初中数学解题思维模式的培养与研究

张长龙

【摘要】初中数学解题思维模式的培养需要初中数学教师从学生的实际情况入手，从思维目标、清晰的思维脉络、指引正确的解题中心等几个角度入手.思维模式的培养需要细致地分析初中数学知识点的不同，找到思维发散和题目之间的切入点，理清每个类型的数学题目最需要的思维能力是什么，从而有针对性地加强学生解题思维模式的培养，进而提高学生的解题效率.

【关键词】初中数学；解题思维；培养探究

1  善于判定题目解题性质，抓住解题中心点

例1  如图1，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为c，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时 P点坐标.

根据A（1，0），AB=4求出B（－3，0），把A，B两点的坐标代入抛物线，即可求解.根据题意作垂线，设P（m，0），则PA=1－m，易证△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性质即可求出QE 的长，又因为三角形的面积差，进而得到三角形面积和m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值.

解  因为抛物线y=x2+bx+c的顶点为c，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB=4，

所以B－3，0，

所以1+b+c=0，9－3b+c=0，

解得：b=2，c=－3，

所以抛物线的解析式为y=x2+2x－3.

（1）过Q作QE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点下，设Pm，0，则PA=1－m，

因为y=x2+2x-3=（x+1）2-4，

所以c（－1，－4），

所以CF=4，

因为PQ∥BC，

所以△PQA∽△BCA，

所以QECF=APAB，即4QE=4（1－m），

所以QE=1－m，

所以S△CPQ=S△PCA－S△PQA=12PA×CF－12PA×QE=12（1-m）×4-12（1－m）×（1－m）=－12（1+m）2+2.

因为-3≤m≤1，

所以当m=－1时S△CPQ有最大值2，

所以此时P点坐标为（－1，0）.

综上所述，本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图中特殊的数量关系和位置关系，具有很强的综合性.因此数学教师要引导学生利用自身掌握的数学知识对题目首先进行分析，养成做题第一步先分析题干的习惯.学会进行采集和分析既定已知的数学条件，通过题目分析问题考查的本质，并且判定将会用到哪些知识点，从而将这些知识结合起夹，进而形成高效的学习习惯，更有效地展开思路去解题.

2  精准把握题目考查点，根据解题目标对应考查内容

例2  某商场计划从厂家购进50台电视机，预计花费90000元，已知该厂家生产3种电视机，并分为不同的三种型号，所以它们的出厂价也就不同，分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元.

（1）设想如果同时购进两种不同型号的电视机共50台，用掉90000元，会有怎么样的进货方案？

（2）我们假设该商场卖出一台A种电视机的利润有150元，卖出一台B种电视机的利润有200元，卖出一台C种电视机的利润有250元，在符合第一题要求的几种进货方案中哪种进货方案的利润最大？

解答  （1）①当购进A，B两种电视机时，设购进A种电视机x台，则购进B种50－x台，

根据题意得：1500x+2100（50－y）=90000，

解得x=25，

所以50－x=25.

②当购进A，C两种电视机时，设购进A种电视机y台，则购进C种电视机50－y台，

根据题意得：1500y+250050-y=90000，

所以y=35，

所以50-y=15.

③当购进B，C两种电视机时，设购进B种z台则购进C种50－z台，

根据可得：2100z+2500（50－z）=90000，

解得z=87.5（不合实际，舍去）.

综上可知，有两种进货方案.

方案1：购进A，B两种电视机各25台；方案2：购进A种电视机35台，C种电视机15台.

（2）若选择方案1，可获利150×25+200×25=8750元.

若选择方案2，可获利150×35+250×15=9000元.

因为9000＞8750，

故为了获利最多，应选择方案2.

本题考查的是一元二次方程在现实生活中的实际运用，掌握未知数的设置方法是解题的关键.故实际案例证明，找到解题的关键能够很大程度缩短做题时间，帮助学生在看到数学题目时能敏锐地找到破题关键，所以为了保证学生的答题速度，教师要突出数学题中已知条件的重要性，在已知各条件内部间发现数学规律，引导学生树立解题目标，降低学习难度，从而提高解题效率，锻炼敏锐的解题眼力和思维.

参考文献：

［1］李梅.初中数学解题思维模式的培养策略探究［C］∥中国陶行知研究会.第八届生活教育学术论坛论文集.［出版者不详］，2023：110-112.

［2］金云崔.初中數学解题思维模式培养的有效探究［J］.数理天地（初中版），2022（23）：84-85.

［3］刘亚莉.初中数学解题思维模式的培养研究［J］.数学之友，2022，36（07）：56-58.