数形结合思想在初中函数教学中的应用

摘 要：运用数形结合思想实施初中数学教学，有利于培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力。以“一次函数”教学为例，探讨数形结合思想在教学中的应用路径如下：借助数形结合，分析数量关系；感知坐标模型，实现以数定形；分析模型信息，实现以形探数等。构建初中函数教学中数与形之间的转化思维，有效提升学生数学实际问题的解决能力。

关键词：初中数学；函数教学；一次函数；数形结合；以数定形；以形探数

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）01-0058-04

数与形可直观反映同一问题的两方面属性。“数”指的是运用代数的知识解决问题，“形”指的是利用图形的性质研究数量关系，数形结合则是指利用数与形之间的联动、转化快速解决问题的一种思想。图形与数字之间存在着紧密的对应关系，以形助数可帮助学生深刻理解抽象的公式概念，以数解形则可促进学生对实际问题的有效解决。数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。数学教学中数与形的紧密结合和灵活运用，能够充分培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力，发展学生的数学核心素养。下面，笔者以人教版数学八年级下册第十九章“一次函数”教学为例，从教学实际出发，通过分析数量关系、建立坐标模型及借助函数图像解决实际问题三个教学步骤，阐释数形结合思想在初中函数教学中的应用。

一、借助数形结合，分析数量关系

函数中数与形的转化，本质上源于数值的规律性变化。一次函数作为发生在集合之间的一种严格的对应关系，呈现出独有的变化规律。用直观的图形帮助学生理解抽象的集合关系与变化规律是一种较好的学习方式［1］。一次函数中数形结合的初步应用，则落实在一次函数的函数与自变量之间，即通过函数模型的构建，进行两个变量间的数量关系分析，以此探寻函数的基本性质。

（一）以形助数，探索题目中的数学规律

初中生在解题的过程中很难通过简单的文字描述，推理出题目中隐藏的数学规律。因此，教师需要启迪学生的思维，引导学生通过制表、绘图的方式将抽象的数学元素、文字描述等转化为直观的图形，进而实现快速解题的目的。如图1所示例题是初中函数教学中常见的一次函数问题，教师应结合学生的实际学习情况，引导学生利用数形结合思想，探索题干中各类数学元素的规律。

师：同学们仔细阅读以上三道例题，观察其中的数量关系，它们有什么共同特点？

生1：在每一组数量关系的描述中，都存在着变化的数量和不变的数量。

生2：因为有不变的数量存在，变化的数量之间存在着某种变化规律。

师：你应如何将这种变化规律描述或表达出来？

生2：可以用列表的方法，进行结果对比。

教师以问题为导向，为学生提供一个比较清晰的思考方向，引导学生通过自我思考掌握正确的解题思路。学生会联想到以图表的方式探索题干中各类数学元素的规律，借用图表的直观性感悟抽象的数、数量及数量关系。

（二）实践操作，掌握数形结合的方法

学生提出列表的解题方法后，教师可引导学生主动实践探索。于是学生将例题1中给出的数量关系转化为表格，运用学过的s=vt计算公式，将路程s随时间t而变化的一组组数据填写在表1当中。

师：请同学们观察表格中的数据，说一说自己的发现。

生1：表格中時间每增加1小时，路程便随之增加60千米。

生2：路程的变化与时间的变化相互关联，形成一一对应关系，表格中数据变化有规律。

师：这一变化规律在表格中的呈现是否存在局限性？

学生再次观察表格中的数据经过思考后发现：尽管表格展示了时间与路程的对应关系，但存在局限性。表格无法列出所有的情况，在处理复杂的数量关系问题时，表格呈现的数据结果不便观察。相较于图形而言，绘制表格的形式只适合简单函数的数量对应关系，教师还需循序渐进引导学生利用图象呈现一次函数的变化规律。

教师提出运用直角坐标系对例题1中的数量关系进行更直观的呈现，鼓励学生建立直角坐标系，将表格中的数据转化为坐标点，如（1，60）、（2，120）、（3，180）……并绘制在直角坐标系中。学生绘制出如图2所示的图象，通过图象直观呈现例题1中两个变量之间的函数关系。这种方法不仅可以帮助学生直观理解路程与时间的函数关系，还可以促进学生对数学图形与计算公式之间关系的深入理解。

（三）总结规律，帮助学生理解一次函数图象

以上教学环节中，教师首先引导学生提取题目中的数量关系，形成比文字描述更加直观的数据表格。学生通过观察表格中的数据，只能较为笼统地感受简单函数的变化规律，于是教师引导学生借助直角坐标系，将其转化为图象，通过坐标系中点、线与数据的结合，既赋予图象以数量关系，又将抽象数量关系转化为具象图形。教师以数形结合深化学生的理解，引出最为基础的正比例函数概念，并为后续学习一次函数的一般形式、变式及实际应用做好铺垫。

