“三招”妙解斜三角形内角大小问题

姜秀萍

【摘要】三角形是初中平面几何问题中最为基本的一个图形，除了特殊的等腰三角形、直角三角形，斜三角形也是一类常考的三角形.三角形问题一般聚焦于研究三角形的角和边的大小，综合性较强，涉及平面几何知识和锐角三角函数定义等.本文以一道斜三角形内角大小问题作为典型例题，探讨以下几种解法，以供参考.

【关键词】初中数学；斜三角形；三角函数

对于斜三角形问题，因为其并不特殊，所以可以尝试构造直角三角形或者等腰三角形这一类特殊的三角形来解决.同时还要能够理解并运用一些基本的锐角三角函数值来进行计算.一般来说，合理构造垂线，在多个直角三角形内研究，最后归纳总结，即可得到问题的答案.

题目  如图1所示，P为△ABC的边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB.

图1

解法1  三角形外部延长构造

解析  如图2所示，作点C关于直线AP的对称点D，连接PD，AD，连接BD并延长至点E，

则DP=CP=2BP，∠DPB=180°－∠APC－∠APD=60°，点A到PD，BC的距离相等.

所以△DPB是斜边为2，直角边为1的直角三角形，

所以∠DBP=90°.

因为∠ABP=45°=12∠DBP，

所以BA平分∠CBD，则点A到BC，BE的距离相等.

所以点A到PD，BE的距离相等，则DA平分∠PDE，

∠ADP=12×（180°－30°）=75°，

则∠ACB=∠ADP=75°.

在三角形外部构造可以让图形更加清晰，便于解决，而延长构造时一般是选择某一条线段的长度为基准，在构造完成之后，要达到可以得到全等或者相似三角形的效果或者是可以得到一个直角三角形，然后在其中求解.

解法2  三角形内部构造垂线

解析  如图3所示，过点C作AP的垂线CD，垂足为点D，连接BD.

在△PCD中，∠APC=60°，

所以∠DCP=30°，PC=2PD.

因为PC=2PB，

所以BP=PD，

则△BPD是等腰三角形，

∠BDP=∠DBP=30°.

因为∠ABP=45°，

所以∠ABD=15°.

因为∠BAP=∠APC－∠ABC=60°－45°=15°，

所以∠ABD=∠BAD=15°，

则BD=AD.

因为∠DBP=45°－15°=30°，∠DCP=30°，

所以BD=DC，所以△BDC是等腰三角形.

因为BD=AD，

所以AD=DC.

因为∠CDA=90°，

所以∠ACD=45°，

所以∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°.

在内部构造垂线，可以将条件聚焦.作垂线得到三角形的高，就可以考虑从面积方面或者是用勾股定理来解决.此方法的本质是“化斜为直”将原本难以求解的斜三角形转化为多个直角三角形求解.然后将内角的大小通过各三角形角度之间的关系求解出来即可.但是在题目较为复杂时，图形可能不如外部构造清晰.

解法3  利用锐角三角函数

解析  如图4所示，过点A作AH⊥BC于点H，

则∠AHP=90°.

因为∠APH=60°，

所以AH=PH·tan∠APH=3PH.

在Rt△ABH中，∠ABH=45°，

所以BH=AH=3PH，

BP=BH－PH=（3－1）PH，

PC=2BP=（23－2）PH.

在Rt△AHC中，

tan∠ACH=AHHC=3PH（23－3）PH=2+3，

所以∠ACB=75°.

初中数学中对于锐角三角函数的要求不高，只需要学生掌握基本的定义，能够知道一些特殊角的三角函数值即可.在构造出直角三角形之后，通过将角或者边的大小利用三角函数和题目已知条件表示出来，即可求解.

結语

以上三种方法从不同的角度解决了这道斜三角形求解内角大小的问题.总的来说，解答此类问题的关键就是构造出合适的直角三角形.斜三角形问题综合性较强，考查频率较高，这就要求学生不仅需要理解并巩固所学知识，还要有合理构造辅助线的能力.学生要在平时练习时，实际的例题时，不断总结经验，提高解答三角形类问题的水平.

参考文献：

［1］蒋敏.“化斜为直”巧解斜三角形［J］.初中生世界，2023（Z3）：84-85.

［2］王莉璠.探求抛物线中的斜三角形面积［J］.中学数学，2023（08）：25-26.

［3］张志刚.斜三角形的一个性质及应用——从一道2022年联考压轴题谈起［J］.数理化解题研究，2023（19）：75-79.