“阅读与思考——三角学与天文学”在高中数学课堂中的应用研究

覃丽莹

摘 要：文章重点探究新课程背景下，“阅读与思考——三角学与天文学”在高中数学课堂中的应用。通过利用现有材料分析“三角学与天文学”的背景、意义以及情境设计，研究其在课堂中的应用价值。

关键词：高中数学；三角学与天文学；三角函数

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2024）03-0075-04

一、 背景及意义

三角学最早以球面三角、平面三角等内容出现于实际测量所需的天文观测结果推算的方法中。后因人类对探索宇宙的欲望以及“量天学问”对人类的吸引，亦因其对天文推演的高效率推算，德国数学家、天文学家雷格蒙塔努斯将三角学相关内容进行完整独立的研究与阐述，完成5卷本著作《论各种三角形》的著作，早期系统的三角学由此而出。后来由于现有三角学的局限性限制了天文学的多方面研究，雷提库斯将平面三角学从球面三角学中独立而出，改进角的三角函数关系，制定更为精确的三角函数表，极大地推动了天文学研究与三角学的发展。

在时代发展、历史演变中，早期三角学成为天文学的一部分，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。三角学在高等数学、天文学、物理学、测量学以及航海等方面都有广泛的应用。

二、 材料分析——以人教A版数学教材为例［2019］

“阅读与思考——三角学与天文学”出现于人教A版高中数学必修一第186頁，作为三角函数概念的拓展延伸部分。三角函数是函数章节的重要内容，在学习任意角和弧度制等内容的基础上进一步深入研究学习三角函数的知识，能为后续对三角函数的图像与性质的学习奠定基础，起到承上启下的作用，同时，三角函数也是高考命题的重点和热点，在高中数学中占有重要地位。

“阅读与思考——三角学与天文学”介绍了数学中三角学的产生和发展的历史，有助于学生了解三角学与天文学的关系和相互促进的发展过程，结合由抽象到具体的思维方式，体会世界万物相互制约、相互促进的规律，树立唯物主义观；了解历代数学家的发展观点，体会数学家在天文学方面做出的巨大贡献；结合前人对三角学的研究，和进一步发展三角函数等其他知识过程中做出的贡献，以及三角学如何从天文学中分离出来，然后在新领域继续发光发热的过程，让学生进一步体会事物发展的客观规律。

三、 课堂应用

（一）应用方式

学起于思，思源于疑。采用问题导向、引导发现的启发法和讲授法相结合，以及自主探究、合作交流的探究式学习方法。

遵循学生为主体、教师为主导、发展为主线的现代教学理念。在教学过程中层层设疑，让学生带着疑惑去学，提高学生的专注力，激发学习热情，培养学习兴趣，引发学生的思考和探究。使用视频、图片等教学资料，将学生带入数学发展史的氛围中，围绕着“三角学与天文学”让学生去体会、去感受、去讨论、去运用，使教学中的内容、学生、教师较好地融为—体，师生共同在教学中获得新知。

（二）应用预设

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调数学课程要着力培养学生的数学核心素养，主要包括以下“三会”：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。

随着知识经济时代的来临，现代教育理念着重于以人为本，强调培养人自主学习、自立自强、独立思考解决问题的能力。

将“阅读与思考——三角学与天文学”作为独立一节课程内容，放在第五章“三角函数”教学第一节作为开篇，引入三角知识，营造三角函数学习氛围，初步搭建三角函数学习梯度。

将数学史——三角学与天文学的发展史作为课堂的主要探究活动，共分为以下四个部分：

1. 借星引路——天文学的发展

2. 观星测量——三角学的起源

3. 思辨与发现——三角学的发展

4. 自成一派——三角学的应用

将班级学生分为6～8个小组，课前布置学生小组内分工合作收集对应环节相关材料。1～2组收集借星引路——天文学的发展；3～4组收集观星测量——三角学的起源；5～6组收集思辨与发现——三角学的发展；7～8组收集自成一派——三角学的应用，要求每个小组的学生整理各自小组内收集的资料，写出400字左右的总结，课上分享收获。

本环节的主要目的在于分工合作，分工合作能充分发挥每个人的专项技能，弥补个人的不足，发挥整体效能，提高工作效率。组内成员共同合作收集材料所需分工、方法能促使学生思考、发现他人亮点，锻炼生活能力，落实现代教育沟通理念，营造良好的气氛，培养学生的成就感和自信心。古人云：近朱者赤，近墨者黑。好的团队氛围可以使每个成员都尽自己最大的努力去完成好工作，能收到事半功倍的效果。