接下来，教师要求学生以同样的方式绘制出例题2、例题3的函数图象，观察对比三组函数图象，并总结出规律。

生1：三组函数图象在直角坐标系中均呈直线状态。

生2：图象中的直线全部都经过原点。

生3：直线的倾斜程度与数量关系中恒定不变的系数有关。

函数作为初中代数部分最为核心的教学内容，对其基本概念的理解与实际应用至关重要。初中函数教学中，教师通常从函数的传统定义出发，将其描述为数量关系变化，而数形结合则将这一变化进行具象呈现。学生通过数形结合的实践操作，将抽象的数量关系具象表达为直观的函数图象，并从中总结规律：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就将x作为自变量，y则为x的函数，两个变量与数量关系中的系数k形成的等量关系式y=kx（k为常数，k≠0），为正比例函数。

教师将数学理论与实践操作相结合进行教学，不仅能够将抽象的数学概念具体化，还能培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，使学生能够深入地理解数学的本质，有效提升学生的数学学习效果。

二、感知坐标模型，以“数”定“形”

函数及其模型的构建，本质上服务于实际数学问题的解决。数形结合思想下坐标模型的建立，更加方便不同数量关系之间的对比，从而得出结果。在一次函数的概念感知过程中，需以“数”定“形”，通过数形关系的构建，横向类比，得出结论。

（一）感知数学模型，将求解过程简单化

经过上一阶段的教学后，部分学生已经能够掌握利用制表、绘图的方式提炼数量关系去解决实际问题，但还不能熟练应用。因此，教师需要通过课堂练习，引导学生充分感知各类题目中的数学模型，逐渐熟悉、掌握并信赖数形结合思想，以至于在面对实际问题时能够下意识地利用数形结合思想解答问题［2］。教师在多媒体课件中出示图3所示课堂练习，要求学生交流讨论，探寻解题思路。

学生经过讨论后得到以下两种结果。一部分学生认为应该选择A旅行社，因为B旅行社要先交1 000元，而A旅行社不需要交。例如，当20人成团时，A旅行社需要花费1 600元，B旅行社需要花费2 200元，因此选择A旅行社。另一部分学生则认为应该选择B旅行社，A旅行社只打八折，而B旅行社打六折。例如，当70人成团时，那么A旅行社需要花费5 600元，而B旅行社仅需要5 200元，所以选择B旅行社更合适。

学生在这一问题的探讨上发生了观点冲突，但都为自己的观点举出了相应的佐证实例。在题目解析过程中，教师可以有意识引导学生运用表格对比解决上述问题。学生在对前置教学环节进行简单回忆后，将课堂练习题中的数量关系转换为表格的形式，整理结果如表2。学生观察表格发现，在成团人数到达50人之前，A旅社的费用低于B旅社，而成团人数超过50人的情况下，B旅社的费用更低，实际问题的解决需要以具体数值为依托来得出结论。但表格的数量表达方式计算量较大，学生想到了运用数形结合的思想方法来解决问题。

（二）建立坐标模型，优化解题方法

学生指出，由于每个旅行社的计费方式是固定的，而变化的因素是参团学生的人数和最终的费用，因此可以建立一个函数模型。在这个模型中，学生人数是自变量x，成团费用是因变量y。假设夏令营的参团人数为x，按A旅行社计费条件，则应付费用y=80x，按B旅行社计费条件，则应付费用y=60x+1 000。接下来，学生将这两个函数解析式绘制成如图4所示图象来进行直观比较。

师：我们观察函数图象，可以发现两条直线在坐标（50，4 000）处交汇，据此可以得出怎样的结论？

生：当夏令营成团人数为50人时，选择A、B两家旅行社所需费用一样；当成团人数小于50人时，选择A旅社费用更少；当成团人数大于50人时，选择B旅社费用更少。

师：同学们能否将两个函数解析式进行结合，同时考虑自变量x的取值范围，将函数图象进一步简化？

将两个函数解析式进行结合对于学生来说有一定的难度。此时，教师引导学生通过对A、B旅行社成团费用差值进行分析，形成新的函数解析式，即y=y1-y2=80x-（60x+1 000），最后简化为y=20x-1 000，并据此绘制出函数图象，如图5所示。学生通过分析图象可知，当x=50時，y=0，则y1=y2，说明A、B旅行社所需费用相等；当x＜50时，y＜0，即y1＜y2，表示A旅行社成团费用更低；当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，表示B旅行社成团费用更低。

