单元教学主线的合理设计和有效应用

吴增生

（浙江省仙居县教育教学研究中心）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《标准》）中提出了坚持核心素养导向，推进单元整体教学的建议，具体要求是：“整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养.”这为教学实践改革指明了方向，提供了基本策略.单元整体教学不是在一节课把所有的内容教完，也不是走马观花式的内容介绍和知识的无序拼盘，而是要设计单元教学的逻辑主线，用单元教学的逻辑主线协同不同课时的教学，以实现单元中课时教学的目标协同、前后连贯和逻辑一致.因此，如何合理设计和有效应用单元教学主线，是单元整体教学实践中亟需解决的问题.

一、单元整体教学主线的含义与功能

主线，指的是贯穿事物发展过程的主要线索.教学主线，指的是教学活动发展过程的主要线索.单元整体教学，指的是在理解数学的整体性，分析知识发生发展逻辑的基础上，通过教学活动帮助学生理解数学的本质，构建对学生未来发展有重要意义的知识结构体系，了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立有意义的知识结构，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展数学核心素养.教学活动发展的主线，指的是融合知识发生发展的内在逻辑、学生的学习逻辑所形成的教学活动序列.它决定了单元教学中要研究哪些对象，研究的核心问题是什么，怎样围绕核心问题进行研究，按照怎样的次序开展研究等；它融合了教学计划与策略，设计并决定了教与学活动的有序运行，是实现不同课时目标协同、前后连贯、逻辑一致，体现单元教学整体性的导航框架.从认知和脑科学角度来看，人类学习数学，本质上是基于如数感、集合、连续变量、迭代、空间（如对称、平直、连续、和谐）等直觉，针对情境中的问题提出假设，构建探究、理解和应用数学知识的心理模型，并在与情境互动的过程中修饰和优化心理模型的活动.基于选择性注意及其转换，学生的这些活动是按照一定的目标任务序列进行的，大脑前额叶在形成目标任务序列中起着至关重要的作用，基底神经节、丘脑和海马系统对保持情境中的操作序列起着重要作用，而额叶与顶叶回路在对目标任务序列的注意有序转换中起着重要作用.而且，数学学习具有投射先验假设的特点，已有的数学学习活动经验对形成新的学习序列假设具有重要作用.

二、单元教学主线的合理设计

1.基于怎样研究一类数学对象及对象关系的一般观念设计单元教学主线

这种设计单元教学主线的方法适用于通过研究一类对象或对象关系建构结构化知识体系的知识单元，如平行线、三角形、全等三角形、平行四边形、有理数、分式、一次函数、二次函数、反比例函数等.

例如，在平行线单元中，研究的核心问题是确定平面内两条平行直线在同位角、内错角、同旁内角数量关系方面的充分必要条件，充分条件叫做平行线的判定，必要条件叫做平行线的性质.其研究的思路是“引入定义—符号表示—研究判定和性质—应用”，研究的方法是基于直观发现结论，通过抽象提出判定和性质的猜想，抽象基本事实作为推理的依据，用演绎推理证明平行线的判定与性质，构建平行线的知识体系——这种研究几何对象关系的一般观念可以迁移到其他图形关系（如全等三角形、相似三角形）的研究中.

任意一条直线具有两个相反的方向，可以选择其中的任意一个方向代表直线的方向.为了描述直线的方向，可以画一条与该直线相交的直线作为基准方向，然后用这两条直线相交成的任意一个角的度数描述该直线的方向.平面内的两条直线，要么方向相同或者相反，要么既不相同也不相反.直观地看，符合前一条件的两条直线平行，否则（符合后一条件）两条直线相交.在此基础上，进一步利用以两条直线与基准直线相交而成的以不同交点为顶点的两个角的数量关系刻画两直线是否平行.平行线知识发生发展的根本逻辑是：基于直观，用角的数量关系刻画两条直线的平行关系（位置关系），提出判定和性质的猜想，这是本单元知识发生的起点.在此基础上，基于直观抽象平行线的基本事实，构建推理论证的逻辑起点；进一步地，依据基本事实证明平行线判定和性质的猜想，构建平行线的定义、基本事实、判定、性质的命题之间的逻辑体系.这种逻辑线索体现了欧几里得几何的公理化思想，即通过定义确立论证的对象，通过基本事实确立论证的起点，通过证明确立论证的逻辑，通过命题表达论证的结果.

