MIMO雷达分组正交波形集优化设计方法

孙进平,刘天趣*,乔亚琼,胡卫东

(1. 北京航空航天大学 电子信息工程学院, 北京 100191) (2. 国防科技大学 电子科学学院, 湖南 长沙 410073)

0 引 言

多输入多输出(MIMO)雷达基于波形分集和多天线技术可提升其角度分辨率、抗干扰和缓解衰落等方面的能力[1-2]。MIMO雷达一般通过匹配滤波分离回波,因此其对正交波形集的要求是不同发射波形两两之间的互相关函数峰值尽可能低。同时,为实现良好的目标检测性能,每个波形的自相关函数旁瓣峰值也是越低越好。针对MIMO雷达相位编码波形集设计,Multi-CAN[3]利用循环迭代算法实现了正交波形集相关函数积分旁瓣的最小化,在其基础上,MM-Corr[4],p-MM[5]等性能更好的正交波形集设计算法也被提出。此外,文献[6]基于原始对偶(Primal-Dual)算法实现了目前最优的相关函数峰值旁瓣性能。遗传算法[7]等智能优化方法也是可行的方法,但其速度较慢。

随着数字射频存储(DRFM)技术的问世[8],更先进的雷达干扰技术得到了迅速发展和广泛应用,对MIMO雷达也形成了很大的威胁。相较于传统干扰机,基于DRFM的干扰机具有更强的截获波形和存储波形的能力。在此情况下,虽然MIMO雷达使用的波形比传统雷达复杂,其也容易被新型DRFM干扰机截获和干扰,其任务能力会受到严重影响。

波形捷变技术是对抗DRFM欺骗干扰的一种有效的方法[8]。对MIMO雷达而言,除了要求每个脉冲内发射正交波形集,相邻脉冲之间的波形集也应该相互正交。虽然现有的正交波形设计算法可以将MIMO雷达所需数量的波形同时设计出来,但其无法精细控制组内和组间的相关函数性能。

本文建立了一种分组正交波形集优化设计模型。为最大化利用系统能量和波形自由度、灵活平衡组内和组间的正交性,所提模型引入了权重系数构建了加权和形式的目标函数。目标函数分为两部分：一是尽可能降低每组正交波形集内部的相关函数旁瓣峰值;二是尽可能降低每组波形集合之间的互相关函数峰值。为了快速求解所提优化模型,本文提出了一种基于MM算法[9]的分组正交波形集设计方法。所提方法首先基于p-范数近似相关函数峰值,然后利用MM算法框架将原优化问题转化为了一系列简单的子优化问题的求解,最后基于快速傅里叶变换推导出了可快速求解的迭代表达式。仿真实验结果表明,所提方法可通过调节权重参数来灵活平衡MIMO雷达的探测性能和抗干扰性能。

1 分组正交波形集优化模型

分组正交波形集优化的对象是多组波形集,设所需波形为G组,每组波形集内有M个波形。由于总的波形数较大,本文利用高自由度的恒模相位编码波形来实现组内和组间的波形正交性。由于码片宽度、脉冲宽度和载频等雷达系统参数对匹配滤波后的相关函数值影响不大,分组正交波形集可被建模为码长为N的恒模相位编码序列,即

xi[n]=ejφi,n,i=1,2,…,GM,n=1,2,…,N

(1)

(2)

为评估分组正交波形集的相关函数性能,本文将相关函数分为组内和组间两部分来考虑,对组内M个波形的相关函数,可采用峰值旁瓣电平(PSL)评估,第g组的PSLg定义为

(3)

Kg={i,j,k|i,j∈[M(g-1)+1,Mg],i≠jork≠0}

(4)

式中：Kg表示第g组内部波形之间的相关函数索引的集合,注意Kg不包含大小恒等于N的自相关函数峰值的索引。不同组之间只存在互相关函数,无需考虑自相关函数。定义如下的组间峰值互相关电平(PCL)来评估组间的互相关函数峰值

(5)

(6)

式中：G为所有组间互相关函数索引的集合。

(7)

其中目标函数的表达式包含卷积运算和取最大值运算,而且优化变量具有非凸的恒模约束,所以优化模型式(7)是一个复杂的多目标极小化极大值问题,其求解难度较高。因此,本文首先用p-范数近似max(·)函数,将p设置为较大值,用p-ISLg和p-ICL来近似原来的PSLg和PSL,接着引入权重系数w将原目标函数转化为单目标函数,最后将原优化问题转化为以下更易求解的单目标优化问题

(8)

式中：p-ISLg(g=1,2,…,G)和p-ICL定义为

(9)

(10)

(11)

根据式(11)可知,原优化问题可以转化为

(12)

通过加权和p-范数近似,原分组正交波形集优化模型被转化为式(12)所示的一个多项式优化问题。

2 基于MM算法的分组正交波形集设计

本文采用MM算法框架来快速求解优化问题式(12),其核心思路是构造原目标函数的一个“代理函数”,从而将复杂目标函数最小化问题转化为迭代求解一系列简单代理函数极小值的过程。MM算法原理如图1所示,其中g(x)表示目标函数曲线,f(x,x(l))表示第l次迭代时的代理函数,其极小值对应的自变量为x(l+1),则显然g(x(l+1))