在第一环节借星引路——天文学的发展中，学生可通过收集资料与分享，认识到公元前4000年左右，古代天文学是人类最早的天文学形式，且天文学的发展最早与神话相关，认为天体的运动是神的意志，具有神秘色彩。后来天文学的发展与天体运动相关。古代天文学家通过观察天体的运动，推测它们的周期和规律，形成了一套基本的天文学理论，可以记录时间、四季变化、节气转换，便于组织农耕，提高生活质量。在古埃及，人们还研究了星座和天象的变化，发现了日食和月食等现象。古希腊天文学家帕拉缪克斯通过观察星体的运动，建立了一个天体运动的简单模型，被称为帕拉缪克斯模型。同时学生还会发现在天文学的发展研究过程中占比最大的是数据的运算，而且涉及庞大的数据推演。宇宙中星体之间距离甚远，无法用人力测量，只能借助其他方式间接推导得到大概的数据，为追求数据的精确性，三角学随之发展，成为天文运算的重要工具之一。借助三角学，可以通过采用角度测量、三角测量和三角函数的方法，测量行星之间的距离，确定其位置，并确定星星运动的反向速度，还可以计算一个天体的角度大小以及距离等。这些计算可以帮助天文学家研究脉冲星和黑洞等天体，促进天文学的发展。

同学们由此可认知到是实际生活的需求促进了天文学的发展，天文学的发展又促进了三角学的产生，学习与生活密不可分。通过自我思考发现天文学与数学之间的知识融合，激活自身对三角函数的探索兴趣，促使学生思考能否使用同样的方式去了解、掌握更多的知识，发现更多的乐趣，能否适用于解决实际生活中的其他问题，使学生更加关注真实丰富的日常生活，培养学生的创造性思维和探索精神，增强动手能力，从而促进学生全面发展。另外，有助于学生发挥主观能动性，进行知识点的整合，构建知识框架，提升文化认知，了解天文学文化，发展核心素养。

第二环节观星测量一——三角学的起源与第三环节思辨与发现——三角学的发展中可以让学生学习到三角学是指基于三角形的边角关系研究，达到间接解决复杂情况下测量问题的一门学科，初步意识到三角学在数学上可用于解决长度、高度等测量问题。如大禹曾利用三角学的知识对山川地势进行测量记载；《周髀算经》中则记载了直角三角形各边之比的重要性；徐光启等合编了中国第一部三角学著作——《大测》；清朝初年则有两部较好的三角学入门书籍，是由当时的数学家梅文鼎所编写的《平三角举要》和《弧三角举要》，总共两本，各五卷；同年，罗雅谷著《测量全义》引入了三角函数的概念，为天文历法的制定提供了推算方法，即利用三角函数公式定理解三角形的具体方法。因此，在中国数学发展史上，三角函数知识与天文学知识密切相关。

对以上两个环节，在实际课堂教学中，要根据学生的认知发展规律，渗透数学史文化知识，切实落实以学生为主体的素质教育理念，有利于学生接受有关三角学知识与天文学知识的新内容，培养学生的探究精神和动手能力，调动学生的积极性。对三角学发展史的资料收集既是学生动手操作收集材料的过程，也是认识三角学数学史的过程，有助于培养学生形成数学思维，了解三角学发展的历程，让学生能够以客观、辩证的眼光看待数学问题，利用文化知识构建数学场景，使三角函数不再成为神秘的知识，从而产生亲近感，对之后三角函数的运用与掌握产生自信。该过程有助于学生理解數学问题的来源，更有助于培养学生的逻辑推理、数学建模等学科核心素养。

在当今素质教育的主流趋势下，将“阅读与思考——三角学与天文学”融合在课堂教学中，关注培育学生数学核心素养，凸显“阅读与思考——三角学与天文学”的辅助引领作用，能帮助学生感悟数学的魅力，体现数学文化与应用价值，促进学生的数学思维能力的提升。利用学生的主体作用在课堂环节渗透“阅读与思考——三角学与天文学”内容，能直接影响学生思维的开拓以及思维品质的提升。

第四环节自成一派——三角学的应用中设计以下探究性问题：用已有的三角函数知识能否测量宇宙中某颗恒星到地球的距离？如何测量？请小组内思考并进行讨论。此环节引导学生解决问题时补充以下知识：

