳，以帮助学生巩固提升实际应用能力。复习课应从宏观的角度出发厘清知识脉络，建立知识内部联系，“串珠成链”形成知识板块，绝不可浅尝辄止于碎片化的知识点。事实证明，教师巧借各种数学思想，能有效提升复习教学效率，帮助学生将零碎的知识点整合成“知识树”。

一、巧借分类思想，梳理复习脉络

分类思想既是一种数学思想，又是一种常用的解題方法。分类思想贯穿学生整个数学学习生涯，以积零为整或化整为零的形式呈现。分类思想在复习教学中对梳理知识脉络具有重要意义。

单元复习内容比较杂、多，如果“眉毛胡子一把抓”，难以让学生从根本上建构完整的知识架构和理解知识的本质。分类思想的介入能将单元知识按照一定的标准进行分类、整理，帮助学生更好地理解章节脉络和建构完整的认知体系。

“认识更大的数”单元知识点多且杂，比如包括自然数、数位顺序以及大数的读写法、比较、改写、近似值等。如果教师带领学生逐个回顾知识点的概念并进行配套练习，不仅需要耗费大量时间，而且取得的教学效果也不理想。学生在这种模式下进行复习，只是单纯地重复记忆零碎的知识点，难以真正实现复习的过程性目标，更谈不上提升学习能力。

究竟该如何将本章节零碎的知识点“串珠成链”，帮助学生建构完整、清晰的知识脉络呢？实践证明，分类思想的介入能帮助学生将孤立、分散的知识组织成清晰的脉络图。

比如，对于大数的认识主要涉及大数的读写、比较等内容，教师可引导学生将相应的知识罗列在一起制作成表格（见表1），让学生应用分类思想完善对这部分知识的认识。这种教学模式远远比针对知识点逐个教学的效果好。

教师除了利用表格或思维导图罗列知识框架，还可以应用分类思想对问题进行探索。比如本单元的复习，教师可以呈现如下材料，要求学生根据材料中涉及的数分析问题。

材料：联合国人口基金会发布的2021年世界人口数量显示，截至2021年12月21日，全球人口总数超过75亿人，中国以1411780000人位居世界第一。其中，中国人口中有2.91亿的学生，1844.37万的专任教师……

问题1：材料中呈现了一些什么数？哪些数属于自然数？（复习自然数）

问题2：可以将材料中呈现的数进行分类吗？与同桌互相读一读、写一写各个数。（复习大数的读法与写法）

问题3：尝试将材料中的数进行排队，并说明这么排的理由。（复习大数大小的比较）

学生紧紧围绕材料中的信息进行思考，不仅复习了自然数的概念、大数的读与写，还根据数位顺序进行大小的比较等。自然数、数位顺序、读写、大小比较等内容，教师均通过一则材料所提供的数据一气呵成地完成了复习教学。

在学生顺利完成以上三个环节后，教师要求学生将材料中所有的数进行统一书写后再次分析，并说明如此分类的具体理由。学生经观察提出：可根据整万、整亿、末尾是否为零等标准进行分类。

问题4：将“全球人口总数超过75亿人”这里的75亿写成完整的数，该怎么写？（大数改写的复习）

问题5：生活中，若我们对数的要求不那么精确，该怎么进行简便表示？说说你的做法与注意事项。（复习大数近似数）

一则人口信息材料就能将本章节的重点知识罗列到一起进分析，每一个问题都对应了一个复习重点。随着问题的逐个突破，学生成功地将本单元知识点梳理成知识脉络。知识间的联系与脉络梳理是本节课的“课眼”，学生紧扣“课眼”将各个问题分类整理、逐个击破、总结归纳，使得整个复习教学过程流畅、简约而又不简单。

二、巧借类比思想，发现知识联系

类比思想是指对两个或多个对象的内部属性或关系的相似面进行分析，推导出它们之间存在的共性特征，或由一个事物类比出另一事物特征的思维活动。类比思想是由已知推测出未知，它是猜想的前提，而猜想又是发现的前提。因此，将类比思想应用在复习教学中，不仅能强化学生对原有知识的认识，还能让学生自主发现知识间的联系与区别。

“认识更大的数”单元的复习，大数改写和求近似数的目的与方法具有相似之处，但又是完全独立的两个知识点，怎样让学生自主精准辨析出其中的联系与区别呢？教师可引导学生进行如下思考：改写大数和求大数的近似数都是为了将数据变成以万（亿）为单位的数，那两者一样吗？哪里不一样？

通过对这个问题的思考与交流，学生明确：大数的改写，其大小不会发生变化，只有单位发生变化。这就相当于与别人换零钱，最终换回来的钱数是相等的，改写前后的数用“=”号相连；求大数的近似数是将该数进行四舍五入，即使结果与原数据接近，却不能用“=”号连结，只能用“≈”。

将这两者放在一起进行类比，让学生对这两个概念有了明晰的认识。由此可见，类比思想是数学学习的一大法宝，在复习教学中巧借类比思想，能让学生主动发现知识间的联系，为建立清晰的认知结构奠定基础。

三、巧借化归思想，提炼学习方法

在复习过程中，学生常常会遇到一些无法直接求解的问题，想要突破这些问题的办法就是将这些陌生的问题转化成学生认知范畴内的问题来分析，这就是化归思想的应用。巧借化归思想，可以对问题条件或结论进行变更，也可以变更问题的形式，同时借助数形结合思想化繁为简，促进问题的解决。

