单元整体观念引领下的起始课设计与实践——以“等腰三角形”一课为例

张淑婷

（浙江省杭州市景汇中学）

一、缘起：单元起始课教学中的误区分析

学习数学概念，是学好数学的基础.对于数学三大核心领域之一的几何学的学习，掌握图形的概念和学习路径对学生建立完整的几何体系非常重要.三角形是初中阶段重要的几何图形之一，研究三角形的过程可以激发学生的创造性思维，提升学生对数学的认识.三角形中的特例（等腰三角形，直角三角形）的地位往往也是特殊的，对特例的研究具有典型性和示范性.笔者以浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“浙教版教材”）八年级上册“等腰三角形”一课为例，通过教学设计和实践，提出对单元起始课教学的一些思考.

在当前的起始课教学中，普遍存在以下两点误区.

1.过于注重概念阐述，忽视概念的形成

教学中，有些教师过分地强调概念的叙述，没有从数学内部把数学概念的形成、发展讲清楚，导致学生对概念的理解模糊，学生“知其然，不知其所以然”，忽视了概念之间的联系.

浙教版教材八年级上册第二章“特殊三角形”主要研究等腰三角形和直角三角形，是第一章“三角形的初步知识”的延续和深化.从整体来看，这部分内容遵循从一般到特殊、从定性到定量的研究路径.在单元整体观念引领下，上好“等腰三角形”这一“特殊三角形”单元的起始课，为后续学习等腰三角形的性质和判定构建整体框架，也为研究直角三角形或其他几何图形起到引领和示范作用.

2.单纯注重概念应用，忽视知识间的联系

在单元起始课的教学中，教师通常采用“概念＋例题”的教学模式，使学生忽视了从问题到方法、结论之间的探索过程.

本节课研究的内容是等腰三角形的概念及其性质（轴对称性），如果仅讲解教材上的内容，解决教材中的例题，既不利于加深学生对等腰三角形及其衍生结构的理解，也不利于后续学习直角三角形、四边形时对知识和方法进行迁移和联系.因此，通过上好单元起始课提升学生对知识的整体建构能力是十分有必要的.

二、架构：单元整体观念引领下的教学思路

1.教材内容分析

单元整体教学是根据系统论的整体性原则，将知识的一个单元视为一个整体，立足单元整体开展教学设计和实施.通过对教材内容重新整合、整体呈现，实现课堂教学效率的提高，体现数学知识之间的内在逻辑关系.通过分析人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）和浙教版教材，笔者发现两者都将等腰三角形安排在轴对称之后学习，意在借助轴对称来研究等腰三角形的一些特殊性质.

人教版教材八年级上册的编排中，等腰三角形是1个课时（定义、性质、判定的研究在1个课时内完成），等边三角形是1 个课时.学生在学习等腰三角形的内容前已经学习了直角三角形，因此可以类比直角三角形的研究思路，按照“定义—性质—判定”的思路研究等腰三角形.浙教版教材中，先学习等腰三角形，再学习直角三角形，因此等腰三角形的研究呈现了图形特例研究的示范.浙教版教材中将等腰三角形内容设置了4 个课时，其中等腰三角形的性质分2 个课时（其中包含等边三角形的内容）完成.学生收获的知识可能是碎片化的，很难自主进行知识的联系和方法的迁移.由此对教材内容进行分析、重组、整合，遵循“整体—局部—整体”的顺序，强化知识之间的内在联系，构建一个前后一致、逻辑连贯、迁移能力强的数学认知结构，让学生形成图形研究的思维系统.

2.教学思路分析

本节起始课教学分为4 个阶段（如图1），每个阶段对应本节课的教学环节.

图1

阶段1：获得概念.

学生已经学习过三角形的初步知识，研究了三角形的相关要素（边，角，重要线段），以及全等和轴对称的相关知识.本节课是在研究了一般三角形的基础上，将边的大小关系特殊化引入的一类三角形——等腰三角形，是从一般到特殊的范例，对后续研究直角三角形或其他几何图形起到了一般观念的引领作用.

阶段2：运用概念.

在等腰三角形的定义和表示的学习过程中，让学生聚焦等腰三角形中边的相关问题，通过辨一辨、算一算、证一证三个环节让学生理解等腰三角形的概念，其中包含了归纳推理思想，具体体现在解决与等腰三角形相关的证明题的解决过程中；在解决等腰三角形中边的计算问题时，用到了分类讨论和方程思想.

阶段3：探索性质.