教师通过叠加问题的形式，引导学生将实际问题抽象为数量关系，初步将其呈现在表格中，通过方法上的重复巩固思维模式。随后将表格进一步抽象为解析式，并将两个解析式的函数图象绘于同一直角坐标系中，方便对比，有所发现。学生通过观察图象，充分理解两个图象中交点的含义，能够通过图象分析出不同自变量下两种方案结果的不同。最后，教师通过变式启发，引导学生进一步深入理解函数图象的变化与其实际意义之间的关联，完成对数形结合的多层次理解。

三、实现模型应用，以“形”探“数”

完整的数形结合思想在初中函数教学中的应用还需完善逆向思维教学。学生不仅要掌握以“数”定“形”方法，还要掌握从函数图象中提取数据信息的技巧，将具象图形抽象为函数解析式，并通过运算解决实际问题。

（一）通过图形提取数学信息

除了利用图形表达数量关系外，在图形中探索数量元素，进而整理数量关系也是数形结合思想的主要内容之一［3］。为进一步提升学生的抽象思维能力，教师在开展一次函数教学活动的过程中，应积极借助含有一次函数图形的题目，引导学生在观察图形的过程中整理其中的数量关系，进而解答问题［4］。教师出示图6所示的图象信息题，让学生以“形”探“数”，通过图形提取数学信息。

学生通过观察函数图象，得到以下信息。

生1：我认为l1代表巡逻船B，l2代表可疑船只A。因为巡逻船B是从黄岩岛海岸出发，因此其初始距离y1为0，函数图象应当经过直角坐标系原点。

生2：从发现可疑船只A开始计时，l1经过直角坐标系原点，l2经过直角坐标系5海里这个点，所以两船最初相距5海里。

生3：通过l1、l2的斜率可以知道，巡逻船B的速度比可疑船只A的速度快。

（二）图象抽象为函数解析式，实现模型应用

数式与图象均为信息的载体，如何实现信息的有效提取与转化，是数形结合教学实践中需要解决的核心问题［5］。教师先让学生结合函数图象提取相应信息，得出数量关系，而后进行问题拓展，引导学生利用已知信息解决实际问题，将图象抽象为函数解析式，实现模型应用。

师：那么在函数图象呈现出怎样的状态时，巡逻船B能够追上可疑船只A，同学们能否通过已知条件将这一时间点求出？

生：当直角坐标系中l1、l2相交时，说明两船在同一时间行驶至相同点，此时两船相遇。

师：那么应该如何计算呢？

生：根据题目中给出的自变量与因变量关系，分别为A、B两船的行驶路径建立函数关系式y1和y2。根据函数图象信息，可设y1=k1x+5，y2=k2x，选择坐标系相应直线的坐标数据代入，可求得k1、k2的值，得出y1、y2的函数解析式，而后将y1=y2作为等量关系条件，从而转化为关于x的方程，进而求出x的值，即为两船相遇的时间。

学生能够理解两个函数图象在直角坐标系中相交的实际含义，才能够根据已知条件总结出y1=y2的等量关系，并据此求得两船相遇的时间。数形结合中的逆向思维呈现为具象化的以“形”探“数”，培养学生抽象数学与直观想象能力，并促成其有效转化。

综上，数与形实质上是数学问题应用与解决的两个不同维度，两者的结合使抽象与具象两条思维路径实现有效對接，能够通过数式与图形之间的信息转化，更加便捷、高效地解决数学问题。在教学过程中，教师通过数式的抽象形变，引导学生总结绘制出函数图象，以此明确一次函数的数量关系、解析式和图象性质；而后以“数”定“形”，引导学生深刻感知坐标模型，明确函数图象中每个元素的实际含义；最后以“形”探“数”，引导学生从图形中提取信息，将其转化为抽象函数解析式，以逆向思维完成整体数形结合逻辑闭环，进一步提升学生的数学思维能力。

参考文献

［1］何铭.突显数形结合思想架构章节拓展专题：以“一次函数与平行四边形”为例［J］.数理化解题研究，2022（26）：44-46.

［2］高三兵.初中数学教学中数形结合思想的应用价值分析［J］.新课程，2021（39）：94.

［3］钱红娟.数形结合：给思维展翅的机会：以“一次函数”的教学为例［J］.基础教育论坛，2021（10）：88-89.

［4］罗强华.巧用几何方法解一次函数应用题［J］.中学数学教学，2021（1）：62-64.

［5］徐艳.数形结合思想在一次函数教学中的融合［J］.数理化解题研究，2020（35）：30-31.

（责编 韦榕峰）

作者简介：覃仕山，1976年生，广西大化人，本科，高级教师，研究方向为初中数学教学。