北师大版初中数学教材应用研究

谢小花

【摘 要】  北师大版初中数学教材致力于培养学生的数学应用研究能力，为学生提供复杂而有挑战性的数学问题，以促进他们深入理解数学概念、巩固数学基础、培养创造性思维和解决问题的能力[1].在教材中，笔者发现了以下四个复杂的应用题目，它们代表了初中数学教育中的高级应用难题.

【关键字】  北师大版；初中数学；教材应用

1  北师大版初中数学教材应用研究的意义

北师大版初中数学教材致力于培养学生的数学应用研究能力，将数学知識应用于实际，培养学生的分析、推理和解决问题能力[2].这对学生的综合素养、问题解决能力和创新能力具有重要教育意义和社会价值.应用研究能力的培养有助于推动科学和技术的发展，满足社会需求，改善人们的生活质量[3].

2  北师大初中数学复杂问题综述

2.1  复杂的比例问题

例1  某人骑行一辆自行车经过一段笔直的路程，在开始以 的速度行驶，在他行驶到全程的处后，以的速度行驶完剩下的路程.如果行驶完全程的时间为1h，求这段路程的长度.

解  设整段路程长度为xkm.

使用距离=速度×时间的关系，建立两个方程：

对于的速度，距离为.

对于的速度，距离为.

所以， ①

又因为总时间为1h，所以， ②

因为骑行者以的速度行驶了的路程，以行驶了的路程，

所以解得，③

联立②③，得，，

代入①，即

所以这段路程的长度约为15.56km.

小结  解决比例问题时，首先建立相关的关系式，然后代入已知条件，最后使用代数方法求解未知变量.

2.2  复杂的几何问题

例2   如图1所示，的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且，BC=13，，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是多少？

图1                        图2

解   因为，

由勾股定理可知是直角三角形，且，

又因为圆O与相切，所以，，

由此可知AEOF是正方形.

如图2所示，连接OA，OB，OC，

设，因为，

所以，

同理，，，

所以，

解得，又因为AEOF是正方形，所以，

即阴影部分的面积为4.

小结  解决几何问题时，应通过观查和作辅助线等方法挖掘出隐藏条件，变未知为已知，一步步推导出答案.

2.3   复杂的代数问题

例3   公园要建造一圆形喷水池景观，在水池中心位置垂直于水面处安装一个柱子OA，OA高为1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，要求设计成水流在离OA为1m处达到距水面的最大高度为2.25m.

（1）在不计其他因素的前提下，水池的半径应设计为至少多少米，才能使喷出的水流不落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1m）

图3

解  如图3所示，已知点A为柱子的顶点，水流由A点达到抛物线的顶点B后落下，落在水池C点的位置，则A，B，C三点的坐标分别为，，，

设抛物线解析式为，

因为在抛物线上，代入得，

所以，

令，解得（舍去），.

即水池半径应设计为至少要2.5m.

（2）因为（1）的抛物线方程，

由此可设此抛物线的解析式为，

将点，代入，

得解得

所以，此时水流量最大高度约为3.7m.

小结  这个问题涉及函数的实际应用，属于应用题，在中考中较为常见，具体解答时，可结合图象、巧妙运用函数的性质解题。

3   结语

北师大版初中数学教材的应用研究具有重要教育和社会价值.它培养学生将数学知识应用于实际情境的能力，提高了问题解决和创新能力.这对学生的综合素养和未来职业发展具有深远意义.数学应用研究能力的培养不仅加强了学生的数学学习，还有助于解决实际问题，使学生更具竞争力，能够适应不断变化的工作环境.最终，它有助于改善人们的生活质量，使他们能够更好地规划生活、做出明智的决策.

参考文献：

[1]苏咪咪.核心素养视域下习题与课程标准的一致性研究[D].宁夏师范学院，2023.

[2]李楠馨.中美初中数学教材函数内容的比较研究[D].西南大学，2021.

[3]耿恒考. 中考试题中的“反比例函数”[J]. 初中生世界，2023，（Z5）：70-71.