结合人类在对直线的视觉空间感知活动中方向优先的原理，可以设计出以下的“平行线”单元教学主线：通过现实情境和数学的内在逻辑引入平行线—定义与符号表示—抽象基本事实—研究判定和性质—用命题整理平行线的逻辑结构—应用（研究平移和解决现实问题）.用这一教学主线贯穿平行线单元中不同课时的教学，就可以设计出目标协同、前后连贯、逻辑一致的单元—课时教学系统.如图1，其中的虚线框表示“平行线”单元下的子单元逻辑结构，①②③④⑤⑥表示课时教学顺序，连排数字表示两节课可以先整体教学，再安排习题课，也可以把内容分开教学.

图1

在这一单元教学主线的引领下，课时教学在逻辑主线中的位置、研究的核心问题就可以明确而直观地表示出来.把教材中原来的“命题与证明”教学内容设计为系统整理平行线研究成果、确立论证逻辑、建立命题关系的教学活动，可以提升“命题与证明”教学内容“发展学生的推理能力”的育人价值.

设计这样的单元教学主线，其目的是让学生经历抽象平行线的概念、基本事实、判定和性质等活动，发展空间观念、几何直观和抽象能力；经历以基本事实为逻辑起点证明判定定理和性质定理、构建平行线单元的知识体系的活动，发展推理能力.

2.根据学生学习的认知规律设计单元教学主线

（1）根据方法与策略的学习规律设计单元教学主线.

这种单元教学主线的设计方法适合于方法与策略的学习与应用单元，如方程和不等式的解法，方程与不等式的应用，因式分解，建立数学模型解决问题，统计中的数据收集、整理与描述，数据的分析，用列举法求概率，用频率估计概率等单元.

方法与策略的学习，往往需要经历“模仿操作—反思提炼—迁移应用—建构体系”等学习活动.通过这些活动，让学生经历具体问题解决的过程，通过反思总结抽象方法和策略，将其迁移应用到新的情境，并能重组已有的各种方法和策略，形成新的方法和策略体系.在这些活动中，发展学生对方法和策略的抽象能力，促进学生形成应用特定的数学知识和方法解决特定类别问题的数学直觉，发展模型观念.依据方法和策略的学习规律可以设计“问题导向，体会方法—反思总结，提炼方法—迁移应用，巩固方法—关联重组，形成体系”的单元教学主线.

例如，在因式分解单元中，核心内容是提公因式法、公式法等因式分解方法的学习.因式分解的方法来源于整式乘法与因式分解的逆向变形关系.因此，可以设计如图2 所示的单元教学主线（图2 中的虚线框表示本单元下子单元的教学内容，虚线框中的数字表示课时教学顺序，有多个数字序号的表示用多个课时进行教学）.因式分解的单元划分是按照“总—分—总”的结构设计的教学主线，每个子单元的教学主线又是按照“提炼方法，应用巩固”的顺序展开的.“关联重组，形成体系”的学习任务则是综合应用各种因式分解方法，或根据因式分解与整式乘法关系重组和创新因式分解方法研究问题，并系统整理各种因式分解方法，形成方法体系.基于这种单元教学主线，可以设计各种因式分解方法的抽象活动及应用巩固活动，促进学生抽象能力的发展，帮助学生形成用因式分解方法进行恒等变形的技能，发展学生的运算能力.

图2

（2）根据问题研究过程的逐步分化原理设计单元教学主线.

