“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用

陈霞

【摘 要】  初中阶段，学生通常会在数学试卷中遇到比较复杂的几何题目，解决这些题目需要用到一些辅助手段简化解题过程.辅助圆的应用能够帮助学生挖掘几何图形内部隐藏的条件，可以将分散、复杂的几何图形关系集中起来，具有较高的利用价值.本文主要围绕构造辅助圆在初中数学解题中的应用进行探讨.

【关键词】  初中数学；几何题；构造辅助圆

圆是一种包含明确性质、数形关系的几何图形，在原题图形基础上构造辅助圆，可将原本较难解决的问题转化为圆的问题，借助圆的性质、特征进行解题，达到简化解题的目的，提高学生的解题效率.

1  “构造辅助圆”在初中数学解题中的应用现状

初中生在解几何题时，会遇到难度较大、结构较为特殊的题型，依靠题干和图形元素较难顺利解题.这时候通常需要用到辅助线、辅助图形，构建更有利于解题的空间结构关系，曲线救国.构造辅助圆就是初中阶段几何题目中的一种辅助解题形式，但学生的普遍使用频率较低，使用效果也不太理想.

2  “構造辅助圆”在初中数学解题中的灵活应用策略

2.1  解线段长度题

求解线段长度是初中阶段几何题目中的一种常见题型，当学生发现用常见方法很难顺利求出线段长度时，可观察题干和图形，通过构造辅助圆的方式将线段长度问题转化为圆的问题.通常来讲，能够构造辅助圆的题目都具有某点是多条线段公共点的已知条件，具有公共点出发线段等长的已知条件，可以确定辅助圆的圆心和半径.

例1  现有四边形ABCD.已知AB∥CD，且线段AB=AC=AD=5，线段BC=.求线段BD的长度.

辅助圆构筑思路：根据已知条件线段AB=AC=AD=5可知，点A是三条线段的公共点，且三条线段的长度一致，说明可以点A为圆心，做辅助圆过点B、点C、点D，线段AB、AC、AD都是圆A的半径.构造辅助圆后，为了给求线段BD长度做铺垫，在辅助圆中延长线段AB使其与圆A相交于E点，并连接DE.构造辅助圆的结果如图1：

图1

解  已知AB∥CD，在线段BD过AB和CD的情况下，可得到∠CDB=∠DBE的结果.因为完成了辅助圆的构造，结合圆的特征可知，在同一个圆中圆周角角度相同则角对应的弧长相同.所以弧线BC=DE.又因为线段BE是线段AB过圆心A延长出的线段，所以可视为圆A的直径.又因为在圆中有内接三角形，且三角形一条边是圆的直径时，这条边所对应的三角形的角一定是直角.所以在三角形BDE中，边BE作为圆A的直径所对应∠BDE=90°.在已知三角形BDE是直角三角形，∠BDE=90°，斜边BE=2AB=10的情况下，可计算得到线段BD的长度.

从例1的解题过程可以发现，圆的性质、特征以及圆内存在的数形关系是构造辅助圆解题时的重要抓手[1].如果学生对圆部分的概念、规律、定理掌握不扎实，则很难应用构造辅助圆顺利简化题目.这也是部分学生用不好也不愿意用构造辅助圆的原因.

2.2  解角的大小题

求一个角的大小在初中数学几何题目中也属于较为常见的题型.求角的大小通常是求一个三角形中的某个角的大小，三角形与圆有着密切的关系，所以除了使用常规方法，还可以用构造辅助圆的方式进行解答.但用于求角大小的辅助圆构造，需要学生提前做好观察和分析，避免构造不当影响解题.

例2  现有等腰三角形ABC，边AB=AC.∠B的平分线与边AC相较于点D.已知线段BD+AD=BC，求∠A的角度.

辅助圆构造思路：根据题干已知条件可知，BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC=∠ABC.可过点B、A、D做圆，满足同圆内角相同弧线相同的情况.三角形ABC的BC边与圆的焦点为E，则弧AD=DE，弦AD=DE.具体如图2所示：

图2

解  因为构造辅助圆是四边形ABED的外接圆，所以根据对角互补原则，∠ABC=∠EDC=∠C，可推测∠BED=2∠C.根据题干条件已知，线段BD+AD=BC.因为BC=BE+EC，且AD=DE，所以可得到BD+DE=BE+EC.又因为前面推导出的∠BED=2∠C，可知三角形EDC为等腰三角形，ED=EC，所以可得到BE=BD的结果.三角形BDE中4∠C+∠C=180°，可得出∠C=40°，等腰三角形ABC中∠BAC=180°-2∠C=100°.

从例2的解题过程中可以发现，用到了四边形外接圆的对角互补.因为只有对角互补的四边形采用外接圆，所以有了接下来对∠C与∠BED的关系推论，为解题提供了隐藏的已知条件.

2.3  解面积大小题

在初中数学解题过程中，学生会遇到无法直接使用面积计算公式的情况，需要根据题干已知条件和图形信息转化面积计算所需要用到的条件.在转化过程中，学生可使用构造辅助圆的形式，寻找几何图形线段、角之间的关系.也可以将求几何图形的面积大小问题，转化为求圆部分面积大小的问题，简化解题过程.这部分题目虽然在初中数学解题中出现的频率不高，但教师需要结合具体题型进行构造引导分析，使学生认识到构造辅助圆在解决此类问题中的应用价值.

3  结语

综上所述，辅助圆是初中数学解决几何题时使用价值较高的一种方法，可以将部分问题转化为圆的基本性质、外接圆问题、圆的面积问题等形式，简化解题过程.辅助圆构造需要结合题目具体的情况来进行，灵活应用方面充分发挥辅助圆的辅助价值.

参考文献：

[1]郭杰.巧用辅助圆，解答数学题[J].数理天地（初中版），2023（15）：2-3.