图1 MM算法原理示意

(13)

(14)

(15)

其中

(16)

式(15)中的4次目标函数的极小值仍然难以求解,所以下文将利用矩阵不等式关系进一步构造出一个简单易于求解的代理函数。首先,定义向量

(17)

(18)

(19)

式中：vec{·}表示矩阵按列向量化;矩阵S为

(20)

(21)

式中：∘表示矩阵的哈达玛积;矩阵T定义为

(22)

(23)

因此,优化问题式(15)可转化为

(24)

根据文献[10]可知λmax(T∘(v(l)v(l)H))=λmax(T),利用λmax(R-T∘(v(l)v(l)H))≤‖R‖∞+‖T‖∞,并基于文献[10]中的引理1可将式(24)进一步简化为

(25)

根据优化模型式(25)不难得出原优化问题的迭代求解表达式为v(l+1)=ejarg(-z)。根据R的表达式可知

(26)

根据文献[11],Toeplitz矩阵Rij可以分解为

(27)

进而可得到矩阵乘积Rv(l)的快速计算方法如下

(28)

式中：2N×N的矩阵F的元素为Fm,n=e-jπ(m-1)(n-1)/N;Diag(x)为对角线为向量x的对角矩阵;FFT为快速傅里叶变换。式(28)可利用快速傅里叶变换高效计算。不难发现式(25)中的(T∘(v(l)v(l)H))v(l)可化简为(T1GMN×1)v(l),其中1表示元素全为1的向量或矩阵。根据式(22)可知矩阵T与R的结构几乎相同,同理可基于快速计算Rv(l)的方法来快速计算(T1GMN×1)v(l)。最后,可以使用SQUAREM算法[12]来加速该算法。本文所提MIMO雷达分组正交波形集设计算法的步骤可总结如下：

(1) 根据式(25)迭代求解一次得到v(l+1)=ejarg(-z);

(2) 再次迭代得到v(l+2);

(3) 计算r=v(l+1)-v(l),u=(v(l+2)-v(l+1))-r;

(4) 计算步长α=-‖r‖/‖u‖,并根据反向搜索策略更新步长;

(5) 将v(l)-2αr+α2r代入式(25)迭代更新波形;

(6) 判断是否收敛,否则重复步骤(1)～步骤(5)。

3 仿真实验

为了测试本文所提分组正交波形集优化设计方法的效果,固定波形参数M=3,G=2,N=256不变,仿真不同权重系数w的取值情况下所得PSL1、PSL2、PCL指标值的大小,结果如图2所示。可以看出,权重系数w的值越小,组内PSL值越低,组间PCL值越高。

图2 M=3, G=2, N=256时权重w对PSL和PCL的影响

图3和图4的结果表明,码长越长,所得波形集的PCL和PSL指标值就越低,总的波形数GM越多,得到的PCL值就越高,组内PSL指标值的大小主要取决于M的大小。图4a)中PSLmax和PSLmin分别代表G组波形中PSLg的最大值和最小值。

图3 M=3, G=2时波形码长N对结果的影响

假设发射波形集在上个脉冲被截获,仿真当前脉冲MIMO雷达处理输出的距离-角度图像,仿真结果如图5所示。图5中距离单元采样间隔为100 m,第一个单元对应的距离为50 km。雷达位于坐标原点,发射阵元数量为3,按半波长间距线阵分布,接收阵元数量为16。仿真设置真实目标角度、所在距离单元和回波信噪比分别为(-15°, 400, 3 dB)、(0°, 400, 3 dB)、(20°, 400, 3 dB)和(20°, 50, 5 dB)。DRFM的欺骗干扰产生假目标所在角度、距离单元和干扰信号干噪比分别为(-15°, 50, 5 dB)和(0°, 50, 5 dB)。

图5 不同波形集在DRFM干扰下的距离-角度图像

图6绘制了Primal-Dual、p-MM以及本文所提方法设计的不同波形集的组内相关函数和组间互相关函数峰值,Random Set表示随机数生成的波形。结果表明,当w=0.1时,相较于其他波形,所提方法得到的组内自相关和互相关峰值是最低的,而只损失了少量组间互相关函数性能。当w=0.9时,其可实现更低的组间互相关峰值。总之,所提分组正交波形集设计算法可调整权重系数来灵活平衡干扰抑制和距离压缩性能,其在未来的波形博弈和雷达对抗领域有潜在的应用价值[13]。

图6 M=3, G=2, N=128时分组正交波形集的相关函数曲线

4 结束语

为了灵活满足MIMO雷达抗干扰的需求,本文首先建立了一种分组正交波形集优化设计模型。所提模型引入了权重系数来平衡组内、组间正交性能。然后,提出了一种基于MM算法框架的分组正交波形集分组优化设计方法。最后,仿真结果表明,所设计的波形可实现MIMO雷达抗干扰性能和距离旁瓣的平衡。