等腰三角形是反映对称性最基本的平面封闭图形，所以涉及对称思想.八年级学生已经学习了三角形、全等三角形和图形的轴对称.而等腰三角形具有轴对称性，此性质的得出需要根据已有知识经历观察和归纳的过程.在轴对称性质的应用过程中，针对等腰三角形中线段间关系的问题，学生习惯用全等解决，若直接应用等腰三角形的轴对称性解释并表述，学生需要一个认识和熟练的过程.

阶段4：梳理总结.

教师以问题串的形式与学生一起梳理本节课所学内容，让学生进一步整体感知获得几何对象、研究几何对象的过程，获得研究几何对象的“一般方法”，即“定义—性质—判定—应用”，为后续学习直角三角形或其他几何图形提供路径和方法，体现了数学的整体性和连贯性.

三、实践：指向学生发展的单元起始课教学

环节1：获得概念.

问题1：（操作1）把一张长方形纸片沿图2中的虚线裁剪，可以得到什么图形？

图2

追问1：在前面的章节，我们是怎样来研究三角形的？

追问2：若将三角形的要素特殊化，又会有什么新的结论呢？

追问3：（操作2）把一张长方形纸片按照图3中的虚线对折，再沿图4 中的任意虚线裁剪，展开后能得什么到图形？结合裁剪的过程来看，展开后的图形形状有什么特点？

图3

图4

追问4：（操作3）把一张长方形纸片沿图5中的任意虚线裁剪，可以得到什么图形？结合裁剪的过程来看，展开后的图形形状有什么特点？

图5

师生活动：教师执行操作1，学生回答得到了三角形，研究了它的要素——边、角、重要线段，还研究了两个三角形间的关系——全等.教师执行操作2和操作3，引导学生从形状的角度观察后归纳：将一般三角形的边、角特殊化后可以得到等腰三角形或直角三角形.从一般到特殊地获得本节课的研究对象——等腰三角形.

【设计意图】研究几何对象，主要研究其形状、大小、位置关系.在直观裁剪长方形纸片的过程中，引导学生回顾研究三角形的基本思路是从它的要素着手，引领学生感受从一般到特殊的图形研究路径.

问题2：类比三角形的学习过程，我们可以怎样研究等腰三角形？

追问1：回忆等腰三角形的概念，你能画一个等腰三角形吗？试在教材中找到等腰三角形中的边、角的表示方式.

追问2：进一步理解等腰三角形的概念，你能用符号语言表示吗？

追问3：再看等腰三角形的定义，主要研究的是什么？

师生活动：学生回忆三角形的研究过程，类比得出研究等腰三角形也要从它的要素（边，角，重要线段）入手.接着，教师引导学生从等腰三角形的定义入手，用文字语言、图形语言、符号语言对概念进行规范陈述，然后通过定义让学生聚焦等腰三角形的要素之一——边.

【设计意图】获得研究对象后，引导学生类比三角形的研究过程，规划等腰三角形的研究方法，渗透类比思想，体现了数学学习的连贯性.

环节2：运用概念.

辨一辨：如图6，在△ABC中，点D在边AC上，AB=AC，AD=BD，则图中有几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角.

图6

【设计意图】通过在等腰三角形中添加一条线段，让学生对等腰三角形的定义进行辨析，考查学生是否认识等腰三角形，能否判断等腰三角形.

算一算：若等腰三角形的两边分别为3和5，则它的周长是_______.

练习1：等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 和12 两部分，求等腰三角形的底边长.

师生活动：学生在学习单上完成“算一算”的解答，口述解答过程，并根据“算一算”积累的解题经验完成练习1.学生代表上台讲解解题过程.

【设计意图】从“辨一辨”到“算一算”，体现了从定性到定量的研究路径.“算一算”和练习1本质上是对等腰三角形定义中腰的位置的辨析，当腰的位置不确定时，需要分类讨论.练习1 的解答还渗透了方程思想.

证一证：求证等腰三角形两腰上的中线相等.

追问1：要证明一个命题是正确的，需要经历哪些步骤？

追问2：若将命题中的“中线”改为“高线”，结论还成立吗？改为“角平分线”呢？

练习2：求证等腰三角形两腰上的高线相等.

师生活动：师生一起回顾证明命题的步骤（画图—写已知、求证—证明）.学生代表板演证明过程.然后教师对“证一证”的命题进行变式，让学生在学习单上完成练习2 的证明，教师投屏展示学生的解答过程.

