代数式中“整式”与“分式”的化简求值方法探究

孙飞

常数和运算符组合而成.而整式和分式则是代数式的两种常见形式，整式是只包含有理数系数的代数式，它的各项之间通过加法和减法运算符连接；而分式是含有分母的代数式，它的各项之间通过加法和减法运算符连接，但是可以存在除法运算.在代数式中，整式和分式常常需要进行化简和求值的操作，整式的化简和求值相对较简单，可以进行合并同类项、提取公因子等操作；而分式的化简和求值则相对复杂，需要考虑分子和分母的因式分解、约分等操作.

【关键词】  初中数学；代数式；化简求值

1  整式的化简求值方法

1.1  合并同类项

合并同类项是整式化简求值中常用的方法.同类项是具有相同字母的项，它们的系数可以相加或相减，通过将同类项相加或相减，可以简化整式的表达式.

例1  先化简再求值：，其中，.

分析  整式求值时，应当先合并同类项，然后将题目中所赋予的代数具体的值带入到化简后的代数式中即可求出结果.需要注意的是，在带入具体数值时，要注意数字的符号，在代入数值之后，计算式应遵循有理数的加减乘除运算法则以及运算顺序.

解答

将，带入，

原式

1.2  提取公因式

提取公因式是另一种常用的整式化简求值方法.对于一个整式，如果每个项都可以被一个公因式整除，那么可以将这个公因式提取出来.提取公因式可以简化整式的表达式并有助于进一步的化简.

例2  先化简在求值：，其中.

分析  此题考查的是整式的化简求值，其中化简主要是利用提取公因式法，将计算简单化，首先将变为，然后提取公因式、将原式进行化简，最后将题目中所赋予的代数具体的值带入到化简后的代数式中即可求出结果[1].

解答

将带入，

原式

2  分式的化简求值方法

2.1  换元法

换元法在数学中是一种重要的解题方法，它通过引入新的变量来简化问题，通过换元法，我们可以将原本分散的条件联系在一起，将隐含的条件显露出来，从而将复杂的计算和推导简化为熟悉的形式.换元法的一般步骤包括设元或构造元、换元、求解、回代和检验等.在具体解题过程中，根据问题的特点选择合适的换元方法，引入新的变量替代原式中的某些量，从而使問题得到简化.然后对新变量进行求解，得出结果.最后，将新变量代回原变量，得到最终的解.通过换元法，可以将原本复杂的问题转化为简化的形式，使得求解变得更加容易和直观[2].

例3  若（其中，且、、不全相等），求的值.

分析  本题含有较多字母且根据已知条件无法直接求出原式中所含字母的具体值，根据分析所求式子与已知条件可发现，所求式子中包含的都为、、的代数式，恰好能将已知条件变形成为、、的代数式，因此可采用换元法来简化解题过程.

解答  由已知条件可得

令，，，则可得

有已知条件可得，将等式两边进行平方可得：

又、、不全相等

、、不全为

因此由可得：

即所求分式的值为.

2.2  整体代入法

整体代入法是分式化简求值问题中的常用解题方式，此类题目通过正确地对已知的式子进行变形，并用已知的式子表示未知的式子，再将已知的条件整体代入，可以简化计算过程.[3]在实际解题过程中，利用分式的性质进行变形时，需要注意必须确保所乘或所除的整式不为零.因为如果乘或除以零，将导致分式的结果无意义或不可计算.

例4  已知，求分式的值.

分析：由本题的条件不能只直接求出、的具体值，因此考虑采用整体带入法进行求解，将已知条件变形成为，然后将中用代替进行化简，从而求出原始的值.

解答：由已知条件可知，、分别为分母，因此，，

将两边同时乘以，可得

，将其代入原式，

整式和分式是代数式中的重要概念，其化简求值方法对于解决代数式问题具有重要意义.通过本文可以掌握整式和分式的化简求值方法，从而能够更好的解决代数式问题.在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的化简求值方法，以便更高效地解决代数式问题.

参考文献

[1]吴丹丹.初中数学分式化简求值的技巧分析[J].新课程导学，2023（12）：41-44.

[2]何加宽.例谈换元法妙解“疑难题”[J].中学数学，2023（16）：71-72.

[3]王小平.整体代入法在初中数学解题中的应用技巧[J].数理化学习，2014（09）：3.