化归思想应用方法多样，但不论怎样转化，都是为了将复杂的问题变得简单、通透，便于学生理解。化归思想在复习教学中的应用，一般要遵循以下几个原则：

①熟悉化，即将陌生的内容转化成学生熟悉的知识或经验；②简单化，指将问题的解决方案或处理方式变得简单；③和谐化，通过对问题条件或结论的化归，让其形式变得统一，更符合常规思维；④直观化，即将一些抽象的问题直观具体化；⑤正难则反，若从正面难以处理的问题，可从反面去探索。

“认识更大的数”单元的复习，初看毫无章法可言，并且单纯的知识梳理确实比较棘手。若细细琢磨，会发现各个知识点之间有一定的逻辑关系：这些数大都为自然数，从数位顺序出发，都能准确地读写与比较；想要让大数读、写起来更加便捷一些，可将它们改写为以亿或万为单位的数；求大数的近似数与改写大数存在类似的目的等。从化归思想的角度来分析，识别数的方法则自然形成。

改写大数和求大数的近似数的具体目的是什么呢？目的就是让这些冗长的大数变得更加简捷和便于读写、记忆。如图1，本节课的复习内容通过化归思想可以罗列成一个简单的结构图。

化归思想的介入，让学生对大数改写与求近似值有了更进一步的认识，并在大脑中建构了一个完整的方法结构图，为后续研究类似问题奠定了方法基础。化归思想不仅帮助学生简化复习结构，还贯穿数学解题的始终，解题是将问题从未知向已知不断转化的过程。

四、巧借整体思想，设计题组练习

练习是复习课的重要组成部分，是促使学生从更深层次理解知识与掌握技能以及发展数学能力的途径。练习对于复习课来说，就像新课的总结一样，具有“点睛”的功效。对于“认识更大的数”复习课的题组练习，一般情况下教师会做如下设计：

1. 猜数游戏

（1）比最小的六位数少1的数是什么？

（2）一个由3个百万、4个十万、3个千组成的数是什么？

（3）一个八位數，最高位上是5，百万位上是4，百位上是8，其余各位上为0，这个数是多少？

2. 数字组合

将3个0与3个7组合成符合如下要求的数：①最小的六位数；②最大的六位数；③读数只有一个零的数。

3. 猜价格

若一辆电瓶汽车的价格经过四舍五入后约13万元，那么这辆车的最高与最低价格分别是多少？

此练习题组虽能兼顾到各个知识点，但知识过于零散，学生很难从整体上把握这部分内容。为此，笔者结合学情，巧借整体思想做了如下改进：

（1）3400006读作（  ），若去掉其中1个数字，让该数成为1个零都不读的六位数是（  ），将3400006四舍五入，改写为以万为单位的数是（  ）；

（2）比3400006多2万的数是（  ），将3400006去掉1个数字，变成1个最大的六位数为（  ），四舍五入到万位约为（  ）；

（3）将一个数四舍五入到万位约为34万，该数最大与最小分别是多少？

改进后的题组练习，既兼顾到基础知识，又强调了大数中“零”的特殊性。一数多用的方法不仅突破了教学难点，还让学生从整体的角度对“大数”有了一个完整的认识。尤其是最后一个问题，对学生来说具有一定的挑战性，这对提升学生的数学思维与创新意识具有重要的促进作用。

五、巧借数形结合思想，提升解题能力

数形结合思想是指根据数学问题的条件与结论间存在的内在关联，从代数意义与几何直观两个角度分别进行分析，使其数量关系和空间形式有机融合并呈现出来。

数形结合思想在复习教学中的应用，主要分为以下几种类型：①由形化数，即观察直观的图形，从其特征中挖掘出数量关系，将数学事物的本质特征展现出来；②由数化形，即从题意出发，绘制出与之匹配的图形，以反映出图中所传递的数量关系，具有化繁为简、化抽象为直观的效果；③数形转换，即将数形灵活转换，起到揭示数形关系的作用。

单元复习中的练习训练，基本都是典型例题与变式训练相结合的方式。如果没有数学思想方法的介入，学生很难顺利解决所有问题。复习过程中的问题比新知教学时的问题难度要大一些，对学生的思维要求更高，数形结合思想对解决这些问题有一定的帮助。数形结合思想能将复杂的问题变得简捷、直观，为学生解决综合性的问题服务。

例1  已知一个数，通过四舍五入的办法到万位大约是23万，那么这个数最小是多少？最大是多少？

仅从这一段文字来看，这个问题虽然题干简单，却难以让学生快速探寻出准确的答案。

如图2，若将23万左右的数用图示表达，则能让学生快速发现23万到24万之间，中点左侧接近23万处，哪些数能够“四舍”到23万；22万到23万之间，中点右侧接近23万处，哪些数是可以“五入”至23万。

通过画图、读图、分析图，学生很快就解决了这个抽象的数学问题。由此可见，将直观的“数轴”应用在此题中，不仅彰显出数形结合思想对复习教学的优势，还有机渗透了数集和直线上点集一一对应的数学思想，为学生后续学习夯实了基础。

数学家拉格朗日提出：若几何与代数“分道扬镳”，那么它们的应用都会变得狭窄，进展会变得异常缓慢；而将它们组成搭档时，两者则会互相吸取对方的优点，彰显出数学学科的魅力，加快发展进程。虽然小学阶段尚未涉及高深的数学内容，但教师应尽早渗透与应用数形结合思想，让学生形成良好的数形结合习惯，这对学生长远的发展具有重要促进作用。

总之，学生在课堂中掌握的知识随着时间的迁移会逐渐出现遗忘，但受教育过程中获得的数学思想方法、严谨的学习习惯、研究问题的基本途径等不会随时间的流逝而淡化，这些将是促进学生可持续发展的基础。