【设计意图】对等腰三角形中与边相关的问题进行推理证明，让学生体会证明线段相等问题可以转化为证明三角形全等来解决，体现了转化思想.练习2 可以通过全等或面积法证明，让学生感受可以从不同角度解决几何问题.另外，角平分线的提出为研究等腰三角形的性质做了铺垫.

环节3：探索性质.

问题3：通过“证一证”环节可以判断图7（BD和CE是等腰三角形ABC两腰上的中线）和图8（BD和CE是等腰三角形ABC两腰上的高线）中的BD=CE.那么，在等腰三角形ABC的边AC，AB上任意取点D，E，连接BD和CE（如图9），是否都满足BD=CE呢？

图7

图8

图9

追问1：再次观察图7和图8，它们有什么共性？

追问2：当点D，E取在什么位置时，BD=CE？

追问3：更一般地，如图10，当点D，E在直线AC，AB上时，也有BD=CE吗？

图10

师生活动：学生在学习单上完成问题3 的探究，观察发现在等腰三角形的两腰上任意取点D，E时，不一定满足BD=CE.由此猜想：当点D，E在特殊位置时才有结论BD=CE.接下来，教师提出系列追问，让学生再次观察、归纳得到保证对称的条件是AE=AD或BE=CD.

【设计意图】通过引导学生关注图形的共性并用准确的语言进行描述，发展学生的几何直观和推理能力.

问题4：根据上面的观察活动，能否归纳等腰三角形是什么图形？它的对称轴是什么？

追问1：如图11，在等腰三角形ABC的边AB，AC上取点E，D，使得AE=AD，连接DE，试问DE与BC有怎样的位置关系？

图11

追问2：利用等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中有许多相等的线段，那么是否有相等的角呢？

追问3：如图12，把长方形卡纸沿对角线折叠，重合部分是什么图形？

图12

师生活动：学生总结等腰三角形是轴对称图形，具有轴对称性.教师及时通过追问让学生利用等腰三角形的性质解决问题并思考后续研究的方向.

【设计意图】让学生经历“观察—发现—归纳”的过程得到等腰三角形的轴对称性并运用新知解决问题，提升学生的推理能力和应用意识.同时，从单元整体的视角对等腰三角形部分接下来要学习的内容进行规划和分析，培养学生主动建构知识框架的意识.

环节4：梳理总结.

教师与学生回顾本节课所学的主要内容，并提出以下问题.

（1）本节课我们主要研究的几何对象是什么？

（2）我们是怎么想到要研究等腰三角形的？

（3）我们是怎样来研究等腰三角形的？

（4）以后学习直角三角形或其他几何图形时可以怎样研究？

师生活动：通过问题串引导学生回顾本节课的主要内容，总结涉及的思想方法，形成如图13所示的知识框架.

图13

四、反思：指向教师发展的单元起始课教学改进

课后，笔者与教研组教师进行了深入探讨，发现在本节单元起始课的设计与实践过程中，有以下几个方面值得探索.

1.捕捉思维生成，促课堂深度

课堂中的“问”和“答”是师生对话的主要形式.教师的问题指向要明确，这会引导学生始终在数学思考中有发现和生成.教师要给予学生充分的思考和探究时间.对于学生的回答，教师都要给予回应，在活动体验中逐渐渗透数学思想，必要时还可以借助信息技术手段丰富学生对几何知识的感性认知.本节课中，还可以多提问有疑惑的学生，这样更有利于引发学生的思维碰撞，使学生在交流中发现问题的本质，促进课堂教学的深度发展.

2.渗透整体观念，促课堂广度

问题解决的过程就是学生调用已有知识和经验解决新问题的过程，包括用更高的观点看问题.反思提升的过程就是在知识和能力之间建立联系的重要过程.本节课通过将一般三角形特殊化得到研究对象——等腰三角形，让学生感受到研究对象的引入是自然而然的，体现了数学的整体性和连贯性.同时，教会学生研究几何对象的一般方法.而研究过程模式化有利于学生学习迁移的发生，为后续学习直角三角形及其他几何图形提供路径和方法.虽然研究对象在变，但研究方法是不变的，展现了课堂教学的广度.

五、结束语

章建跃博士曾说，数学教师的基本任务是帮助学生把一个个具体知识理解到位并能用于解决问题.教师要不断提高自己的教学基本技能，通过不断学习和研究提高对教学内容的整体把握.而单元整体教学就是从单元整体角度让学生学会发现和提出问题、分析和解决问题，从而促进学生学会学习.