从直观到抽象、从粗略到精细、从定性到定量、从整体到细节再到整体，这是问题研究的一般规律.根据这一规律，可以设计符合学生认知规律的单元教学主线，这种教学主线适合于逐步深入地研究一类对象（或对象关系）的单元内容，如圆的概念和性质，轴对称、平移、旋转等图形变化的单元内容.

例如，圆是最美的平面图形，其“美”体现在圆的对称性，经过圆心的任何直线都是它的对称轴，圆具有旋转对称性，将圆绕着圆心转过任意角度后仍然与原来的图形重合.研究圆的这种对称性在圆的构成要素上的体现——圆上两点的位置关系在对称运动中的变化规律，这是研究的核心问题.圆与直线都是线（一维空间），都具有很好的对称性（直线有无数条对称轴，过直线上任意一点的垂线都是这条直线的对称轴），直线的对称轴进行任意平移以后还是对称轴，圆的对称轴绕着圆心旋转任意角度后仍然是这个圆的对称轴.因此，可以类比直线学习圆.类似于直线，在抽象圆的定义（包括圆的发生式定义和点集定义），明确圆的共性后，沿着两个方向产生新的研究问题.一是研究平面上的点与圆的位置关系，并借助距离进行初步量化表达（类比直线对平面的分隔，研究圆对平面的分隔）；二是提出如何量化表达圆上任意两点之间的位置关系（类比直线上点的分隔与顺序，研究圆上点的分隔与顺序），引入弦、弧、圆心角的概念（刻画圆上两点位置关系的几何量），研究圆的轴对称性及在轴对称下对应点位置关系的特征（用弦和弧描述）——这就是垂径定理.研究圆的旋转对称性下圆心角、弦、弧之间数量关系的不变性，说明圆心角、弧、弦这三种几何量在描述圆上两点的位置关系时具有等价性，而圆周角则是圆心角的变式，是比圆心角更具有灵活性的描述圆上两点位置关系的角度工具，圆心角和圆周角是刻画圆的旋转对称性的重要几何量.

这样，就可以设计如下的单元教学主线：基于现实背景引入并定义圆，研究平面上点与圆的位置关系，抽象弦、弧、圆心角等几何量表达圆上两点之间的位置关系，借助弦、弧、圆心角、圆周角量化表达圆的对称性（包括轴对称性和旋转对称性）在圆上点的位置关系上的反映，进行命题推理.事实上，圆的对称性在圆的构成要素（点）的位置关系上的具体体现就是圆的性质.在此基础上进一步设计单元中的课时教学，如图3 所示（其中虚线框表示子单元内容，数字表示课时教学顺序）.

图3

3.根据问题解决的过程设计单元教学主线

与《义务教育数学课程标准（2011 年版）》相比较，《标准》细化并提高了“综合与实践”领域的教学要求，增加了“跨学科综合实践”的目标要求和教学提示，指出“初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力”.这就要求教师设计适当的活动，引导学生在真实情境中用数学的观点发现和提出问题（或把跨学科问题转化为数学问题），学习用数学的眼光观察现实世界；通过直观想象、数学抽象、推理运算分析解决问题的思路，设计实验，建立模型，求解模型，获得数学问题的解，学习用数学的思维思考现实世界；借助数学模型和数据解释客观现象及其规律，学习用数学的语言表达现实世界.因此，跨学科综合实践活动的教学主线是：确定主题，创设情境—发现和提出核心问题—分析问题，分化出指向核心问题解决的子问题系列，规划解决问题的方案—实施方案（如设计实验，获取数据—建立模型—求解模型—检验和优化模型）—展示成果，解释客观现象与规律（包括展示创新产品和撰写研究报告）.

三、单元教学主线的有效应用——依托单元教学主线设计课时教学

在单元整体教学中，设计教学主线是实现各课时目标协同、前后连贯、逻辑一致的基础，而如何依托教学主线设计不同课时的教学，则是实现这种课时教学协同效应的关键.