1. 视差即从地球上观测某一颗恒星时，由地球轨道上位置的变化而产生方向上的差异。

2. 周年角位移又叫周年视差即恒星从右边“移动”到了左边，所产生的偏移量。

3. 太阳与地球的绝对距离被称作“天文单位”，记为1AU。

1AU=1.49597870×1011米，近似1.496亿千米

5. “角秒”即一度的三千六百分之一。观察者与一颗视差角为1角秒的恒星的距离被称作“1秒差距”，相当于地球与太阳距离的206265倍，也就是206265AU。

6. 定义；秒差距是视差角度的倒数，它是天体距离的单位。

紧接着提出具体问题：一颗恒星的周年视差是0.08″，它到地球的距离是多少光年？预留足够的时间给学生进行思考，请学生进行解答，最后展示解答过程。

解：∵p=0.08″，

∴α=0.04″，

∵1秒差距=3.26光年，

∴BC=25×3.26=81.5光年。

该环节引领学生手脑并用，运用数学抽象基本思想，对现实问题进行思考，构建数学模型，利用逻辑推理能力对数据进行分析推导，以达到解决问题的效果。

围绕以学生为主体这一理念，顺应学生发展需求和认知特点，切实落实立德树人根本任务，促进学生全面发展。教学方式的改革要彻底打破传统的以教师为中心、学生被动接受知识的灌输式教学方式，将学习的主动权交给学生，实行以学生为中心的翻转式课堂教学方式。以探究三角学与天文学为导向，将多学科知识融于同一节课堂教学当中，实际问题解决中，强化启发式、讨论式教学，引导学生利用跨学科综合知识进行探究式学习。

（三）问题预设及处理方法

问题广泛，事倍功半，三角学与天文学涉及范围广泛，需明确本节课主要内容，合理安排课堂时间与内容。

首先，教师本身备课时要预设好足够的时间，做好轻重点区分，避免“头重脚轻”，关键环节、重点内容时间不够的问题出现。将天文学的发展与三角学的起源以及三角学的发展总共三个分享环节，每个小组分享时间为5分钟，预留5分钟的交流补充时间，总共花费20分钟。对三角学的应用预设15分钟的探究研讨时间，看好具体课堂安排。

其次，课前作业布置部分，若没有给学生明确的提示，学生极有可能花费大量时间收集与本节课无关的资料，容易使学生产生挫败感，违背设计初心。因此，作业布置要有明确的针对性，提醒学生查找方向，强调重点：对天文学的发展资料，注意收集与日常生活的实际需求以及测量推算相关的材料，尤其是设计平面三角学、球面三角学的内容，其余内容可简略查找；对三角学的起源，注意收集是什么情况下的什么实际需求促进三角学的出现，其标志是什么；对三角学的发展，明确时间、事件。

再次，任务分工不明确。布置小组任务时，只告知要收集三角学与天文学材料，而未提醒需要做好总结并且在课堂上需要有一位小组代表在5分钟内分享组内成果，如此将导致课堂分享环节学生相互推脱，耗费时间，无法达到预期效果。因此布置任务需要明确分工的同时，强调明确任务，给学生预留充足时间做好各项准备。可在布置作业时列举实际分工方案以及注意事项。

最后，教师评价模糊。给学生的评价笼统官方，让学生不知好在什么地方，不评价学生的努力与收获，而评价聪明智商。比如：这个学生分享的内容太好了——好在什么地方学生不知道。又比如，一节课教师口头频频出现“棒、棒，你真棒”。一味单调长时间地赏识学生，会让学生产生“赞美疲劳”，丧失了新鲜感，感觉努力无用，就起不到应有的激励作用。因此，教师在课堂执行过程中也要认真倾听学生分享内容，做出具体明确的评价，使学生感受到自身回答的价值和老师的重视。

四、 结论

无论是2004年的人教版还是2019年的人教A版中“阅读与思考——三角学与天文学”均安排在三角函数的概念之后，作为拓展延伸部分的材料提供学生学习。在常规教学中，不会将“三角学与天文学”作为正课内容引用，忽略了三角学数学史内容的灌输学习，使学生缺乏此方面的认知，只知道三角函数的突然出现，以及计算复杂，不利于提高学生对学习三角函数的兴趣与信心。

若将“阅读与思考——三角学与天文学”这个模块的内容作为三角函数第一章节第一课时的内容，顺应素质教育要求的同时可拓宽学生视野，使学生意识到三角函数并非天降，而是我们实际生活的需求促使了它的产生并发展，三角函数的存在简化了我们的大数据计算。

对“阅读与思考——三角学与天文学”的学习，使学生了解三角学历史的同时，了解到三角函数知识点的形成过程，有利于培养学生的探究意识，深化知识源于生活的认知。

参考文献：

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