一道2023年全国高考试题的再探究

【摘要】本文对2023年全国高考数学甲卷理科第20题主要进行了解法探究和拓展探究，由于篇幅关系，没有对结论2和结论3给出证明，文中运用极坐标法证明了结论1，以下对结论1进行另证，并给出结论2和结论3的证明.

【关键词】高中数学；最值；解题技巧

1  拓展探究

结论1  已知F为抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，M，N为抛物线C上两点且满足 MF·NF=0，则△MNF的面积的最小值为3－22p2［1］.

证明  因为Fp2，0，

设直线MN的方程为x=my+n，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

因为MF·NF=0，

所以x1－p2x2－p2+y1y2=0，

所以x1x2－p2x1+x2+y1y2+p24=0，

所以my1+nmy2+n－p2（my1+my2+2n）+y1y2+p24=0，

所以1+m2y1y2+mn－p2y1+y2+n－p22=0①，

联立y2=2pxx=my+n，

整理可得y2－2pmy－2pn=0，

y1+y2=2pm，y1y2=－2pn②，

|MN|=1+m2y1+y22－4y1y2=1+m24p2m2+8pn=2p1+m2m2+2np，

焦点Fp2，0到直线MN的距离为

d=n－p21+m2，

SΔMNF=12|MN|d

=pn－p2m2+2np③，

由①②可得，n－p22p2=m2+2np，

代入③，整理可得S△MNF=n－p22，

由①②可得，n2－3pn+p24=p2m2，

所以n2－3pn+p24≥0，

解得n≤3－222p或n≥3+222p，

又因为n≠p2，

所以S△MNF≥3－222p－p22

=3－22p2，

所以当n=3－222p时，

S△MNFmin=3－22－12=3－22p2，

即△MNF面积的最小值为3－22p2.

结论2  已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点，M，N为椭圆C上两点且满足MF·NF=0，则△MNF的面积的最小值为e2p2e+22，（其中e为椭圆C的离心率，p=b2c，c=a2－b2）［2］.

證明  以椭圆C的左焦点为极点，射线Fx为极轴建立极坐标系，

设∠xFM=θ（0<θ<π），则∠xFN=θ+π2，

所以|MF|=ep1－ecosθ，

|NF|=ep1－ecosθ+π2=ep1+esinθ，

S△MNF=12|MF‖NF|

=e2p221－ecosθ1+esinθ

=e2p22+2esinθ－cosθ－2e2sinθcosθ，

令t=sinθ－cosθ=2sinθ－π4，

则t∈（－1，2］，2sinθcosθ=1－t2，

所以S△MNF=e2p22+2et－e21－t2

=e2p2et+12+e2+1，

令f（t）=et+12+e2+1，

因为f（t）在（－1，2］为增函数，

所以f（t）max=f（2）=e+22，

所以，△MNF的面积最小值为e2p2e+22.

结论3  已知F为双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，M，N为双曲线C上两点且满足MF·NF=0，则△MNF的面积的最大值为e2p2e2+1，面积最小值为e2p2e+22（其中e为双曲线C的离心率，p=b2c，c=a2+b2） ［3］ .

证明  以双曲线C的右焦点为极点，射线Fx为极轴建立极坐标系，

设∠xFM=θ（0<θ<π），则∠xFN=θ+π2，

所以|MF|=ep|1－ecosθ|，

|NF|=ep|1－ecosθ+π2|=ep|1+esinθ|，

SΔMNF=12|MF‖NF|

=e2p2|21－ecosθ1+esinθ|

=e2p2|2+2esinθ－cosθ－2e2sinθcosθ|，

令t=sinθ－cosθ=2sinθ－π4，

则t∈（－1，2］，2sinθcosθ=1－t2，

S△MNF=e2p2|2+2et－e21－t2|

=e2p2|et+12+e2+1|，

令f（t）=|et+12+e2+1|，

因为－1<－1e<0，

所以f（t）在（－1，－1e］上为减函数，在（－1e，2］上为增函数，

所以f（t）min=f（－1e）=e2+1，f（t）max=f（2）=e+22，

所以△MNF的面积的最大值为e2p2e2+1，最小值为e2p2e+22.

参考文献：

［1］罗文军.一题多解彰显素养 多题一解提高能力——2023年全国甲卷理科数学第20题探究［J］.考试与招生，2023（12）：10—12.

［2］中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社.

［3］数学选修4-4坐标系与参数方程［M］.北京：人民教育出版社，2007.