1.重视单元起始课中研究对象的引入和研究思路的规划

要在课堂教学中体现教学主线，则要在单元起始课教学中重视研究对象的引入和研究思路的规划，把单元教学主线以问题研究基本框架的形式体现出来.研究对象可以从现实情境引入，也可以从数学情境引入，而研究思路的规划则往往基于类比与联想.例如，平行线的引入，可以基于现实情境引入，也可以基于平面中两条直线的位置关系的分类引入，还可以结合现实情境和数学内在的发展逻辑引入.平行线研究思路的规划，先基于类比平面内相交线中“用角的关系刻画两条直线位置关系”的经验，引入基准方向，然后提出角之间的关系满足什么条件时两直线平行（不相交）及满足什么条件时两条直线不平行（相交）的问题，初步规划研究思路，这是平行线教学主线的体现，为学生后续的学习指明了方向.

2.基于本课内容确定协同单元教学目标的课时教学目标体系

依据单元教学主线，结合单元教学目标，就可以确定指向单元总目标的课时教学目标.

例如，《标准》对圆的性质单元教学内容要求如下.

①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，探索并掌握点与圆的位置关系.

②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧.

③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等；了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.

④了解三角形的外心.

⑤会计算圆的弧长、扇形的面积.

根据课时位置、内容特点和《标准》要求，可以确定圆的第1 课时的内容要求为：理解圆、弧、弦、圆心角的概念，了解等圆、等弧的概念，探索并掌握点与圆的位置关系.

进一步地，根据学习这些概念过程中蕴含的发展核心素养的育人价值，增加“发展空间观念、几何直观和抽象能力”的发展性目标，根据第1 课时的单元起始课地位，增加“规划研究思路”的目标.这样，就可以形成以下基于活动、素养导向的圆的第1 课时的教学目标.

①经历从现实情境及画圆活动中抽象圆的概念的活动，理解圆、弧、弦、圆心角的概念，了解等圆、等弧的概念，经历探索点与圆的位置关系的活动，进一步发展空间观念、几何直观和抽象能力.

②经历欣赏圆的对称美，类比直线提出圆的研究问题，规划圆的性质的研究思路的活动，能提出圆的研究问题：圆上点的共性，刻画圆上两点位置关系的几何量，圆的对称性在圆上点的位置关系上的体现；能类比直线规划圆的性质的研究思路：定义—性质（对称性在圆上点的位置关系上的体现）—用弧、弦、圆心角等几何量刻画圆上两点的位置关系，研究这些几何量之间的关系.

而圆周角定理的课时教学目标如下.

①经历探索刻画圆上两点位置关系的新角度的活动，发现圆周角并能研究同弧所对的圆周角的关系，进一步发展学生的空间观念、几何直观、抽象能力和创新意识.

②经历证明圆周角定理及其推论的活动，让学生体会分类讨论思想，能用这些定理（推论）进行推理和计算，发展学生的空间观念、几何直观和推理能力.

3.基于单元教学主线开展课时教学

课时教学设计应该从教学主线上的节点问题出发提出课时研究主题，基于研究主题逐步分化设计学生的学习活动，用适当的情境和问题引发预期的活动.每一课时在单元中的位置不同，其在结构化知识形成和发展中的地位不同，学生学习的已有经验也会有不同，往往需要用不同的方法设计教学过程.例如，在因式分解教学中，基于分配律的多项式与单项式相乘，产生提取公因式法，可以设计基于分配律提取公因式的活动及提取公因式法的抽象、训练活动；基于整式乘法公式的乘法运算设计公式法的操作、抽象和巩固活动；甚至可以基于一般多项式乘法的逆向思考设计抽象待定系数法活动，等到学习完因式分解的基本方法后，进行基于多项式特征选择适当的方法进行因式分解的活动；等等.虽然不同课时的教学活动各有不同，但都是基于单元教学主线上的节点问题展开，设计因式分解方法的提出、抽象、巩固活动，体现出与教学主线的匹配性，以及目标协同、前后连贯、逻辑一致的特点.